Содержание:
Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
На рисунке 66 изображена трапеция 
Видео:Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать
Свойства трапеции
Рассмотрим некоторые свойства трапеции.
1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
Так как 
то 
(как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично 
2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.
Поскольку 
то 
Аналогично 
Следовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник.
Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.
Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 
— высота трапеции 
Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция 
Очевидно, что 
является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.
Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция 
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Свойства равнобокой трапеции
Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.
1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Доказательство:
1) Пусть в трапеции 
Проведем высоты трапеции 
и 
из вершин ее тупых углов 
и 
(рис. 70). Получили прямоугольник 
Поэтому 
2) 
(по катету и гипотенузе). Поэтому 
3) Также 
Но 
поэтому 
и 
Следовательно, 
2. Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство:
Рассмотрим рисунок 71. 
(как углы при основании равнобокой трапеции), 
— общая сторона треугольников 
и 
Поэтому 
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 
Пример:
— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции 
с основаниями 
и 
(рис. 71). Докажите, что 
Доказательство:
(доказано выше). Поэтому 
По признаку равнобедренного треугольника 
— равнобедренный. Поэтому 
Поскольку 
и 
то 
(так как 
).
Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.
Доказательство:
1) Пусть в 
углы при большем основании 
равны (рис. 70), то есть 
Проведем высоты 
и 
они равны.
2) Тогда 
(по катету и противолежащему углу). Следовательно, 
Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.
Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).
В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.
Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать
Свойство средней линии трапеции
Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Рассмотрим свойство средней линии трапеции.
Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство:
Пусть 
— данная трапеция, 
— ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что 
и 
1) Проведем луч 
до его пересечения с лучом 
Пусть 
— точка их пересечения. Тогда 
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
(как вертикальные), 
(по условию). Следовательно, 
(по стороне и двум прилежащим углам), откуда 
(как соответственные стороны равных треугольников).
2) Поскольку 
то 
— средняя линия треугольника 
Тогда, по свойству средней линии треугольника, 
а значит, 
Но так как 
то 
3) Кроме того, 
Пример:
Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.
Доказательство:
Пусть 
— средняя линия трапеции 
— точка пересечения 
и 
— точка пересечения 
и 
(рис. 110). Пусть 
Докажем, что 
1) Так как 
и 
то, по теореме Фалеса, 
-середина 
— середина 
Поэтому 
— средняя линия треугольника 
— средняя линия треугольника 
Тогда 
2) 
— средняя линия трапеции, поэтому 
3) 
Пример:
В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции — 48 см.
Решение:
Пусть 
— данная трапеция, 
— ее средняя линия, 
(рис. 111).
1) Обозначим 
Тогда
2) 
(по условию). 
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
Следовательно, 
— равнобедренный, у которого 
(по признаку равнобедренного треугольника). Но 
(по условию), значит, 
3) Учитывая, что 
получим уравнение: 
откуда 
4) Тогда 
То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).
О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Площадь трапеции
- Центральные и вписанные углы
- Углы и расстояния в пространстве
- Подобие треугольников
- Площадь параллелограмма
- Прямоугольник и его свойства
- Ромб и его свойства, определение и примеры
- Квадрат и его свойства
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:Пары углов в геометрииСкачать
Внутренние накрест лежащие углы
Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.
Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.
Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).
При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.
∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.
∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.
Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.
Свойство параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.
Если a ∥ b, то
∠1 = ∠2
∠3 = ∠4
(как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).
Признак параллельных прямых
Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
∠1=∠2.
А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,
то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).
Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.
Видео:№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.
Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.
Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .
Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
🎥 Видео
7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать
7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,Скачать
Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать
ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать
Трапеция. Свойства. Задачи. Найти углы трапеции. ПериметрСкачать
Как найти углы трапеции | Свойства трапеции | Как решить задачу из пособия Балаян. 8кл+Скачать
Трапеция | Задачи 11-24 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии в задачах 7-8Скачать
Задачи по геометрии.Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы .Скачать
Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать
ОГЭ Задание 25 Четыре замечательные точки трапецииСкачать
Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Задание 25 Три стороны трапеции равныСкачать
