В четырехугольнике авсд стороны ав вс и сд равны по длине угол авс равен 60

Проведем диагональ АС так АВ=ВС следовательно АВС равнобедренный треугольник уголуголСАВ=уголВСА =уголВСА
уголА+уголВ+уголС=180 градусов
(180-60)/2=60
AD=CD следовательно АСD равнобедренный треугольник уголАСD=уголСАD
(180-110)/2=35
уголСАВ + уголСАD=60+35=95 угол А

Проведите BD. Известные углы разделятся пополам. 30 и 55.угол А неизвестен. В сумме эти углы должны дать 180 градусов. (30+55+угол А=180*)

Решение №2427 Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD = 10 вписан в окружность.

Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Проведём прямую DM параллельную АС. Дуги ‿АМ = ‿DC, значит и хорды равны DC = AM = 10.
∠ABK = ∠DKC = 60°, как вертикальные. ∠MDK = ∠DKC = 60°, как накрест лежащие углы, при AC||MD и секущей DK.
Четырёхугольник AMDB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Найдём ∠MAB:

∠MAB = 180° – ∠MDB = 180° – 60° = 120°

По теореме косинусов найдём MB:

MB 2 = AM 2 + AB 2 – 2·AM·AB·cos 120°

Найдём радиус описанной вокруг ΔABM окружности по теореме синусов:

Ответ: .

В четырехугольнике авсд стороны ав вс и сд равны по длине угол авс равен 60

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:

поэтому ABC = 120°.

Далее,

поэтому ADC = 60°.

Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда

Ответ: б)

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.

Заметим, что поскольку Пусть тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов

В треугольнике BCD по теореме косинусов

Приравнивая выражения для BD 2 , получим

Приведем идею решения Юрия Зорина.

Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.