На окружности число 10

Числовая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac, frac, frac, 10π, -frac)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

На окружности число 10

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

На окружности число 10 На окружности число 10

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

На окружности число 10

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

Содержание
  1. Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).
  2. Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?
  3. Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
  4. Главное свойство числовой окружности
  5. Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.
  6. Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:
  7. Единичная числовая окружность на координатной плоскости
  8. п.1. Понятие тригонометрии
  9. п.2. Числовая окружность
  10. п.3. Градусная и радианная мера угла
  11. п.4. Свойства точки на числовой окружности
  12. п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
  13. п.6. Примеры
  14. Конспект занятия в старшей группе. Знакомство с записью числа 10. Деление круга на две равные части
  15. Ход занятия:
  16. 🌟 Видео

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

На окружности число 10

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

На окружности число 10

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

На окружности число 10

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

На окружности число 10

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

На окружности число 10

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac),(-frac),(frac), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

На окружности число 10

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

На окружности число 10

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Что надо запомнить про числовую окружность:

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

На окружности число 10Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.На окружности число 10

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

На окружности число 10Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.)
Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$
30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(pi)(frac)(2pi)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

На окружности число 10Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
При t=0, M(0)=A.
При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
AM=t. Точка M — искомая.
При t Например:
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi)
Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
На окружности число 10
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac).
Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end

На окружности число 10

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежутокСоответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac lt t lt frac $$ На окружности число 10
а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$
На окружности число 10
Интервал
$$ -frac leq t leq frac $$ На окружности число 10
а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$
На окружности число 10
Полуинтервал
$$ -frac leq t ltfrac $$ На окружности число 10
а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$
На окружности число 10

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

На окружности число 10

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end

На окружности число 10

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end

На окружности число 10

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

На окружности число 10Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

$$ frac $$$$ -frac+2pi k $$
На окружности число 10
Четыре базовых точки, через каждые 90°
На окружности число 10
Две базовых точки, через каждые 180°
$$ frac+frac $$$$ -frac $$
На окружности число 10
Три базовых точки, через каждые 120°
На окружности число 10
Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

Видео:Соответствие чисел точкам числовой окружностиСкачать

Соответствие чисел точкам числовой окружности

Конспект занятия в старшей группе. Знакомство с записью числа 10. Деление круга на две равные части

Агафонова Тамара
Конспект занятия в старшей группе. Знакомство с записью числа 10. Деление круга на две равные части

Цель: познакомить с записью числа 10; продолжать учить делить круг на две равные части, называть части и сравнивать целое и часть; продолжать учить сравнивать два предмета по ширине с помощью условной меры, равной одному из сравниваемых предметов; закреплять умение последовательно называть дни недели.

Демонстрационный материал: цифры от 1 до 9, круг из бумаги, игрушки зайцы, ленты одинаковой и разной ширины.

Раздаточный материал: круги из бумаги, ножницы, математические наборы, полоски разной и одинаковой ширины, цветные карандаши, рабочие тетради.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Ход занятия:

1. Игровое упражнение «Посчитаем»

Загадываю детям загадку:

Проживают в трудной книжке

Десять их, но братья эти

Сосчитают все на свете. (Цифры)

Повторяем с детьми цифры от 0-9.

Обращаю внимание детей на доску, где расположены цифры. Прошу детей внимательно посмотреть и сказать, каких цифр не хватает. Сколько всего цифр на доске? (10)

Затем ставлю на доску 10 квадратов. Спрашиваю ребят, сколько квадратов на доске? (10)

Как обозначается число 10? (Цифрами 1 и 0)

2. Игра «Найди такую же»

Показываю детям игрушки зайчат. Зайчата к нам пришли за помощью. Они идут в гости и хотят, чтобы мы им помогли выбрать ленточки. Ленточки должны быть одинаковыми, одной ширины. Они взяли с собой одну ленточки и просят нас найти такую же.

Спрашиваю детей, как мы им можем помочь, что для этого нужно сделать? (Приложить ленточки друг к другу)

Вызываю одного ребенка к доске. Он выбирает ленточки зайчатам. Остальные дети работают с раздаточным материалом — сравнивают полоски на столах.

Мы становимся все выше,

Достаем руками крыши.

Раз, два поднялись.

Раз, два руки вниз.

4. Игра «Подели пополам»

Говорю детям, что у зайчиков есть яблоко, оно одно, а зайчиков два. Как мы можем поделить это яблоко между зайчатами? (Разрезать пополам) Яблоко у нас какое? На какую геометрическую фигуру оно похоже? (На круг) Как разделить круг на 2 части? (Нужно сложить круг пополам, совместив его края)

Предлагаю детям взять круги-яблоки со столов, сложить круг и разрезать на две части?

Сколько частей получилось? Как можно назвать каждую часть круга? Покажите половину круга (одну вторую).Что больше: часть или целое?Что меньше: часть или целое?

5. Игра «Дни недели»

Предлагаю ребятам вспомнить, сколько дней недели? (7) Назовите их по порядку. Какой день недели был вчера? Какой день недели сегодня? Какой день недели будет завтра?

6. Игра «Рисуем рисунок»

Прошу детей открыть тетради в клетку и нарисовать рисунок по образцу.

На окружности число 10Консультация «Как разрезать изображение на равные части для оформления группы» Как я разрезала картинки и что из этого получилось Не знаю как Вы, а я художник так себе — карандаши и краски не мой конек. Но по роду своих.

На окружности число 10Конспект интегрированного занятия в старшей группе по теме «Человек. Части тела» Конспект интегрированного занятия в старшей группе по теме «Человек. Части тела». ОО «Познавательное развитие», «Художественно-эстетическое.

На окружности число 10Конспект НОД по математике в старшей группе «Деление квадрата на части» Программные задачи: Закрепить счет в пределах 10 (прямой и обратный). Находить последующее, предыдущее число. Закрепить умение детей изготавливать.

Конспект занятия по ФЭМП «Состав числа 6» в старшей группе Задачи. Познакомить детей с составом числа 6. Учить решать и составлять задачи на сложение и вычитание, называть соседей числа. Развивать.

На окружности число 10Конспект занятия по ФЭМП «Состав числа 9» в старшей группе Задачи. Познакомить с составом числа 9. Учить решать и составлять задачи на сложение. Развивать логическое мышление. Демонстрационный материал:.

Конспект занятия по ФЭМП в старшей группе «Образование числа «9» Тема: Конспект занятия по ФЭМП в старшей группе «Образование числа «9» Цель: образование числа 9 на основе сравнения двух групп предметов,.

На окружности число 10Конспект занятия по ФЭМП «Знакомство с цифрами 1 и 2» в старшей группе Программное содержание: Закреплять представление о том, что результат не зависит от величины предметов и расстояния между ними (счет в.

Конспект занятия по грамоте в старшей группе «Знакомство со звуком [А] и буквой А» Ягоды лесные и садовые Материал: демонстрационный материал, Презентация «Звук и буква Аа», рабочие тетради 1 часть, цветные карандаши,.

На окружности число 10Конспект занятия по математике «Составление числа 5 разными способами» в старшей группе для детей с ОВЗ Конспект занятия по математике «Составление числа 5 разными способами» в старшей группе для детей с ОВЗ. Цель: — Создать условия для формирования.

На окружности число 10Отчёт о проведении мероприятий недели инклюзивного образования «Равные возможности — равные права» в средней группе С 1 апреля по 5 апреля 2019года в средней билингвальной группе «Подсолнух» прошла Неделя инклюзивного образования «Равные возможности –.

🌟 Видео

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

1. Числовая окружность. 10 классСкачать

1. Числовая окружность. 10 класс

Числовая окружность 10 класс АлимовСкачать

Числовая окружность 10 класс Алимов

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | Инфоурок

№ 4.6- Алгебра 10-11 класс МордковичСкачать

№ 4.6- Алгебра 10-11 класс Мордкович

Математика 10 класс.Построение точек на числовой окружности 10 классСкачать

Математика 10 класс.Построение точек на числовой окружности 10 класс

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Числовая окружность | Алгебра 10 класс #8 | ИнфоурокСкачать

Числовая окружность | Алгебра 10 класс #8 | Инфоурок

Числовая окружность на координатной плоскости | Алгебра 10 класс #10 | ИнфоурокСкачать

Числовая окружность на координатной плоскости | Алгебра 10 класс #10 | Инфоурок

10 класс. Алгебра. Числовая окружность.Скачать

10 класс. Алгебра. Числовая окружность.

10 класс - Алгебра - Числовая окружностьСкачать

10 класс - Алгебра - Числовая окружность

Точки на числовой окружностиСкачать

Точки на числовой окружности

Алгебра 10 класс. 24 сентября. Числовая окружность #10Скачать

Алгебра 10 класс. 24 сентября. Числовая окружность #10

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

10 класс, 13 урок, Синус и косинус Тангенс и котангенсСкачать

10 класс, 13 урок, Синус и косинус  Тангенс и котангенс
Поделиться или сохранить к себе: