В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство
КвадратВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

ТрапецияВ любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можноСкачать

Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно

Вписанная окружность

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоАВС.

Доказать: в В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоАВС можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

2. Точка О равноудалена от сторон В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоАВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоАВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

На рисунке 2 мы видим, что В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоАВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство. Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоАВС выражается формулой: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство, где В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство— периметр В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствоАВС. Что и требовалось доказать.

Замечание 3

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательствои ВС + АD = В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство, следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

Верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство

Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

АВ + СD = ВС + АD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.

Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны доказательство

Теорема.

В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Обратная теорема.

Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.

Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.

Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.

📸 Видео

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольникСкачать

Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольник

Задание 26 Описанная трапецияСкачать

Задание 26  Описанная трапеция

Геометрия. 9 класс. Вписанные и описанные четырехугольники /20.04.2021/Скачать

Геометрия. 9 класс. Вписанные и описанные четырехугольники /20.04.2021/

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Задание 26 Описанная прямоугольная трапецияСкачать

Задание 26 Описанная прямоугольная трапеция

8 класс. Четырехугольник и окружностьСкачать

8 класс.  Четырехугольник  и окружность

Вписанная окружность 2Скачать

Вписанная окружность 2

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружностьСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружность

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

30 04 2020 8 класс геометрия СусловаНВСкачать

30 04 2020 8 класс геометрия СусловаНВ

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: