Центральные вписанные углы четырехугольника

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Центральные вписанные углы четырехугольникаВписанные четырехугольники и их свойства
Центральные вписанные углы четырехугольникаТеорема Птолемея
Содержание
  1. Вписанные четырёхугольники и их свойства
  2. Теорема Птолемея
  3. Центральные и вписанные углы
  4. Центральный угол и вписанный угол
  5. Свойства центральных и вписанных углов
  6. Примеры решения задач
  7. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  8. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  9. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  10. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  11. Параллелограмм
  12. Параллелограмм и его свойства
  13. Признаки параллелограмма
  14. Прямоугольник
  15. Признак прямоугольника
  16. Ромб и квадрат
  17. Свойства ромба
  18. Трапеция
  19. Средняя линия треугольника
  20. Средняя линия трапеции
  21. Координаты середины отрезка
  22. Теорема Пифагора
  23. Справочный материал по четырёхугольнику
  24. Пример №1
  25. Признаки параллелограмма
  26. Пример №2 (признак параллелограмма).
  27. Прямоугольник
  28. Пример №3 (признак прямоугольника).
  29. Ромб. Квадрат
  30. Пример №4 (признак ромба)
  31. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  32. Пример №5
  33. Пример №6
  34. Трапеция
  35. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  36. Центральные и вписанные углы
  37. Пример №8
  38. Вписанные и описанные четырёхугольники
  39. Пример №9
  40. Пример №10
  41. 📸 Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Центральные вписанные углы четырехугольника
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Центральные вписанные углы четырехугольника

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЦентральные вписанные углы четырехугольникаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЦентральные вписанные углы четырехугольникаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЦентральные вписанные углы четырехугольникаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЦентральные вписанные углы четырехугольникаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЦентральные вписанные углы четырехугольника

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Центральные вписанные углы четырехугольника
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Центральные вписанные углы четырехугольника

Окружность, описанная около параллелограмма
Центральные вписанные углы четырехугольникаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Центральные вписанные углы четырехугольникаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Центральные вписанные углы четырехугольникаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Центральные вписанные углы четырехугольникаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Центральные вписанные углы четырехугольника
Окружность, описанная около параллелограмма
Центральные вписанные углы четырехугольника

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЦентральные вписанные углы четырехугольника

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЦентральные вписанные углы четырехугольника

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЦентральные вписанные углы четырехугольника

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЦентральные вписанные углы четырехугольника

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Докажем, что справедливо равенство:

Центральные вписанные углы четырехугольника

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Центральные вписанные углы четырехугольника

откуда вытекает равенство:

Центральные вписанные углы четырехугольника(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Центральные и вписанные углы

Центральные вписанные углы четырехугольника

О чем эта статья:

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Центральные вписанные углы четырехугольника

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Центральные вписанные углы четырехугольника

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Центральные вписанные углы четырехугольника

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Центральные вписанные углы четырехугольника

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Центральные вписанные углы четырехугольника

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Центральные вписанные углы четырехугольника

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Центральные вписанные углы четырехугольника

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Центральные вписанные углы четырехугольника

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Центральные вписанные углы четырехугольника

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Центральные вписанные углы четырехугольника

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Центральные вписанные углы четырехугольника

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Центральные вписанные углы четырехугольника

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Центральные вписанные углы четырехугольника

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Центральные вписанные углы четырехугольникауглы Центральные вписанные углы четырехугольникаявляются внешними.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Центральные вписанные углы четырехугольникаГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Центральные вписанные углы четырехугольникаЦентральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Центральные вписанные углы четырехугольникаДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Центральные вписанные углы четырехугольникаЦентральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Центральные вписанные углы четырехугольника

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Центральные вписанные углы четырехугольникато параллелограмм Центральные вписанные углы четырехугольникаявляется ромбом.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство теоремы 1.

Дано: Центральные вписанные углы четырехугольникаромб.

Докажите, что Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство (словестное): По определению ромба Центральные вписанные углы четырехугольникаПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Центральные вписанные углы четырехугольникаравнобедренный. Медиана Центральные вписанные углы четырехугольника(так как Центральные вписанные углы четырехугольника), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Центральные вписанные углы четырехугольникаТак как Центральные вписанные углы четырехугольникаявляется прямым углом, то Центральные вписанные углы четырехугольника. Аналогичным образом можно доказать, что Центральные вписанные углы четырехугольника

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

План доказательства теоремы 2

Дано: Центральные вписанные углы четырехугольникаравнобедренная трапеция. Центральные вписанные углы четырехугольника

Докажите: Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Центральные вписанные углы четырехугольникатогда Центральные вписанные углы четырехугольникаЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Центральные вписанные углы четырехугольникапроведем параллельную прямую к прямой Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Центральные вписанные углы четырехугольникачерез точку Центральные вписанные углы четырехугольника— середину стороны Центральные вписанные углы четырехугольникапроведите прямую параллельную Центральные вписанные углы четырехугольникаКакая фигура получилась? Является ли Центральные вписанные углы четырехугольникатрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Центральные вписанные углы четырехугольникаМожно ли утверждать, что Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство. Пусть дан треугольник Центральные вписанные углы четырехугольникаи его средняя линия Центральные вписанные углы четырехугольникаПроведём через точку Центральные вписанные углы четырехугольникапрямую параллельную стороне Центральные вписанные углы четырехугольникаПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Центральные вписанные углы четырехугольникат.е. совпадает со средней линией Центральные вписанные углы четырехугольникаТ.е. средняя линия Центральные вписанные углы четырехугольникапараллельна стороне Центральные вписанные углы четырехугольникаТеперь проведём среднюю линию Центральные вписанные углы четырехугольникаТ.к. Центральные вписанные углы четырехугольникато четырёхугольник Центральные вписанные углы четырехугольникаявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Центральные вписанные углы четырехугольникаПо теореме Фалеса Центральные вписанные углы четырехугольникаТогда Центральные вписанные углы четырехугольникаТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство: Через точку Центральные вписанные углы четырехугольникаи точку Центральные вписанные углы четырехугольникасередину Центральные вписанные углы четырехугольникапроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Центральные вписанные углы четырехугольникачерез Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Центральные вписанные углы четырехугольникарадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Центральные вписанные углы четырехугольникаЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Центральные вписанные углы четырехугольникаи Центральные вписанные углы четырехугольникаи точка Центральные вписанные углы четырехугольникакоторая является серединой отрезка Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольникато Центральные вписанные углы четырехугольникаа отсюда следует, что Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

2) По теореме Фалеса, если точка Центральные вписанные углы четырехугольникаявляется серединой отрезка Центральные вписанные углы четырехугольникато на оси абсцисс точка Центральные вписанные углы четырехугольникаявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Центральные вписанные углы четырехугольникаи Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

3) Координаты середины отрезка Центральные вписанные углы четырехугольникас концами Центральные вписанные углы четырехугольникаи Центральные вписанные углы четырехугольникаточки Центральные вписанные углы четырехугольниканаходятся так:

Центральные вписанные углы четырехугольника

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Центральные вписанные углы четырехугольникапараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Центральные вписанные углы четырехугольникакак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Центральные вписанные углы четырехугольникакак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Центральные вписанные углы четырехугольника

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Центральные вписанные углы четырехугольникато, Центральные вписанные углы четырехугольника— прямоугольный.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Центральные вписанные углы четырехугольникаявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Центральные вписанные углы четырехугольникатакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Центральные вписанные углы четырехугольника(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Центральные вписанные углы четырехугольникаЦентральные вписанные углы четырехугольника

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Центральные вписанные углы четырехугольника

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Центральные вписанные углы четырехугольника, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Центральные вписанные углы четырехугольника=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Центральные вписанные углы четырехугольника+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Центральные вписанные углы четырехугольника. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Центральные вписанные углы четырехугольника. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Решение:

Центральные вписанные углы четырехугольника(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Центральные вписанные углы четырехугольника(АВ CD, ВС-секущая), Центральные вписанные углы четырехугольника(ВС || AD, CD — секущая), Центральные вписанные углы четырехугольника(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство. Центральные вписанные углы четырехугольникапо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Центральные вписанные углы четырехугольникакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Центральные вписанные углы четырехугольника

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Центральные вписанные углы четырехугольникапо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Центральные вписанные углы четырехугольника Центральные вписанные углы четырехугольникаУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Центральные вписанные углы четырехугольникапо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Центральные вписанные углы четырехугольникакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Центральные вписанные углы четырехугольникаНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Центральные вписанные углы четырехугольникапо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Центральные вписанные углы четырехугольникакак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Центральные вписанные углы четырехугольникаНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Центральные вписанные углы четырехугольника

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Центральные вписанные углы четырехугольникаМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Центральные вписанные углы четырехугольника. Центральные вписанные углы четырехугольникапо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Центральные вписанные углы четырехугольника. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Центральные вписанные углы четырехугольника. По свойству углов четырёхугольника, Центральные вписанные углы четырехугольника

Следовательно, Центральные вписанные углы четырехугольника: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Центральные вписанные углы четырехугольника. Центральные вписанные углы четырехугольника

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Центральные вписанные углы четырехугольника

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Центральные вписанные углы четырехугольника(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Центральные вписанные углы четырехугольникапо двум сторонами и углу между ними.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Центральные вписанные углы четырехугольникапо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Центральные вписанные углы четырехугольника

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Центральные вписанные углы четырехугольника

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Центральные вписанные углы четырехугольникаи Центральные вписанные углы четырехугольникаПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Центральные вписанные углы четырехугольникапараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Центральные вписанные углы четырехугольникаПри помощи циркуля сравните длины отрезков Центральные вписанные углы четырехугольникаСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказать: Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство. Проведём через точки Центральные вписанные углы четырехугольникапрямые Центральные вписанные углы четырехугольникапараллельные ВС. Центральные вписанные углы четырехугольникапо стороне и прилежащим к ней углам. У них Центральные вписанные углы четырехугольникапо условию, Центральные вписанные углы четырехугольникакак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Центральные вписанные углы четырехугольникаи Центральные вписанные углы четырехугольникакак противоположные стороны параллелограммов Центральные вписанные углы четырехугольника

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Центральные вписанные углы четырехугольникаПроведём прямую Центральные вписанные углы четырехугольника. Через точки Центральные вписанные углы четырехугольникапроведём прямые, параллельные прямой Центральные вписанные углы четырехугольника. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Центральные вписанные углы четырехугольника, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Центральные вписанные углы четырехугольника(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказать: Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Центральные вписанные углы четырехугольника. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Центральные вписанные углы четырехугольника. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Центральные вписанные углы четырехугольника

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Поэтому Центральные вписанные углы четырехугольника. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Центральные вписанные углы четырехугольника

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРЦентральные вписанные углы четырехугольника, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Центральные вписанные углы четырехугольника= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Центральные вписанные углы четырехугольникаno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Центральные вписанные углы четырехугольникакак вертикальные, Центральные вписанные углы четырехугольникавнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Центральные вписанные углы четырехугольникаравнобедренный. Поэтому Центральные вписанные углы четырехугольникасоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Центральные вписанные углы четырехугольника

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Центральные вписанные углы четырехугольникаЦентральные вписанные углы четырехугольника

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Центральные вписанные углы четырехугольника— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Центральные вписанные углы четырехугольника. По свойству внешнего угла треугольника, Центральные вписанные углы четырехугольникаЦентральные вписанные углы четырехугольника— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Центральные вписанные углы четырехугольникаизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Центральные вписанные углы четырехугольника

Из доказанного в первом случае следует, что Центральные вписанные углы четырехугольникаизмеряется половиной дуги AD, a Центральные вписанные углы четырехугольника— половиной дуги DC. Поэтому Центральные вписанные углы четырехугольникаизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Центральные вписанные углы четырехугольника

Центральные вписанные углы четырехугольника

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Центральные вписанные углы четырехугольника

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Центральные вписанные углы четырехугольникакак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Центральные вписанные углы четырехугольника, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Центральные вписанные углы четырехугольника

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Центральные вписанные углы четырехугольника(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Центральные вписанные углы четырехугольника(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Центральные вписанные углы четырехугольника

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Центральные вписанные углы четырехугольника

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказать: Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Центральные вписанные углы четырехугольника

Тогда Центральные вписанные углы четырехугольника

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Центральные вписанные углы четырехугольника

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Центральные вписанные углы четырехугольника

Докажем, что Центральные вписанные углы четырехугольника. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Центральные вписанные углы четырехугольника. По свойству равнобокой трапеции, Центральные вписанные углы четырехугольника

Тогда Центральные вписанные углы четырехугольникаи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Центральные вписанные углы четырехугольникацентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Центральные вписанные углы четырехугольникавписанного в окружность. Действительно,

Центральные вписанные углы четырехугольника

Следовательно, четырёхугольник Центральные вписанные углы четырехугольника— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Центральные вписанные углы четырехугольника

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Центральные вписанные углы четырехугольника

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📸 Видео

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ. ПАРАГРАФ-9Скачать

МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ. ПАРАГРАФ-9

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

#Свойство углов вписанного четырехугольникаСкачать

#Свойство углов вписанного четырехугольника

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать

Вписанный угол, который опирается на диаметр

ВЕБИНАР № 1. Планиметрия. Центральные и вписанные углы. Сумма углов вписанного четырехугольника.Скачать

ВЕБИНАР № 1. Планиметрия. Центральные и вписанные углы. Сумма углов вписанного четырехугольника.

Вписанный четырехугольникСкачать

Вписанный четырехугольник
Поделиться или сохранить к себе: