Неравенство треугольника доказательство метрика (5 видео)

Пространство (R^n)

Содержание

Метрическое пространство.
Метрическое пространство R n .
Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.
Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.
Предельные точки. Замкнутые множества.
Компакт в метрическом пространстве.
Граница множества.
Прямые, лучи и отрезки в R n .
Неравенство треугольника — определение и вычисление с примерами решения
Неравенство треугольника
Неравенство треугольника доказательство метрика
💥 Видео

Видео:Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Метрическое пространство.

Будем множество (X) называть метрическим пространством, если каждой паре элементов (x) и (y) этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число (p(x,y)), называемое расстоянием между элементами (x) и (y), такое, что для любых элементов (x, y, z) множества (X) выполнены следующие условия:

(rho(x,y) = 0 Leftrightarrow x = y)
(rho(x,y) = rho(y,x));
(rho(x,y) leq rho(x,z) + rho(z,y)) (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками, функцию (rho(x,y)), определенную на множестве пар точек метрического пространства (X), (rho) — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики.

Например, определяя расстояние между вещественными числами (alpha) и (beta) при помощи формулы (rho(alpha,beta)=|beta — alpha|), получаем метрическое пространство, которое обозначается через (R).

Рассмотрим множество пар вещественных чисел (x = (x_,x_)). Если (x = (x_,x_)), а (y = (y_,y_)), то полагая
$$
rho(x,y) = ((x_ — y_)^ + (x_ — y_)^)^nonumber
$$
получаем метрическое пространство, которое обозначается через (R^). Для проверки аксиом 1)-3) воспользуемся тем, что между множеством точек евклидовой плоскости и множеством пар вещественных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскости совпадает с введенным выше расстоянием между соответствующими этим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координатами точек). При такой геометрической интерпретации пространства (R^) доказательство неравенства треугольника следует из того, что длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон.

На одном и том же множестве можно различными способами определять расстояние между элементами и получать тем самым различные метрические пространства. На множестве пар вещественных чисел можно расстояние между точками определить также и следующим образом:
$$
tilde(x,y) = max (|x_ — y_|,|x_ — y_|).label
$$

Аксиомы метрики 1) и 2), очевидно, выполняются. Проверим неравенство треугольника.

(circ) Из eqref следует, что
$$
|x_-y_| leq tilderho(x,y),qquad |x_-y_| leq tilde(x,y),nonumber
$$
а поэтому
$$
|x_-y_|leq |x_-z_|+|z_-y_|leq tilde(x,z)+tilde(z,y),qquad i=1,2.nonumber
$$
Следовательно,
$$
tilde(x,y) = max(|x_ — y_|, |x_ — y_|) leq tilde(x,z) + tilde(z,y).quadbulletnonumber
$$

Если рассмотреть множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел (x = (x_, x_, x_)) и для (x = (x_, x_, x_)) и (y = (y_, y_, y_)) определить расстояние (rho(x,y)) при помощи формулы
$$
rho(x,y) = ((x_ — y_)^ + (x_ — y_)^ + (x_ — y_)^)^,nonumber
$$
то получим метрическое пространство (R^).

Если в евклидовом пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат, то между этим пространством и пространством (R^) устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми двумя точками евклидового пространства совпадает с расстоянием между соответствующими им точками пространства (R^). Проверка аксиом метрики проводится так же, как и в (R^).

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Метрическое пространство R n .

Точками пространства (R^) являются упорядоченные совокупности из (n) вещественных чисел
$$
x = (x_, ldots, x_),quad y=(y_, ldots, y_),quad z = (z_, ldots, z_).nonumber
$$
Расстояние между точками (x) и (y) определяется формулой
$$
rho(x,y) = left(sum_^(x_ — y_)^right)^.label
$$

Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника.

Докажем сначала неравенство Коши
$$
left(sum_^a_b_right)^ leq sum_^a_i^sum_^b_i^,nonumber
$$
справедливое для любых вещественных чисел (a_, b_,dots, a_, b_).

(circ) Рассмотрим квадратный трехчлен
$$
P(xi) = sum_^(a_ + xi b_)^ = A + 2Bxi + C xi^,label
$$

Так как квадратный трехчлен (P(xi)) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно, (B^ — AC leq 0). Подставляя в неравенство значения коэффициентов (A), (B) и (C), получаем неравенство Коши. (bullet)

Полагая в неравенстве eqref (a_ = x_ — z_, b_ = z_ — y_), получаем неравенство
$$
left(sum_ <substack>^<substack>(x_ — y_)^right)^ leq left(sum_ <substack>^<substack>(x_ — z_)^right)^ + left(sum_ <substack>^<substack>(z_ — y_)^right)^,nonumber
$$
то есть неравенство треугольника для расстояния (rho(x,y)), определяемого формулой eqref.

На множестве всех упорядоченных совокупностей из (n) вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и другими способами. Например, можно положить
$$
tilde(x,y) = max_<substack<i=overline>>|x_ — y_|,qquad hat(x,y) = sum_ <substack>^<substack>|x_ — y_|.nonumber
$$
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же, как в случае (n = 2). Расстояние, определяемое формулой eqref, будем называть евклидовым.

В этой главе, посвященной функциям многих переменных, используется только метрическое пространство (R^). Но те свойства пространства (R^), при доказательстве которых существенны лишь свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.

Пусть (<x^>) — последовательность точек метрического пространства (X). Говорят, что последовательность точек (<x^>) сходится к точке (a) (имеет предел (a)) и пишут (displaystylelim_x^ = a), если
(displaystylelim_<substack>rho(x^, a) = 0). Последовательность точек (<x^>) называется ограниченной, если (exists C in R) и (exists a in X) такие, что для любого (k in mathbb) выполнено неравенство (rho(x^,a) leq C).

Докажем несколько простых свойств сходящихся последовательностей.

Если последовательность (<x^>) имеет предел, то она ограничена.

(circ) Пусть (displaystylelim_<substack>x^ = a), тогда (displaystylelim_<substack>rho(x^, a) = 0). Поэтому числовая последовательность (<rho(x^, a)>) ограничена, то есть (exists C in R) такое, что для любого (k in mathbb) выполнено неравенство (rho(x^, a) leq C). (bullet)

Последовательность (<x^>) не может сходиться к двум различным точкам.

(circ) Пусть (displaystylelim_<substack>x^ = a) и (displaystylelim_<substack>x^ = b). В силу неравенства треугольника для любого (k in mathbb) выполнено неравенство
$$
0 leq rho(a, b) leq rho(a, x^) + rho(x^, b).nonumber
$$
Так как числовые последовательности (rho(a, x^)) и (rho(x^, b)) бесконечно малые, то (rho(a, b) = 0). Поэтому (a = b). (bullet)

Для того чтобы последовательность точек (<x^>) метрического пространства (R^), где (x^ = (x_^, ldots, x_^)), сходилась к пределу (a = (a_, ldots, a_)), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
$$
lim_<substack>x_^ = a_,quad i = overline.nonumber
$$

Наоборот, если при любом (i = overline) выполнено условие (displaystylelim_<substack>|x_^ — a_| = 0), то
$$
rho(x^, a) = left(sum_ <substack>^<substack>(x_^ — a_)^right)^ rightarrow 0,quad при k rightarrow infty.quadbulletnonumber
$$

Последовательность точек (<x^>) метрического пространства (X) называется фундаментальной, если (forall varepsilon > 0 exists N in mathbb) такое, что (forall k geq N) и (forall m geq N) выполнено неравенство (rho(x^, x^) Лемма 4.

Если последовательность точек (<x^>) метрического пространства (X) сходится, то она фундаментальна.

(circ) Пусть (displaystylelim_x^ = a). Тогда (forall varepsilon > 0 exists N in mathbb) такое, что (forall k geq N) и (forall m geq N) выполнены неравенства (rho(x^, a) Теорема 1.

Пространство (R^) полное.

(circ) Пусть (<x^>) — фундаментальная последовательность точек в (R^). Если
$$
x^ = (x_^, ldots, x_^),nonumber
$$
то числовые последовательности (<x_^>) фундаментальны при (i = overline). В самом деле, (forall varepsilon > 0) (exists N) такое, что для любых (k, m geq N) выполнено неравенство (rho(x^, x^)

Видео:Неравенство треугольникаСкачать

Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.

Шар радиуса (r) с центром в точке (a) определяется как множество (S_(a) = <x: x in X, rho(x, a) Пример 1.

Шар в метрическом пространстве — открытое множество.

(triangle) Действительно, пусть
$$
S_(a) = <x: rho(x, a) Рис. 23.1

Открытые множества в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:

все пространство (X) и пустое множество (varnothing) — открытые множества;
объединение любого множества открытых множеств — открытое множество;
пересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.

(circ) Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть (G = displaystylebigcup_ <substack>G_), где (G_) — открытые множества. Пусть точка (a in G). Тогда существует (overline in Lambda) такое, что (a in G_<overline>). Но множество (G_<overline>) открытое. Поэтому существует шар (S_(a) subset G_<overline>). Тем более, (S_(a) subset G). Итак, (a) — внутренняя точка множества (G). В силу произвольности точки (a) множество (G) открытое.

Докажем 3). Пусть (G = displaystylebigcap_ <substack>^G_), где (G_) — открытые множества. Возьмем любую точку (a in G). Тогда (a in G_) при (i = overline). Так как множества (G_) открытые, то существуют шары (S_<varepsilon_>(a) subset G_). Пусть (varepsilon = displaystylemin_<substack<i-overline>>varepsilon_). Тогда (S_(a) subset G_), (i = overline). Поэтому
$$
S_(a) subset bigcap_ <substack>^G_ = G,nonumber
$$
и, следовательно, (G) есть открытое множество. (bullet)

Видео:РЕШАЕМ УРАВНЕНИЕ: метрика Минковского и неравенство ЙенсенаСкачать

Предельные точки. Замкнутые множества.

Пусть (X) — метрическое пространство. Окрестностью точки (x^in X) будем называть любое множество (O(x^)), для которого точка (x^) является внутренней. Например, шар (S_(x^)) является окрестностью (шаровой) точки (x^).

Точка (x^) называется предельной точкой множества (M subset X), если в любой окрестности точки (x^) есть точки множества (M), отличные от точки (x^). Предельная точка множества (M) может принадлежать множеству (M), а может и не принадлежать. Например, все точки интервала ((a, b)) будут его предельными точками. Концы интервала (a) и (b) — тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.

Точка множества (M), не являющаяся предельной точкой множества (M), называется изолированной точкой множества (M). Если (x^) есть изолированная точка множества (M), то существует такая окрестность (O(x^)), в которой нет точек множества (M), отличных от точки (x^). Каждая точка множества (M) является или предельной точкой множества (M), или изолированной точкой множества (M).

Множество (M subset X) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Например, отрезок [(a, b)] замкнут в (R), а интервал ((a, b)) не является замкнутым множеством в (R).

Множество, которое получается, если присоединить к множеству (M) все его предельные точки, называется замыканием (M) и обозначается (overline).

Для того чтобы множество (F) в метрическом пространстве (X) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение (X setminus F) было открытым.

(circ) Необходимость. Пусть множество (F subset X) содержит все свои предельные точки. Докажем, что его дополнение (G = X setminus F) есть открытое множество. Если это не так, то существует точка (a in G), не являющаяся внутренней точкой множества (G). Тогда в любой окрестности (O(a)) точки (a) есть точки, не принадлежащие (G), то есть принадлежащие множеству (F). Поэтому (a) есть предельная точка множества (F). Так как (F) замкнуто, то (a in F). С другой стороны, (a in G = X setminus F) и, следовательно, (a notin F). Полученное противоречие доказывает, что все точки (G = X setminus F) внутренние, то есть (G) — открытое множество.

Достаточность. Пусть теперь (X setminus F = G) — открытое множество. Покажем, что (F) замкнуто. Пусть (a) — предельная точка (F). Предположим, что (a notin F). Тогда (a in G), а так как (G) — открытое множество, то найдется окрестность (O(a) subset G). Но тогда (O(a) bigcap F = varnothing), следовательно, (a) не может быть предельной точкой множества (F). Поэтому множество (F) содержит все свои предельные точки, то есть (F) замкнуто. (bullet)

Замкнутые множества обладают следующими свойствами:

все пространство (X) и пустое множество (varnothing) замкнуты;
пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто;
объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

(circ) Свойство 1) очевидно, так как (X) и (varnothing) являются друг для друга дополнениями и открыты.

Докажем 2). Пусть (F = displaystylebigcap_ <substack>F_), где (F_) — замкнутые множества.

В силу закона двойственности (легко проверяемого)
$$
X setminus F = bigcup_ <substack>(X setminus F_).nonumber
$$
Однако в силу теоремы 3 множества (X setminus F_) открыты как дополнения замкнутых множеств. Их объединение (X setminus F) есть открытое множество. В силу той же теоремы 3 множество (F) замкнуто. Столь же просто доказывается и свойство 3). (bullet)

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

Компакт в метрическом пространстве.

Множество (M) в метрическом пространстве (X) называется компактом в (X), если из любой последовательности точек (x_ in M) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству (M). Например, отрезок ([a, b]) есть компакт в (R), а промежуток ([a, b)) не является компактом в (R).

На пространство (R^) обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности точек пространства (R^) можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.

(circ) Ограничимся случаем пространства (R^). В общем случае доказательство аналогично. Пусть (x^ = (x_^, x_^)) — произвольная ограниченная последовательность точек пространства (R^). Числовая последовательность (<x_^>) ограничена. В силу теоремы Больцано Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (<x_^<(k_)>>). Тогда у последовательности точек (x^<(k_)>) последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности (<x_^<(k_)>>) сходящуюся подпоследовательность (<x_^<(k_<m_>)>>). У последовательности точек (<x^<(k_<m_>)>>) сходится и последовательность первых координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек (<x^<(k_<m_>)>>) сходится в (R^). (bullet)

Для того чтобы множество (M subset R^) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество (M) было ограниченным и замкнутым.

(circ) Докажем достаточность. Пусть множество (M) ограничено и замкнуто в пространстве (R^). Возьмем произвольную последовательность точек (<x^> in M ). Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность (<x^<(k_)>>), сходящуюся к точке (a). В силу замкнутости множества (M) точка (a in M). (bullet)

Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приводится.

Для того чтобы множество (M) в метрическом пространстве (X) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить конечное подпокрытие.

Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке леммы Гейне-Бореля. Система множеств (<<G_, alpha in Lambda>>) называется покрытием множества (G), если (G subset displaystylebigcup_<substack>G_). Покрытие называется конечным, если множество (Lambda) конечно, и открытым, если все множества (G_) открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, если это подмножество само образует покрытие.

Видео:Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Граница множества.

Точка (a) метрического пространства (X) называется граничной точкой множества (M subset X), если в любой окрестности точки (a) есть как точки, принадлежащие множеству (M), так и точки, не принадлежащие множеству (M).

Граничная точка (a) множества М может не принадлежать множеству (M).

Совокупность всех граничных точек множества (M) называется границей множества (М) и обозначается (partial M). Например,
$$
partial (a, b) = , partial [a, b] = , a, b in R;nonumber
$$
$$
partial<x: rho(x, a)

Видео:Неравенство треугольника Скачать

Прямые, лучи и отрезки в R n .

До сих пор рассматривались только такие объекты в (R^), при исследовании которых используются лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов, плоскостей и так далее.

В этой главе ограничимся тем, что введем в (R^) такие не связанные с метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.

Прямой в (R^), проходящей через точки (a = (a_, ldots. a_)) и (b = (b_, ldots. b_)), будем называть следующее множество точек:
$$
<x: x in R^, x_ = a_t + b_(1 — t), t in R, i = overline>.nonumber
$$
Лучом с вершиной в точке (a) в направлении (l = (l_, ldots. l_)), где (l_^ + ldots + l_^ = 1), назовем множество
$$
<x: x in R^, x_ = a_ + tl_, 0 leq t leq + infty, i = overline>.nonumber
$$
Отрезком, соединяющим точки (a) и (b), назовем множество
$$
<x: x in R^, x_ = a_t + b_(1 — t), 0 leq t leq 1, i = overline>.nonumber
$$
Множество в (R^) будем называть выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки соединяет.

Кривая в (R^) была определена нами ранее в другой статье. Это определение без существенных изменений переносится на (R^) . Кривая в (R^) задается параметрическими уравнениями
$$
x_ = varphi_(t), alpha leq t leq beta, i = overline,nonumber
$$
где (varphi_(t)) — непрерывные функции на отрезке ([alpha, beta]).

Множество (M subset R^) называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой (Gamma), лежащей в множестве (M). Открытое и связное множество в (R^) называют областью. Замыкание области называют замкнутой областью.

Кривая в (R^), являющаяся объединением конечного числа отрезков, называется ломаной в (R^).

Видео:Аксиомы метрикиСкачать

Неравенство треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Неравенство треугольника:

Опыт нам подсказывает, что путь из точки А в точку С по прямой АС короче, чем по ломаной ABC (рис. 255), т. е. АС 12+21 (рис. 258).

Замечание. Из неравенств треугольника следует, что то есть любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Так, для стороны а справедливо

Пример:

Внутри треугольника ABC взята точка М (рис. 259). Доказать, что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника ABC.

Решение:

Так как у треугольников ABC и АМС сторона АС — общая, то достаточно доказать, что AM + МС B (рис. 108, а).

2) Отложим на стороне АВ отрезок АF, равный стороне AC (рис. 108, б).

3) Так как АF 1.

4) Угол 2 является внешним углом треугольника ВFС, следовательно, 2 > B.

5) Так как треугольник FАС является равнобедренным, то 1 = 2.

Таким образом, BСА > 1, 1 = 2 и 2 > B.

Отсюда получаем, что ВСА > B.

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

1) Пусть в треугольнике АBС С > B. Докажем, что АВ > АС (см. рис. 108, а). Доказательство проведем методом от противного.

2) Предположим, что это не так. Тогда: либо АВ = АС, либо АВ C.

В каждом из этих случаев получаем противоречие с условием: C > B. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, АВ > АС.

Из данной теоремы следует утверждение: в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

Действительно, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Поскольку прямой угол больше острого, то по теореме 2 получаем, что гипотенуза больше катета.

Теорема 3 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны стороны, лежащие против этих углов. В самом деле, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то по теореме 1 угол, лежащий против этой стороны, будет больше угла, лежащего против другой стороны, что противоречит условию равенства углов.

Значит, наше предположение неверно и в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник является равнобедренным.

Неравенство треугольника

Докажем, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

Теорема 4. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

1) Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, например, что выполняется неравенство АВ l, следовательно, верно неравенство АВF > 2.

4) Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 2), то АВ

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Метрические пространства | вводим понятие метрикиСкачать

Неравенство треугольника доказательство метрика

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Дифференциальная геометрия и топология
Bodrenko.comBodrenko.org


§ 1.3. Метрика на множестве	Назад // Вперед

Пусть М — произвольное множество. Метрикой на множестве M называется такая вещественная функция ρ, определенная на множестве всевозможных пар элементов множества М:

ρ: M × M → R 1 , (x,y) ρ → (x,y),

что выполнены четыре условия:

(1) функция ρ принимает только неотрицательные значения: ρ(x,y) 0 для любых х,y из М,

(2) ρ(x,x) = 0 для любого элемента х из М, и если ρ(х,у) = 0, то обязательно х = у,

(3) ρ(x,y) = (y,x) для любых х,у из М’

(4) ρ(x,z) ρ(х,у) + ρ(y,z) для любых х, у, z из М.

Множество М с фиксированной метрикой ρ называется метрическим пространством и обозначается (М, ρ) или просто М, если ясно, о какой метрике идет речь. элементы множества М называются точками пространства (М, ρ). Значение метрческой функции ρ на паре элементов х, у называется расстоянием между точками х, у. Условия (1) — (4) называются аксиомами метрики. Они выражают основные свойства расстояния:

(1) Неотрицательность: расстояние между двумя точками всегда неотрицательно.

(2) Аксиома тождества: расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только, когда точки совпадают.

(3) Симметричность: расстояние от точки х до точки у равно расстоянию от точки у до точки х.

неравенством треугольника

Рассмотрим несколько простейших примеров метрических пространств.

Возьмем в качестве множества М множество всех вещественных чисе. Определим метрику ρ по формуле ρ (x,y) = |x-y| для любы x,y M. Легко убедиться в том, что функция ρ удовлетворяет свойствам (1)-( 4). Это стандартная метрика на прямой. Полученное таким образом метрическое пространство называется числовой прямой и обозначается R 1 .
Пусть M — произвольное множество. Определим метрику ρ на M по правилу: ρ(x,y) = 0 при x = y, ρ(x,y) = 1 при x y. Полученная метрика называется дискретной метрикой на М.
Пусть М — совокупность всех вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке [а, b] числовой прямой R 1 . Введем в М метрику ρ, полагая для любых функции f(t) и g(t) из М, что . Полученное таким образом метрическое пространство (М, ρ) называется пространством непрерывных функций и обозначается С [а,b].

Неограниченное количество дальнейших примеров дает следующий прием. Пусть (М, ρ) — метрическое пространство и А — любое подмножество М. Тогда А с той же функцией ρ(х,у), которую мы теперь считаем определенной для х и у из А, тоже является метрическим пространством (А, ); оно называется подпространством пространства М.

Пусть М — метрическое пространство, а — его точка, r — положительное число. Множество точек пространства М, удаленных от точки а на расстояние, не большее г, называется замкнутым шаром пространства М с центром в точке а и радиусом r и обозначается символом D_r(a). Множество точек, удаленных от точки а на расстояние, меньшее r, называется открытым шаром и обозначается B_r(a). Множество точек, расположенных на расстоянии r от точки а, называется сферой и обозначается S_r(a)). Таким образом, .

Открытый шар радиуса ε > 0 с центром в данной точке часто называется ε-окрестностью этой точки.

В метрическом пространстве (М, ρ) естественно вводятся понятия, обобщающие начальные понятия математического анализа. Отображение , множества натуральных чисел N в метрическое пространство М называется последовательностью точек этого пространства и обозначается <x_n>. Говорят, что последовательность <x_n> сходится к точке а (имеет предел а), если для всякого ε > 0 найдется натуральное число n₀=n₀(ε) такое, что ρ(а,x_n) .

&nbspПустое множество тоже считается принадлежащим семейству Ω(М).

Теорема 1.2 Для совокупности Ω(М) выполнены аксиомы топологического пространства.

Доказательство. Аксиома (а) очевидна. Все пространство М принадлежит совокупности Ω(М), так как с каждой своей точкой содержит все ее шаровые окрестности. Пустое множество тоже принадлежит совокупности Ω(М). Проверим аксиому (б). Пусть — произвольное семейство множеств из совокупности Ω(М). Чтобы доказать, что их объединение тоже принадлежит Ω(М), найдем для произвольной точки некоторую ее шаровую окрестность V, содержащуюся в a U_a’ . Так как точка для некоторого α’из I, то найдется шаровая окрестность V этой точки, принадлежащая множеству U_a’. Тем более, V содержится во множестве и, значит, является искомой. Для проверки аксиомы (в) рассмотрим произвольное конечное семейство множеств из Ω(М) и докажем, что пересечение , тоже принадлежит Ω(М). Фиксируем произвольную точку . Пусть множество U_i содержит ε_i-окрестность точки а. Обозначим . Тогда ε-окрестность точки а содержится в каждом множестве U_i и, следовательно, в их пересечении . Теорема доказана.

Мы проверили, что совокупность Ω(M) задает топологию на множестве М, которая называется метрической топологией. О метрической топологии часто говорят как о топологии, которую порождает метрика.