Сумма углов пятиконечной звезды вписанной в окружность (2 видео)

Сумма углов пятиконечной звезды Презентация создана ученицей 9»М» класса Кузьминой Анной. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемФедор Финаев

Содержание

Похожие презентации
Презентация 9 класса на тему: «Сумма углов пятиконечной звезды Презентация создана ученицей 9»М» класса Кузьминой Анной.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
Тема доклада: Таинства знакомой нам звезды
Научная работа по геометрии на тему:»Сумма углов звездчатых многоугольников»
«Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
🔥 Видео

Презентация 9 класса на тему: «Сумма углов пятиконечной звезды Презентация создана ученицей 9»М» класса Кузьминой Анной.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Сумма углов пятиконечной звезды Презентация создана ученицей 9»М» класса Кузьминой Анной

3 Звезда в геральдике

4 1 способ решения Угол АМR – внешний угол треугольника МСЕ, следовательно АМR= 1+ 2 ARM — внешний угол треугольника BRD, следовательно ARM = Тогда = AMR+ ARM+ 5=180º (сумма углов треугольника AMR).

5 2 способ решения 1= половине дуги АВ 2= половине дуги AF 3= половине дуги FD 4= половине дуги DC =½(AB+ +AF+FD+DC+CB)= =½*360º=180º

6 3 способ решения EHML: =360 DMLK: =360 CLKO: =360 BHOK: =360 AOHM: =360 1= = = = = = =5*360( )=5* ( )= =5*360-3*540=180

7 4 способ решения Пусть равны дуги AB=BC=CD=DE=EA, то сумма углов звезды равна: (360º/5)/2*5=180º

8 5 способ решения Пусть EK || LM, тогда: 3=7 6= = = =М+L+A=180º (сумма углов треугольника AML)

Видео:Геометрия Задача со звездой /math and magicСкачать

Тема доклада: Таинства знакомой нам звезды

Батуева Юлия, ученица 8 класса, Ташеланская СОШ

Тема доклада: Таинства знакомой нам звезды.

Написанием данной работы для меня послужило изучение на уроках геометрии свойств многоугольников. Возник интерес к фигуре звезды, о которой я прочитала в учебнике «Геометрия, 7-9» , .

Но, к сожалению, звезду как геометрическую фигуру в школьном курсе я не изучала. Поэтому на занятиях математического кружка и возникла проблема изучить звезду, как геометрическую фигуру. Целью данной работы стало исследование истории возникновения символа звезды, определения пентаграммы и геометрических свойств звезды, а также нахождение золотого сечения звезды и способов определения суммы внутренних углов звезды. Для реализации поставленной цели были изучены различные источники математической и дополнительной литературы, в частности такие как «Словарь символов» Джека Триседдера, «Динамика геометрических фигур», Л. Силаева, «Этот удивительный мир», Л. Тарасова и другие.

ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СИМВОЛА

Интересной, но очень мало затронутой темой является символика звезды.

«Звезда – это превосходство, постоянство, предводительство, защита, бдительность, устремленность».[1]

Древние верили, что звезды управляют человеческими судьбами, считали их божествами или помощниками божеств, что сказалось на общем символизме звезд.

Великие богоматери, такие, как Иштар и Дева Мария, носили короны из звезд.

Звезды считались небесными окнами или входом на небеса. Их называли глазами Митры, персидского бога света. В Ветхом Завете «Звезда Иакова» – символ Мессии; в Новом Завете ее упоминает Иисус Христос, называя «яркой и светлой утренней звездой».

С пятью лучами обычно изображается Вифлеемская звезда. Звезда связана с числом 5. Число 5 – «символ человека и поэтому оно графически изображается фигурой человека, чья голова, разведенные в стороны руки и широко расставленные ноги образуют пятиконечную звезду или пентаграмму».

Пентаграмма является одним из важнейших магических символов. Само это слово происходит от греческих слов «pente», что означает пять, и «gramma» – черта, линия.

Пентаграмма — фигура с пятью вершинами, образованная двумя восходящими пересекающимися лучами, которые отходят от каждой стороны пентагона (правильного пятиугольника), таким образом, получается звезда.3

Пентаграмма — очень древний символ. Она встречается в археологических памятниках, датируемых 7-м тысячелетием до н. э. Но вполне возможно, что пентаграмма возникла гораздо раньше.

2. Первые изображения пентаграммы

Первые известные изображения пентаграммы датируются примерно 3500 г. до н. э.,

Римский император Константин I включил пентаграмму в свою печать и свой амулет, потому что посчитал, что благодаря ей, он нашёл истинную веру и принял христианство. Английский воин, сэр Гавейн, племянник Короля Артура, в качестве личного символа использовал пентаграмму и поместил её на своём щите в золоте на красном фоне. Пять острых концов звезды символизировали пять рыцарских достоинств — «благородство, вежливость, целомудрие, отвага и благочестие».

Итак, пентаграмма — правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник или правильная пятиугольная звезда.

Звезда – это одна из важных фигур сакральной геометрии.

Сакральная геометрия — это учение о формах Пространства и закономерностях развития Вселенной

Пятиконечной звезде — около 3000 лет.

Пентаграмму можно начертить 10 различными способами

Символ пентаграммы известен большинству народов Земли. Ранним христианам пентаграмма была напоминанием о пяти ранах Христа (от тернового венка на лбу, от гвоздей в руках и ногах), которые он получил, страдая за человечество, также она символизировала Троицу и Двойную природу Христа (Божественную и человеческую).

Пентаграмму отождествляли со «Звездой Волхвов», которая помогла восточным мудрецам найти младенца Иисуса.

У немецкого поэта Гёте в трагедии «Фауст» (1808 г), описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена, и промежуток в уголке остался:

Фигура должна быть совершенно замкнутой и не обнаруживать никаких разрывов.

Примером ИСПОЛЬЗОВАНИЯ Пентаграммы в живописи

Является Портрет Моны Лизы (Джоконды). Обнаружено, что композиция рисунка основана на «золотых треугольниках», являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.6

ПЕНТАГРАММА ГЛАЗАМИ МАТЕМАТИКОВ

Пентагра́мма (пентальфа, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε — «пять» и γράμμα — «черта, линия») — правильный пятиугольник, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте, иначе ее называют звездой.

Пентаграмма — правильная геометрическая фигура, обладающая пятилучевой симметрией.

Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор. Он первым стал изучать пентаграмму как геометрическую фигуру. Пифагор считал ее символом совершенства и сделал тайным знаком своей философско — математической школы, с помощью которого пифагорейцы отличали своих от чужих.

Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения

Звезда — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения.

2. Построение пентаграммы

Есть у пентаграммы одно любопытное свойство.

Пентаграмма — простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии. Пентаграмму можно начертить 10 различными способами.

Один из способов построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер ().7

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник, затем из каждой вершины провести отрезок, соединяющий несоседние вершины.

3. «Золотое сечение» — гармоническая пропорция. Пентаграмма и золотое сечение

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.… Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень.

Золотое сечение – это закон пропорциональной связи целого и составляющих это целое частей, когда целое так относится к большей части, как большая часть — к меньшей.

Простейший пример золотого сечения – это деление отрезка в среднем и крайнем отношениях.

При золотом сечении отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению большей части к меньшей:

Преобразуем равенство так: или .

Обозначим , то получим уравнение . Преобразуем x – 1 — или

. Так как явно x≠0 , то получаем квадратное уравнение

x2 – x -1 = 0 , имеющее два корня: x1 = x2 = Первое из этих чисел называется золотой пропорцией и обозначатся буквой Ф –

первой буквой имени Фидия – греческого скульптора, применявшего золотую пропорцию при создании своих творений (храм Парфенон в Афинах).

Итак, Ф = (√5 + 1)/2 = 1,618034.

Часто рассматривают отношение 1/Ф. Его обозначают буквой -φ, и оно равно (√5— 1)/2 = 0,618034.

Значит, второй корень уравнения – это φ = (√5— 1)/2 = 0,618034.

Ф и φ — прописная и строчная формы греческой буквы «фи» и отличаются только первой цифрой.

4. Это удивительное число Ф.

Число Ф применяется природой и в жизни:

· недавно установленный инвариант Альфа (а) ритма человеческого мозга равен 1,61803;

· соотношение размеров улитки или морских моллюсков — 1,61803. ;

· в произведениях многих выдающихся художников центр напряжения делит картину в соотношениях числа 1,61803.

5. Золотое сечение и человек.

Золотое сечение не обошло и человека…

· пропорции нормально сложенного мужского тела: расстояние от пупа — точки возникновения живого существа до макушки и пят связаны также отношением золотого сечения и равно 13 : 8 = 1,625;

· пропорции головы и рук человека тоже подчиняются закону золотого сечения: 62 : 38 = 1,6315…

6. Интересные геометрические свойства пентаграммы.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет пентаграмма. В чем привлекательность звезды (пентаграммы)?

Пентаграмма обладает интересными геометрическими свойствами:

I свойство. Поворотная симметрия пятого порядка.

Звезда имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º.

Поворотная симметрия пятого порядка встречается в животном мире, например, у морской звезды и панциря морского ежа.

А также у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни, груши, яблони, малины, рябины и т. д.

II свойство. Постоянство отношений составляющих её отрезков.

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций!

На рисунке

AD : AC = AC : CD = AB : BC = AD : AE = AE : EC

Пользуясь симметрией звезды, этот ряд равенств можно продолжить. Все эти отношения равны числу Ф (1,618. ).

III свойство. Углы при вершинах пятиконечного звездчатого многоугольника равны по 360.

Диагонали правильного n — угольника делят его углы на равные части.

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Научная работа по геометрии на тему:»Сумма углов звездчатых многоугольников»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Задача Леонардо да Винчи про правильную пятиконечную звездуСкачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

«Сумма углов звездчатых многоугольников»

Захаров Ахмад Курбанович

8 1 класс Муниципальное образовательное учреждение

«Гимназия №7», город Махачкала, Дагестан, Россия

Руководитель: Шапошникова Наталья Владимировна,

3.Методы исследования ………………………………………………….. 8 — 10.

4.Результаты и обсуждения ……………………………………………… 11 — 19

5.Выводы и заключение ………………………………………………….. 20 — 21

«У каждого человека свои звезды. Одним – тем, кто странствует, они указывают путь. Для других это просто маленькие огоньки. Для ученых они – как задача, которую надо решить…» Антуан де Сен Экзюпери, «Маленький принц».

В прошлом году работая над проектом: «Геометрический орнамент», мы узнали много интересного об орнаментах в мечетях, дали их авторскую классификацию по способу соединения точек деления окружности: цветочный и звездчатый. Геометрический орнамент, можно изучать до бесконечности. Красота, таинственность, которую он создает, притягивает. Появляются новые вопросы, проблемы, тайны, которые хочется раскрыть.

Когда в седьмом классе на уроках геометрии мы изучили тему: «Сумма углов треугольника». Возникли вопросы (проблема): «А чему равна сумма углов пятиугольной звезды? Как найти сумму углов произвольного звездчатого многоугольника?»

Появилась гипотеза: сумму углов звездчатых многоугольников можно находить по определенному правилу (формуле).

Цель работы : с помощью экспериментов определить суммы углов различных звездчатых многоугольников, выявить закономерности, разработать научное подтверждение выдвинутой гипотезы.

Для достиженияцели составлен план научных исследований, который включает в себя методы (задачи) теоретического и практического исследований.

1. Изучить теоретический материал: «Звезда – геометрическая фигура»: а) определение звездчатого многоугольника; б) способы построения звездчатых многоугольников;

2. Провести эксперименты с различными звездчатыми многоугольниками: измерить углы транспортиром, найти сумму углов каждой звезды;

3. С помощью программы Компас 3D-LT V12 построить звездчатые многоугольники и найти сумму их углов. Программа «Компас 3D» является одной из самых популярных программ, предназначенных для создания 2D чертежей и 3D моделей. Большинство инженеров используют именно ее для того, чтобы разрабатывать планы зданий и целых строительных площадок. Также она широко используется для инженерных расчетов.

4. Систематизировать данные экспериментов в таблицы;

5.Разработать авторские способы доказательства утверждений о сумме углов звездчатых многоугольников;

6. Создать презентацию по данной теме.

Что же такое звезда? Изученная литература открыто говорит, что звезда — определённый вид плоских невыпуклыхмногоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения. Обычно под звёздами подразумевают фигуры, напоминающие по форме изображение звезды. Вот некоторые определения:

1) Определение из толкового словаря С.А. Ожегова . « Фигура, предмет с треугольными выступами по окружности пятиугольная, шестиугольная и т. д.» [5]

2) Определение из: ru . wikipedia . org . «Звездчатый многоугольник»: Звезда — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения. По количеству лучей выделяют трёхконечные, четырёхконечные и т. д. звёзды.[3]

3) Определение из статьи Беляковой О.Е. «Сумма углов многоугольника»: Звезда – это фигура, образованная самопересекающимися ломанным [2].

В статье Панковой Н.А. [4] даются способы построения звездчатых многоугольников.«Первый способ построения звезды: берётся окружность, на ней ставятся n точек и они соединяются между собой, при этом каждая точка соединяется с m-ой следующей точкой, m -степень звезды. Такая звезда обозначается символом ,При этом точки пересечения рёбер между собой внутри окружности не рассматриваются как вершины. Таким образом, такая звезда имеет n вершин и n рёбер. Второй способ построения звезды: Построить произвольный выпуклый n-угольник, продолжить его стороны. Можно продолжать стороны через одну, через две, через три и т. д. до пересечения».

«Рассмотрим примеры построения звезд разных степеней. Обозначим степень буквой m . Возьмем выпуклый семиугольник А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А ₅ А ₆ А ₇ . Чтобы построить звезду, нужно определенным образом соединить отрезками вершины этого семиугольника. Каждую вершину будем соединять со второй находящейся от нее вершиной. В результате получим замкнутую самопересекающуюся ломаную линию, которая образует звезду вида . Существует звезда, где каждая вершина соединяется с третьей вершиной, т.е. звезда типа . Звезда типа совпадает со звездой типа , отличаются они только порядком обхода – по часовой стрелке и против часовой стрелки. Звезда типа совпадает со звездой . Звезд типа и не существует, так как в этом случае при соединении вершин получается выпуклый семиугольник. Итак, существуют только два вида семиугольной звезды. Таким образом, звезда типа – звезда, имеющая n углов, полученная соединением точек через m , или продолжением сторон выпуклого n – многоугольника через m » .

Все привыкли к тому, что сумма углов любого треугольника равна 180 0 . Тот факт, что у любой пятиконечной звезды (независимо от расположения вершин) сумма углов постоянна и равна 180 0 может показаться удивительным.

Некоторые способы доказательства теоремы о сумме углов пятиугольной звезды из статьи С.Азлецкого [1]

Теорема. Доказать, что сумма углов пятиугольной звезды равна 180 0 .

1.способ . Приложение VII . Чертеж 1. Обозначим вершины звезды: А, В, С, К, М, точку пересечения прямых АК и ВМ буквойЕ, точку пересечения прямых АС и ВМ буквой Т.

0 (*)(по теореме о сумме углов треугольника) .

Рассмотрим ТМС и ЕВК. По теореме о внешнем угле: 0 .

2 способ . Приложение VII .Чертеж 2.Пусть ЕК// LM, тогда 0 .

3 способ . Приложение VII .Чертеж 3. Начертим окружность. На окружности отметим 5 точек. Соединяем их через одну. Каждый угол равен половине дуги, на которую он опирается. Поэтому сумма углов пятиугольной звезды равна 180 0 .

4 способ . Приложение VII .Чертеж 4. Если из суммы углов пяти треугольников NPC , PQD , RQE , AMR , BMN вычесть сумму внешних углов пятиугольника MNPQR , взятых по два, то получится сумма углов пятиконечной звезды: 180 о * 5 – 360 о *2 = 180 о

В изученной литературе нет точного определения звезды как геометрической фигуры, нет и формулировки степени звездчатого многоугольника, поэтому в работе предлагаются авторские определения этих понятий, основанных на способах построения. Эти определения дают наглядное представление о звездчатых многоугольниках разных степеней.В литературе представлены только доказательства для пятиугольного звездчатого многоугольника. Данная работа представляет авторское доказательство утверждения о сумме углов звездчатого многоугольникавторойстепени, оно основано на факте, что любой звездчатый многоугольник внутри себя содержит выпуклый многоугольник той же угольности и всегда их элементы можно связать, используя теоремы: о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника. Также представлено авторское доказательство утверждения о сумме углов звездчатого многоугольника третьей степени, оно основано на факте, что любой звездчатый многоугольник третьей степени внутри себя содержит выпуклый многоугольник той же угольности и звездчатый многоугольник второй степени той же угольности. Их элементы можно связать, используя теоремы: 1) о сумме углов выпуклого четырехугольника; 2) о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника той же угольности; 3) о сумме внутренних углов звездчатого многоугольника той же угольности второй степени.

3. Методы исследования.

Так как точного определения звезды как геометрической фигуры в литературе нет, нет и формулировки степени звездчатого многоугольника, можно сформулировать эти определения по способам построения.

Определение 1 (авторское). Звезда– это невыпуклый многоугольник, который получается соединением не соседних точек окружности отрезками в определенном порядке (через одну, две, три и так далее).

Определение 2 (авторское). Звезда – это невыпуклый многоугольник, который получается продолжением не смежных сторон выпуклого многоугольника в определенном порядке (через одну, две и так далее) до их пересечения.

Определение 3 (авторское). Степенью звездчатого многоугольника назовем порядковый номер точки (прямой продолжения стороны выпуклого многоугольника), с которой соединяется отрезком исходная точка (пересекается исходная прямая).

Для того чтобы ответить на вопрос: «Чему равна сумма углов произвольного звездчатого многоугольника?», проведены эксперименты: рассмотрены выборки звездчатых многоугольников разных типов, построенных по авторским определениям, транспортиром измерены углы этих многоугольников, найдена сумма углов. Такие же исследования выполнены и с помощью программы «Компас 3 D – LTV 12»: построены звездчатые многоугольники и измерены углы.

Первый эксперимент: Звездчатые пятиугольники. Материал для эксперимента: произвольная пятиугольная звезда, построенная с помощью окружности; правильная пятиугольная звезда (все углы и ребра равны), построенная с помощью деления окружности на 5 равных частей и соединения точек через одну; две пятиугольные звезды, построенные продолжением сторон выпуклого пятиугольника через одну до пересечения. Приложение I .

Второй эксперимент: Звездчатые восьмиугольники второй степени.

Материал для эксперимента: правильный звездчатый восьмиугольник, построенный с помощью деления окружности на 8 равных частей и соединением точек через одну и еще 3 произвольных звездчатых восьмиугольника, построенных с помощью продолжения сторон восьмиугольника через одну до пересечения. Углы измерены транспортиром. Приложение II .Также с помощью программы «Компас 3 D — LTV 12» построен восьмиугольник второй степени и измерены его углы.

Третий эксперимент: Звездчатые восьмиугольники третьей степени. Материал для эксперимента: правильный звездчатый восьмиугольник, построенный с помощью деления окружности на 8 равных частей и соединением точек через две, 3 произвольных звездчатых восьмиугольника, построенных продолжением сторон выпуклого восьмиугольника через две до пересечения. Приложение III . Также с помощью программы «Компас 3 D — LTV 12» построен восьмиугольник третьей степени и измерены его углы.

Четвертый эксперимент: Звездчатые шестиугольники второй степени. Материал для эксперимента: правильный звездчатый шестиугольник, построенный с помощью деления окружности на 6 равных частей, произвольный звездчатый шестиугольник, построенный с помощью окружности, два звездчатых шестиугольника, построенных продолжением сторон выпуклого шестиугольника. Приложение IV. Также с помощью программы «Компас 3 D — LTV 12» построен шестиугольник второй степени и измерены его углы.

Пятый эксперимент: Звездчатые семиугольники второй степени. Материал дляэксперимента: правильный звездчатый семиугольник, построенный с помощью деления окружности на 7 равных частей, произвольный звездчатый семиугольник, построенный с помощью окружности, два семиугольника, построенных продолжением сторон выпуклых семиугольников. Приложение V . Также с помощью программы «Компас 3 D — LTV 12» построен семиугольник второй степени и измерены его углы.

Шестой эксперимент: Звездчатые семиугольники третьей степени. Материал для эксперимента: правильный звездчатый семиугольник, построенный с помощью деления окружности на 7 равных частей, произвольный семиугольник, построенный с помощью окружности, два произвольных звездчатых семиугольника, образованных продолжением сторон выпуклого семиугольника. Приложение VI. Также с помощью программы «Компас 3 D — LTV 12» построен семиугольник третьей степени и измерены его углы.