Угол между векторами по часовой (4 видео)

Прямой способ вычисления угла по часовой стрелке между двумя векторами

Я хочу выяснить угол по часовой стрелке между 2 векторами (2D, 3D).

Классический способ с точечным произведением дает мне внутренний угол (0-180 градусов), и мне нужно использовать некоторые операторы if, чтобы определить, является ли результат нужным мне углом или его дополнением.

Вы знаете прямой способ вычисления угла по часовой стрелке?

Содержание

Решение
Как тройной продукт
Другие решения
Нахождение угла между векторами
Нахождение угла между векторами
Угол между векторами.
Формула вычисления угла между векторами
Примеры задач на вычисление угла между векторами
Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи
Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач
📸 Видео

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Решение

Так же, как скалярное произведение пропорционально косинусу угла, то определитель пропорционально его синусу. Таким образом, вы можете вычислить угол следующим образом:

Ориентация этого угла совпадает с ориентацией системы координат. В левосторонняя система координат , то есть Икс направо и Y вниз, как обычно для компьютерной графики, это будет означать, что вы получите положительный знак для углов по часовой стрелке. Если ориентация системы координат является математической с Y вверх, вы получаете против часовой стрелки, как это принято в математике. Изменение порядка входов изменит знак, поэтому, если вы недовольны этими знаками, просто поменяйте местами входы.

В 3D два произвольно расположенных вектора определяют свою ось вращения, перпендикулярную обоим. Эта ось вращения не имеет фиксированной ориентации, что означает, что вы также не можете однозначно определить направление угла поворота. Одно из общепринятых правил состоит в том, чтобы углы всегда были положительными и ориентировали ось таким образом, чтобы она соответствовала положительному углу. В этом случае произведение точек нормализованных векторов достаточно для вычисления углов.

Один частный случай — это случай, когда ваши векторы не расположены произвольно, а лежат в плоскости с известным вектором нормалей. N. Тогда ось вращения будет в направлении N а также, и ориентация N установит ориентацию для этой оси. В этом случае вы можете адаптировать 2D вычисления выше, в том числе N в определитель сделать его размером 3 × 3.

Одним из условий этого является то, что нормальный вектор N имеет длину блока. Если нет, вам придется нормализовать его.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Как тройной продукт

Этот детерминант также может быть выражен как тройной продукт , как @Excrubulent указал в предлагаемом редактировании.

Это может быть проще для реализации в некоторых API и дает другое представление о том, что здесь происходит: перекрестное произведение пропорционально синусу угла и будет лежать перпендикулярно плоскости, следовательно, будет кратным N. Таким образом, скалярное произведение будет в основном измерять длину этого вектора, но с правильным знаком, прикрепленным к нему.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Другие решения

Для вычисления угла вам просто нужно позвонить atan2(v1.s_cross(v2), v1.dot(v2)) для 2D случая.
куда s_cross является скалярным аналогом перекрестного производства (подписанная область параллелограмма).
Для 2D случая это будет производство клина.
Для трехмерного случая вам нужно определить вращение по часовой стрелке, потому что с одной стороны плоскости по часовой стрелке — одно направление, с другой стороны плоскости — другое направление =)

Изменить: это против часовой стрелки угол, по часовой стрелке прямо напротив

Этот ответ такой же, как и у MvG, но объясняет его по-другому (это результат моих попыток понять, почему работает решение MvG). Я публикую это на случай, если другие найдут это полезным.

Угол против часовой стрелки theta от x в y по отношению к точке зрения их данного нормального n ( ||n|| = 1 ), дан кем-то

(1) = atan2 (|| x || || y || sin (тета), || x || || y || cos (тета))

(2) = atan2 (грех (тета), соз (тета))

(3) = против часовой стрелки между осью x и вектором (cos (тета), sin (тета))

где ||x|| обозначает величину x ,

Шаг (1) следует, отметив, что

= точка (n, || x || || y || sin (theta) n)

= || х || || у || точка греха (тета) (n, n)

Шаг (2) следует из определения atan2 отмечая, что atan2(cy, cx) = atan2(y,x) , где c это скаляр Шаг (3) следует из определения atan2 , Шаг (4) следует из геометрических определений cos а также sin ,

Скалярное (точечное) произведение двух векторов позволяет получить косинус угла между ними.
Чтобы получить «направление» угла, вы также должны рассчитать перекрестное произведение, оно позволит вам проверить (через координату z) угол по часовой стрелке или нет (т.е. вы должны извлечь его из 360 градусов или нет).

Для 2D-метода вы можете использовать закон
косинусы и метод «направления».

Для расчета угла сегмента P3: P1
подметание по часовой стрелке к сегменту P3: P2.

операции как предложения выше и только один
более или менее операция с плавающей запятой.

методы, которые он использует:

Если «прямым путем» вы имеете в виду избегать if утверждение, то я не думаю, что есть действительно общее решение.

Однако, если ваша конкретная проблема позволила бы потерять некоторую точность в дискретизации углов, и вы можете потерять некоторое время в преобразованиях типов, вы можете отобразить допустимый диапазон угла [-pi, pi) на разрешенный диапазон некоторого целочисленного типа со знаком. , Тогда вы получите комплементарность бесплатно. Однако я не использовал этот трюк на практике. Скорее всего, затраты на преобразование с плавающей точкой в целое и целое в число с плавающей точкой перевесят любую выгоду от непосредственности. Лучше установить приоритеты при написании кода с автоматическим векторизацией или распараллеливанием, когда это вычисление углов выполняется много.

Кроме того, если детали вашей проблемы таковы, что есть определенное более вероятное решение для углового направления, то вы можете использовать встроенные функции компилятора для предоставления этой информации компилятору, чтобы он мог более эффективно оптимизировать ветвление. Например, в случае GCC это __builtin_expect функция. Это несколько удобнее использовать, когда вы оборачиваете likely а также unlikely макросы (как в ядре Linux):

Формула для угла по часовой стрелке, 2D случай, между 2 векторами, xa, ya и xb, yb.

Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Угол между векторами.

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Формула вычисления угла между векторами

cos α =	a · b
	\| a \|·\| b \|

Видео:9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	24	=	24	= 0.96
	\| a \| · \| b \|		5 · 5		25

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	40	=	40	=	4	= 0.8
	\| a \| · \| b \|		5√ 2 · 5√ 2		50		5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	28	=	14
	\| a \| · \| b \|		5 · 6		15

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.