Точки m и n середины равных сторон ad и bc четырехугольника abcd

Видео:№432. Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямыеСкачать

Ваш ответ

Видео:№785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.Скачать

решение вопроса

Видео:9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,739
• разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:В треугольнике отмечены середины M и N сторон BC и AC ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Повторение. Решение задач (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8

1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.

2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.

IV. Решение задач.

1. Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что

Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем поэтому .

Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.

2. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ =
= 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

По условию AC : CB = 2 : 3, поэтому

Но

Следовательно, откуда получается

Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.

3. Решить задачу № 000 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 000 на доске и в тетрадях.

Так как точка А1 – середина стороны ВС, то .

Далее

5. При наличии времени решить задачу 4.

Точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84

.

Аналогично, .

Из этих равенств следует, что

Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–84; разобрать решения задачи 2 из п. 84 и задачи № 000 и записать в тетрадь; решить задачу № 000.

Урок 8
Средняя линия трапеции

Цели: ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов; упражнять учащихся в решении задач.

I. Проверка усвоения учащимися материала.

1. Устно ответить на вопросы:

1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и и противоположно направленные векторы и .

2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

3) Могут ли векторы и быть неколлинеарными?

4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:

Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM : MD = BN : NC =
= 3 : 4.

Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем

. Из условия следует, что , поэтому .

Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.

II. Объяснение нового материала.

1. Определение трапеции. Виды трапеций.

2. Определение средней линии трапеции.

3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции (проводит сам учитель).

При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке.

Доказательство можно оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:

Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).

Доказать: MN || AD, MN = .

1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 .

2) Так как , то и, значит, MN || AD.

3) Так как , то = AD + BC, поэтому

MN = (AD + BC).

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 000.

Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) =
= 20 (см); средняя линия MN = = 10 (см).

2. Решить задачу № 000.

3. Решить задачу № 000 на доске и в тетрадях.

Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.

Но AK = , поэтому KD =
= AD –, то есть

отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.

IV. Проверочная самостоятельная работа.

Точка K делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор через векторы и , где A – произвольная точка.

Точка A делит отрезок EF в отношении EA : AF = 2 : 5. Выразите вектор через векторы и , где K – произвольная точка.

Домашнее задание: изучить материал пункта 85; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 000, 794, 796.

Основные требования к учащимся:

В результате изучения параграфа учащиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 000–787; 793–799.

МЕТОД КООРДИНАТ (10 часов)

Урок 1
Разложение вектора по двум данным
неколлинеарным векторам

Цели: доказать лемму о коллинеарных векторах и теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и закрепить их знание в ходе решения задач.

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Устная работа.

1. Устно решить задачи по заранее заготовленному чертежу на доске:

Дан параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке О, а также отрезки MP и NQ, соединяющие соответственно середины сторон AB и CD, BC и AD. Требуется выразить:

1) вектор через вектор ;

2) вектор через вектор ;

3) вектор через вектор ;

4) вектор через вектор .

2. Вопрос учащимся:

можно ли для любой пары коллинеарных векторов подобрать такое число, что один из векторов будет равен произведению второго вектора на это число?

III. Изучение нового материала.

1. Формулировка леммы о коллинеарных векторах. Для понимания учащимися формулировки леммы полезно обсудить, во-первых, почему важно условие и, во-вторых, будет ли верно утверждение, если рассматривать произвольные (в том числе и неколлинеарные) ненулевые векторы.

2. Доказательство леммы.

3. Решить задачу по рисунку параллелограмма ABCD на доске (тем самым подвести учащихся к мысли о возможности выражения вектора через два данных неколлинеарных вектора):

Точки M и Q – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD. Выразите:

1) вектор через векторы и ;

2) вектор через векторы и ;

3) вектор через векторы и ;

4) вектор через векторы и .

4. Рассмотреть теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам, в ходе ее доказательства полезно обратить внимание на роль леммы в доказательстве.

IV. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачи № 000 (а, б); № 000 (б, в).

2. Решить задачи № 000 (по готовому чертежу) и № 000 (а, б).

Задание на дом: изучить материал пункта 86; решить задачи №№ 911 (в, г), 912 (ж, е, з), 916 (в, г).

Урок 2
Координаты вектора

Цели: ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами.

I. Проверка домашнего задания.

1. Устно решить задачи:

1) назвать числа х и у, удовлетворяющие равенству: ; ;

2. На доске двое учащихся решают задачи №№ 000 (в) и 912 (и, к).

II. Изучение нового материала.

1. Напомнить задание прямоугольной системы координат и начертить ее.

2. Ввести координатные векторы и (рис. 275).

3. Нулевой вектор можно представить в виде ; его координаты равны нулю: (0; 0).

4. Координаты равных векторов соответственно равны.

5. Рассмотреть правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число (доказательства указанных правил учащиеся могут рассмотреть самостоятельно).

6. Записать в тетрадях правила:

и – данные векторы

1) ;

2) ;

3) .

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 000 на доске и в тетрадях.

2. Устно по рисунку 276 решить задачу № 000.

3. Решить задачу № 000 (самостоятельно).

4. Решить задачу № 000 (а, в) на доске и в тетрадях.

5. Устно решить задачи № 000–925, используя правила, записанные в тетрадях.

6. Записать утверждение задачи № 000 без доказательства:

1) Если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого: если коллинеарен вектору , то x1 : x2 = y1 : y2.

2) Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы коллинеарны.

7. Решить задачу № 000.

Используем условие коллинеарности векторов: .

1) (3; 7) и (6; 14), так как ;

2) (–2; 1) и (2; –1), так как .

IV. Самостоятельная работа контролирующего характера.

Решить задачи № 000 (а, г); № 000 (г); № 000 (а, б); № 000 (а, в);
№ 000 (а).

Решить задачи №№ 000 (в, д); 920 (д); 988 (в, г); 921 (б, г); 914 (б).

Домашнее здание: подготовиться к устному опросу по карточкам, повторить материал пунктов 76–87; ответить на вопросы 1–20, с. 213–214 и на вопросы 1–8, с. 249 учебника; решить задачи №№ 000, 795; 990 (а) (для векторов и ).

Урок 3
Связь между координатами вектора
и координатами его начала и конца.
Простейшие задачи в координатах

Цели: рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины отрезка, о вычислении длины вектора по его координатам и нахождении расстояния между двумя точками.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала (лекция).

1. Рассмотреть по учебнику рис. 277 и рис. 278 и ввести понятие радиус-вектора .

Без доказательства записать в тетрадях утверждения:

а) координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора;

б) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала:

џ Устно решить задачу № 000.

2. Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

3. Рассмотрим три вспомогательные задачи.

1) Координаты середины отрезка.

Используя формулу из п. и координаты векторов записать равенство в координатах: отсюда x = ; y = .

Вывод: каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

џ Устно решить задачу № 000.

2) Вычисление длины вектора по его координатам.

Используя рис. 280 учебника, вывести формулу , если

џ Устно решить задачу № 000.

3) Расстояние между двумя точками.

Пусть точка M1 (x1; y1) и точка M2 (x2; y2); тогда вектор (x2 – x1;
y2 – y1); следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле но = d, таким образом, расстояние d между точками M1 (x1; y1) и M2 (x2; y2) выражается формулой

d =

џ Решить задачу № 000 (а, б) на доске и в тетрадях.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 000.

Найти расстояние от точки М (3; –2): а) до оси абсцисс; точка В (x; y) лежит на оси абсцисс; тогда расстояние равно 2; б) расстояние до оси ординат равно 3; в) до начала координат равно d =

2. Решить задачу № 000 на доске и в тетрадях.

MN =

NP =

MP =

PΔMNP = .

Задание на дом: изучить материал пунктов 88, 89; решить задачи №№ 000, 952.

Урок 4
Простейшие задачи в координатах.
Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; учить решать задачи в координатах.

I. Повторение изученного материала.

1. Двое учащихся по карточкам работают у доски:

1) Вывести формулы координат середины отрезка.

2) Решить задачу № 000.

1) Вывести формулу расстояния между двумя точками.

2) Решить задачу № 000.

2. С остальными учащимися проводится устная работа по решению задач:

1) Найдите координаты вектора , равного разности векторов и , если (–5; 6), (0; –4).

2) Найдите координаты вектора , равного сумме векторов и , если (3; 7), (4; –5).

3) Найдите координаты середины отрезка DK, если D (–6; 4), K (2; –8).

4) Найдите длину отрезка CP, если С (3; –2), P (–5; 4).

5) Найдите длину вектора , равного , если (5; 0) и (0; –12).

6) Найдите координаты вектора 3, если (4; –2); вектора –2, если (–2; 5).

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 000 (а).

Найдем длины сторон треугольника АВС по формуле

d = :

AB =

BC =

AC =

Так как АВ = АС, то по определению равнобедренного треугольника АВС – равнобедренный. Найдем его площадь; проведем высоту АМ ВС:

SΔABC = BC ∙ AM; AM – высота и медиана в равнобедренном треугольнике.

x = = 3; y = = –1.

Значит, точка М (3; –1).

Найдем длину отрезка AM =

Площадь треугольника АВС равна S = = 13.

2. Решить задачу № 000 (б).

d = ; (2x + 1)2 + (3 – x)2 = 72;

3. Решить задачу № 000 (б) на доске и в тетрадях.

Пусть точка М (0; y) лежит на оси ординат; по условию МС = MD;

(4 – 0)2 + (–3 – y)2 = (8 – 0)2 + (1 – y)2;

Значит, точка М (0; 5).

4. Решить задачу № 000 (б) на доске и в тетрадях.

Найдем координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника О (x; y): для диагонали NQ имеем:

x = = –3;

y = = 3; точка О (–3; 3).

Для диагонали МР имеем:

x = = –3; y = = 3; точка О (–3; 3).

Значит, диагонали MP и NQ точкой пересечения делятся пополам; по признаку параллелограмма MNPQ – параллелограмм.

MP =

NQ =

Ответ: 4 и 2.

5. Решить задачу № 000 (а).

AB == 4;

CD == 4;

BC == 2;

AD ==2.

Так как AB = CD = 4 и BC = AD = 2, то по II признаку параллелограмма ABCD – параллелограмм. Найдем диагонали АС и BD параллелограмма ABCD: AC =

BD =

Если диагонали равны AC = BD, то ABCD – прямоугольник.

III. Итоги урока.

Домашнее здание: повторить материал пунктов 88 и 89; решить задачи №№ 000 (б), 949 (а), 951 (б), 953.

Урок 5
Уравнение линии на плоскости.
Уравнение окружности

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности.

I. Математический диктант (10–15 мин).

1. Найдите координаты середины отрезка AB, если A (–2; 3), B (6; –3).

2. Найдите длину отрезка EH, если E (–3; 8), H (2; –4).

3. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек?

4. Принадлежит ли точка A (–6; 2) графику функции y = – 0,5x?

5. Функция задана уравнением y = 2x – 3. Какая линия служит графиком этой функции?

6. На окружности радиуса 7 см даны точки А и В, расстояние между которыми равно 13 см. лежит ли центр окружности на прямой АВ?

7. Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты: А (8; –3); В (5; 1); С (12; 0). Докажите, что B = C.

1. Найдите координаты середины отрезка CD, если C (3; –4), D (–3; 6).

2. Найдите длину отрезка KB, если K (–6; –3), B (2; 3).

3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию AB треугольника ABC и проходит через вершину C. Определите вид треугольника ABC.

4. Принадлежит ли точка В (2; –8) графику функции y = – 4x?

5. Функция задана уравнением y = 5 – x. Какая линия служит графиком этой функции?

6. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

7. Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А (–3; –1); В (1; 2); С (5; –1), D (1; –4). Докажите, что этот четырехугольник – ромб.

II. Объяснение нового материала.

1. Разобрать пятое задание диктанта, обратив внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. В частности, графиком линейной функции y = kx + b является прямая линия, а уравнение y = kx + b называется уравнением этой прямой.

2. Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики.

3. Понятие уравнения произвольной линии дается в ознакомитель-ном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1) координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2) координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению.

4. Введение уравнения окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 286):

где C (x0; y0). Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат О (0; 0) имеет вид: x2 + y2 = r2.

5. Не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Например, уравнение 4х2 + у2 = 4 в прямоугольной системе координат не окружность, а эллипс (с этой фигурой учащиеся знакомились в курсе черчения), уравнение х2 + у2 = 0 задает единственную точку – начало координат, а уравнению х2 + у2 = –4 не удовлетворяют координаты ни одной точки, поэтому это уравнение не задает никакой фигуры.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Точки m и n середины равных сторон ad и bc четырехугольника abcd

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

ABCD — четырёхугольник.

AD = BC.

AD║BC.

Точка М — середина CD.

Точка N ∈ ВС.

BN = 7.

CN = 3.

∠AMN = 90°.

Найти:

AN = ?

Решение:

Так как AD = BC и AD║BC, то четырёхугольник ABCD — параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Если на одной из двух прямых последовательно отметь несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки (теорема Фалеса). Проведём через точку М прямую МЕ, которая параллельна AD и пересекает сторону AN в точке F. Так как МЕ║AD и AD║ВС, то также МЕ║AD║ВС. Следовательно, по теореме Фалеса, AF = NF, AE = ЕВ.

Рассмотрим четырёхугольник ЕВСМ. Так как ЕМ║ВС (по выше доказанному) и отрезки ЕВ║МС (так как лежат на параллельных прямых), то четырёхугольник ЕВСМ — параллелограмм по определению. Тогда, по свойству параллелограмма, ВС = ЕМ = BN+NC = 7+3 = 10.

Рассмотрим ΔABN. Так как отрезок EF соединяет середины сторон АВ и AN, то EF — средняя линия, причём параллельна стороне BN, а значит, равна её половине (по свойству средней линии треугольника). EF = BN/2 = 7/2 = 3,5.

ЕМ = EF+FM ⇒ FM = ЕМ-EF ⇒ FM = 10-3,5 = 6,5.

Рассмотрим ΔANM — прямоугольный (по условию). FM — медиана, проведённая к гипотенузе, а значит, равна её половине (по свойству прямоугольного треугольника). AN = 2*FM ⇒ AN = 2*6,5 ⇒ AN = 13.

Ответ: 13.

📽️ Видео

№555. Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC, причем MN||AC,Скачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

1707 точка M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABCСкачать

Самое сложное задание из досрочного ЕГЭ 2019Скачать

№166. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD.Скачать

Пятнадцатое задание ОГЭ по математике(12) #огэ #огэ2023 #огэпоматематике #математика #огэматематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

№346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольнаяСкачать

№34. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DBСкачать

№448. На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороныСкачать

Математика ОГЭ Задание 25 Свойства параллелограммаСкачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 15Скачать

ОГЭ Задание 25 Определение прямоугольникаСкачать

№ 301-400 - Геометрия 8 класс МерзлякСкачать

№54. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВССкачать