В любом вписанном четырехугольнике

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

В любом вписанном четырехугольнике

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный В любом вписанном четырехугольникеАВС.

Доказать: около В любом вписанном четырехугольникеАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам В любом вписанном четырехугольникеАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

В любом вписанном четырехугольнике

Точка О равноудалена от вершин В любом вписанном четырехугольникеАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около В любом вписанном четырехугольникеАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

В любом вписанном четырехугольнике

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

В любом вписанном четырехугольнике

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В любом вписанном четырехугольникеВ = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеАDС, В любом вписанном четырехугольникеD = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеАВС, откуда следует В любом вписанном четырехугольникеВ + В любом вписанном четырехугольникеD = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеАDС + В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеАВС = В любом вписанном четырехугольнике(В любом вписанном четырехугольникеАDС + В любом вписанном четырехугольникеАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. В любом вписанном четырехугольникеАDС + В любом вписанном четырехугольникеАВС = 360 0 , тогда В любом вписанном четырехугольникеВ + В любом вписанном четырехугольникеD = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольнике360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, В любом вписанном четырехугольникеBАD + В любом вписанном четырехугольникеBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

В любом вписанном четырехугольнике

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

В любом вписанном четырехугольнике

В любом вписанном четырехугольникеВСDвнешний угол В любом вписанном четырехугольникеСFD, следовательно, В любом вписанном четырехугольникеBСD = В любом вписанном четырехугольникеВFD + В любом вписанном четырехугольникеFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле В любом вписанном четырехугольникеВFD = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВАD и В любом вписанном четырехугольникеFDE = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: В любом вписанном четырехугольникеBСD = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВАD + В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеЕF = В любом вписанном четырехугольнике(В любом вписанном четырехугольникеВАD + В любом вписанном четырехугольникеЕF), следовательно, В любом вписанном четырехугольникеВСDВ любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВАD.

В любом вписанном четырехугольникеBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В любом вписанном четырехугольникеBАD = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВЕD, тогда В любом вписанном четырехугольникеBАD + В любом вписанном четырехугольникеBСDВ любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольнике(В любом вписанном четырехугольникеВЕD + В любом вписанном четырехугольникеВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. В любом вписанном четырехугольникеВЕD + В любом вписанном четырехугольникеВАD = 360 0 , тогда В любом вписанном четырехугольникеBАD + В любом вписанном четырехугольникеBСDВ любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольнике360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что В любом вписанном четырехугольникеBАD + В любом вписанном четырехугольникеBСDВ любом вписанном четырехугольнике180 0 . Но это противоречит условию В любом вписанном четырехугольникеBАD + В любом вписанном четырехугольникеBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

В любом вписанном четырехугольнике

По теореме о сумме углов треугольника в В любом вписанном четырехугольникеВСF: В любом вписанном четырехугольникеС + В любом вписанном четырехугольникеВ + В любом вписанном четырехугольникеF = 180 0 , откуда В любом вписанном четырехугольникеС = 180 0 — ( В любом вписанном четырехугольникеВ + В любом вписанном четырехугольникеF). (2)

В любом вписанном четырехугольникеВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В любом вписанном четырехугольникеВ = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеЕF. (3)

В любом вписанном четырехугольникеF и В любом вписанном четырехугольникеВFD смежные, поэтому В любом вписанном четырехугольникеF + В любом вписанном четырехугольникеВFD = 180 0 , откуда В любом вписанном четырехугольникеF = 180 0 — В любом вписанном четырехугольникеВFD = 180 0 — В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

В любом вписанном четырехугольникеС = 180 0 — (В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеЕF + 180 0 — В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВАD) = 180 0 — В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеЕF — 180 0 + В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВАD = В любом вписанном четырехугольнике(В любом вписанном четырехугольникеВАDВ любом вписанном четырехугольникеЕF), следовательно, В любом вписанном четырехугольникеСВ любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВАD.

В любом вписанном четырехугольникеА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В любом вписанном четырехугольникеА = В любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольникеВЕD, тогда В любом вписанном четырехугольникеА + В любом вписанном четырехугольникеСВ любом вписанном четырехугольникеВ любом вписанном четырехугольнике(В любом вписанном четырехугольникеВЕD + В любом вписанном четырехугольникеВАD). Но это противоречит условию В любом вписанном четырехугольникеА + В любом вписанном четырехугольникеС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

В любом вписанном четырехугольникеВписанные четырехугольники и их свойства
В любом вписанном четырехугольникеТеорема Птолемея

Видео:Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

В любом вписанном четырехугольнике

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

В любом вписанном четырехугольнике

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В любом вписанном четырехугольнике

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаВ любом вписанном четырехугольникеОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаВ любом вписанном четырехугольникеОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииВ любом вписанном четырехугольникеОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаВ любом вписанном четырехугольникеОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникВ любом вписанном четырехугольнике

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В любом вписанном четырехугольнике

Окружность, описанная около параллелограмма
В любом вписанном четырехугольникеОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
В любом вписанном четырехугольникеОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
В любом вписанном четырехугольникеОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
В любом вписанном четырехугольникеОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
В любом вписанном четырехугольнике
Окружность, описанная около параллелограмма
В любом вписанном четырехугольнике

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаВ любом вписанном четырехугольнике

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииВ любом вписанном четырехугольнике

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаВ любом вписанном четырехугольнике

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникВ любом вписанном четырехугольнике

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике

В любом вписанном четырехугольнике

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

В любом вписанном четырехугольнике

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

В любом вписанном четырехугольнике

Докажем, что справедливо равенство:

В любом вписанном четырехугольнике

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

В любом вписанном четырехугольнике

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

В любом вписанном четырехугольнике

откуда вытекает равенство:

В любом вписанном четырехугольнике(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольникиСкачать

16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольники

Сумма углов четырехугольника

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    В любом вписанном четырехугольнике
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    В любом вписанном четырехугольнике
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    В любом вписанном четырехугольнике

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

📸 Видео

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Гармония четырехугольников (feat. МО из Школково)Скачать

Гармония четырехугольников (feat. МО из Школково)

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

Задание 25 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 25 Вписанный четырёхугольник

Математика ОГЭ Задание 25 Первый признак подобияСкачать

Математика ОГЭ  Задание 25 Первый признак подобия

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Описанные четырехугольники. 9 класс.

Теорема ПтолемеяСкачать

Теорема Птолемея

Геометрия 8 класс за 1 час | Математика | УмскулСкачать

Геометрия 8 класс за 1 час | Математика | Умскул

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)
Поделиться или сохранить к себе: