Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Содержание:

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

На рисунке 66 изображена трапеция Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Видео:Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Свойства трапеции

Рассмотрим некоторые свойства трапеции.

1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Так как Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхто Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.

Поскольку Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхто Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхАналогично Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхСледовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник.

Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.

Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— высота трапеции Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхНакрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхОчевидно, что Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхявляется меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства равнобокой трапеции

Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.

1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

1) Пусть в трапеции Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхПроведем высоты трапеции Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхиз вершин ее тупых углов Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(рис. 70). Получили прямоугольник Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхПоэтому Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

2) Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(по катету и гипотенузе). Поэтому Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

3) Также Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхНо Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхпоэтому Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхСледовательно, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

2. Диагонали равнобокой трапеции равны.

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 71. Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(как углы при основании равнобокой трапеции), Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— общая сторона треугольников Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхПоэтому Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Пример:

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхс основаниями Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(рис. 71). Докажите, что Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Доказательство:

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(доказано выше). Поэтому Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхПо признаку равнобедренного треугольника Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— равнобедренный. Поэтому Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхПоскольку Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхто Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(так как Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых).

Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.

Доказательство:

1) Пусть в Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхуглы при большем основании Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхравны (рис. 70), то есть Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхПроведем высоты Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхони равны.

2) Тогда Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(по катету и противолежащему углу). Следовательно, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхТаким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.

Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).

В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.

Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Свойство средней линии трапеции

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Рассмотрим свойство средней линии трапеции.

Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— данная трапеция, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

1) Проведем луч Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхдо его пересечения с лучом Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхПусть Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— точка их пересечения. Тогда Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи секущей Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(как вертикальные), Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(по условию). Следовательно, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(по стороне и двум прилежащим углам), откуда Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(как соответственные стороны равных треугольников).

2) Поскольку Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхто Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— средняя линия треугольника Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхТогда, по свойству средней линии треугольника, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыха значит, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхНо так как Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхто Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

3) Кроме того, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Пример:

Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.

Доказательство:

Пусть Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— средняя линия трапеции Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— точка пересечения Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— точка пересечения Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(рис. 110). Пусть Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхДокажем, что Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

1) Так как Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхто, по теореме Фалеса, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых-середина Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— середина Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхПоэтому Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— средняя линия треугольника Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхНакрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— средняя линия треугольника Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Тогда Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

2) Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— средняя линия трапеции, поэтому Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

3) Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Пример:

В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции — 48 см.

Решение:

Пусть Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— данная трапеция, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— ее средняя линия, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(рис. 111).

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

1) Обозначим Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхТогда

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

2) Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(по условию). Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхи секущей Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхПоэтому Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхСледовательно, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых— равнобедренный, у которого Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(по признаку равнобедренного треугольника). Но Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых(по условию), значит, Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

3) Учитывая, что Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхполучим уравнение: Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхоткуда Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

4) Тогда Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).

О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Внутренние накрест лежащие углы

Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.

Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.

Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхНакрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямыхЕсли a ∥ b, то

∠1 = ∠2

∠3 = ∠4

(как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых∠1=∠2.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

Видео:№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать

№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Накрест лежащие углы трапеции при параллельных прямых Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

🎥 Видео

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать

УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 класс

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,Скачать

Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,

Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать

Трапеция, решение задач. Вебинар | Математика

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Трапеция. Свойства. Задачи. Найти углы трапеции. ПериметрСкачать

Трапеция. Свойства. Задачи. Найти углы трапеции. Периметр

Как найти углы трапеции | Свойства трапеции | Как решить задачу из пособия Балаян. 8кл+Скачать

Как найти углы трапеции | Свойства трапеции | Как решить задачу из пособия Балаян. 8кл+

Трапеция | Задачи 11-24 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии в задачах 7-8Скачать

Трапеция | Задачи 11-24 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии в задачах 7-8

Задачи по геометрии.Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы .Скачать

Задачи по геометрии.Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы .

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020

ОГЭ Задание 25 Четыре замечательные точки трапецииСкачать

ОГЭ Задание 25 Четыре замечательные точки трапеции

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Задание 25 Три стороны трапеции равныСкачать

Задание 25 Три стороны трапеции равны
Поделиться или сохранить к себе: