Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, AB = BM, MC = CD. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм или трапеция.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM : CM = 1 : 3 и площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AM, DM, BP и CP, равна 18.
а) Заметим, что равны треугольники ABP и BMP (по двум сторонам и углу между ними). Поэтому AP MP. Аналогично, равны треугольники CMP и CDP, поэтому DP = MP. Значит, в треугольнике AMD медиана MP равна половине стороны AD, поэтому угол AMD прямой. Угол BMA равен 
угол CMD равен 
Поэтому угол 
Но одновременно с этим он прямой. Таким образом, 
и прямые AB и CD параллельны.
б) Пусть прямая BP пересекает прямую AM в точке E, прямая CP пересекает прямую MD в точке F. Заметим, что BE — биссектриса и высота треугольника ABM, аналогично CF — биссектриса и высота треугольника MCD, поэтому получаем, что EMFP — прямоугольник.
Из подобия треугольников BME и BCP, а потом и из подобия треугольников CMF и CBP получаем, что EM : PC = 1 : 4, MF : PB = 3 : 4.
По условию, EM · MF = 18, значит,
Площадь ABCD вдвое больше площади треугольника BPC, поэтому она равна 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. Содержание
Видео:В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и К соответственно, ВМ/АВ = 1/2, ВК/ВС = 4/5Скачать  Задача 12101 Точка M лежит на стороне BC выпуклого.Условие
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны. а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD. б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18. Решение
Пусть Т- середина АМ. Треугольник АМВ — равнобедренный, значит ВТ- высота, медиана и биссектриса. NPMT- прямоугольник. Так как ВМ:МС=1:3, то BT:NT=1:3 и MT:PC=1:3 S(ΔABM)=BT*AM/2=BT*TM=(NT/3)*TM=S(NPTM)/3=18/3=6 S(ABCD)=S(ΔDMA)+S(ΔAMB)+S(ΔDMC)=36+6+54=96 Видео:№783. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем ВМ:МС=3:1. ВыразитеСкачать  Олимпиадные задания по математике 8 — 11 классВидео:№380. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и QСкачать  Олимпиадные задания по математике 8 — 11 классВидео:№27. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС = 4:3. Отрезок CDСкачать  Олимпиадные задания по математике 8 класс1. На доске была нарисована система координат и отмечены точки A(1;2) и B(3;1). Систему координат стерли. Восстановите ее по двум отмеченным точкам. 2. В некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Верно ли, что треугольник равнобедренный? 3. В правильном шестиугольнике АВСDEF на прямой AF взята точка X так, что угол XСD = 45 o . Найдите угол FXE. 4. Около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Точка p – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС, Q – из А на DC, R – из D на АВ и Т – из D на ВС. Докажите, что точки p, Q, R и T лежат на одной окружности. 5. Восстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон. 6. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны. Назовем его «высотами» векторы с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны, перпендикулярные им и направленные от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его «высот» равна нулевому вектору. Видео:№24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD.Скачать  Олимпиадные задания по математике 8 класс1. Биссектриса угла В и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую АВ в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезок МК равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника. 2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковой стороне ВС отмечена точка М так, что отрезок СМ равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне АВ отмечена точка К так, что угол КМС – прямой. Найдите угол АСК . 3. Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2. Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей. 4. В трапеции ABCD : AB = BC = CD , CH – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из Н на АС , проходит через середину BD . 5. Пусть AA 1 и BB 1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС , М – середина АВ . Окружности, описанные около треугольников AMA 1 и BMB 1 пересекают прямые АС и ВС в точках К и L соответственно. Докажите, что К , М и L лежат на одной прямой. 6. Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника. Видео:9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать  Олимпиадные задания по математике 9 класс1. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне ( исследование вопроса о количестве решений не требуется ). 2. В выпуклом четырехугольнике ABCD Ð ABC = 90 0 , Ð BAC = Ð CAD , AC = AD , DH — высота треугольника ACD . В каком отношении прямая BH делит отрезок CD ? 3. Внутри отрезка АС выбрана произвольная точка В и построены окружности с диаметрами АВ и ВС . На окружностях (в одной полуплоскости относительно АС ) выбраны соответственно точки M и L так, что Ð MBA = Ð LBC . Точки K и F отмечены соответственно на лучах ВМ и BL так, что BK = BC и BF = AB . Докажите, что точки M , K , F и L лежат на одной окружности. 4. В треугольнике ABC M — точка пересечения медиан, O — центр вписанной окружности, A’ , B’ , C’ — точки ее касания со сторонами BC , CA , AB соответственно. Докажите, что, если CA’ = AB , то прямые OM и AB перпендикулярны. 5. Дан треугольник АВС . Точка О 1 — центр прямоугольника ВСDE , построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О 2 и О 3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО 1 , ВО 2 и СО 3 пересекаются в одной точке. 6. На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости? Видео:№320. В тетраэдре ABCD точки М, N и К— середины ребер АС. ВС и CD соответственноСкачать  Олимпиадные задания по математике 9 класс9.1. В выпуклом четырехугольнике АВС D Е – середина CD , F – середина А D , K – точка пересечения АС и ВЕ . Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС . 9.2. Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С . 9.3. Дан квадрат ABCD . Найдите геометрическое место точек M таких, что Ð AMB = Ð CMD . 9.4. Треугольник ABC вписан в окружность. Через точки A и B проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке p . Точки X и Y – ортогональные проекции точки p на прямые AC и BC . Докажите, что прямая XY перпендикулярна медиане треугольника ABC , проведенной из вершины C . 9.5. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M , Ð AMB = 60 ° . На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL . Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках p и Q . Докажите, что pK = LQ . 9.6. Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит 2 деленное на корень из 3 . Видео:№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, еслиСкачать  Олимпиадные задания по математике 9 класс1. На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка p пересечения его диагоналей. Проведите через p прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб. 2. Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата. 4. Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (Исследование проводить не требуется.) 5. В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой? 6. Фиксированы две окружности w1 и w2, одна их внешняя касательная l и одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой l строятся точки Y и Z так, что XY и XZ касаются w1 и w2 соответственно, а треугольник XYZ содержит окружности w1 и w2. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ , лежат на одной прямой. Видео:№23. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD.Скачать  Олимпиадные задания по математике 10 класс10.1. Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырехугольника АВС D . Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении. 10.2. Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причем в его середине? 10.3. На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в нее четырехугольник, и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырехугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив ее центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырехугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий. 10.4. В треугольнике АВС : М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности. Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС , то точка О равноудалена от сторон АВ и АС . 10.5. Трапеция АВС D с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырехугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC , BC , AD и BD , является вписанным. 10.6. В тетраэдре DABC : Ð ACB = Ð ADB , ( С D ) ^ ( АВС ). В треугольнике АВС дана высота h , проведенная к стороне АВ , и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите длину CD . Видео:№346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольнаяСкачать  Олимпиадные задания по математике 10 класс1. Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что оставшиеся части также подобны? 2. Даны радиусы r и R двух непересекающихся окружностей. Общие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной. 3. Дан четырехугольник ABCD. A’, B’, C’ и D’ – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что AA’ = CC’ и BB’ = DD’. Верно ли, что ABCD параллелограмм? 4. В треугольнике АВС угол А равен 120 o . Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно АВ + АС. 6. Есть два платка: один в форме квадрата, другой – в форме правильного треугольника, причем их периметры одинаковы. Существует ли многогранник, который можно полностью оклеить этими двумя платками без наложений (платки можно сгибать, но нельзя резать)? 6. Дан треугольник ABC и точки p и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями p и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая pQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC. Видео:№158. Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. НайдитеСкачать  Олимпиадные задания по математике 11 класс1. AD и BE – высоты треугольника АВС . Оказалось, что точка C’ , симметричная вершине С относительно середины отрезка DE , лежит на стороне AB . Докажите, что АВ – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC’ . 2. Прямая а пересекает плоскость α . Известно, что в этой плоскости найдутся 2011 прямых, равноудаленных от а и не пересекающих a. Верно ли, что а перпендикулярна α ? 3. Дана неравнобокая трапеция ABCD ( AB || CD ). Произвольная окружность, проходящая через точки А и В , пересекает боковые стороны трапеции в точках p и Q , а диагонали – в точках M и N . Докажите, что прямые pQ , MN и CD пересекаются в одной точке. 4. Докажите, что любой жесткий плоский треугольник T площади меньше четырёх можно просунуть сквозь треугольную дырку Q площади 3. 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD : AC ⊥ BD , ∠ BCA = 10°, ∠ BDA = 20°, ∠ BAC = 40°. Найдите ∠ BDC . ( Ответ выразите в градусах. ) 6. Пусть AA 1, BB 1 и CC 1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС ; окружности, описанные около треугольников АВС и A 1 B 1 C , вторично пересекаются в точке Р , Z – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника АВС , проведённых в точках А и В . Докажите, что прямые АР , ВС и ZC 1 пересекаются в одной точке. Видео:№29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскостиСкачать  Олимпиадные задания по математике 11 класс1. Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше? 2. Трапеция ABCD и параллелограмм MBDK расположены так, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям трапеции (см. рис.). Докажите, что площадь зеленой части равна сумме площадей синих частей. 3. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной ВС на прямую АС, проходит через центр вписанной окружности треугольника А1СВ1. 4. На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C1 — более удаленная от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM1 и BM2. Точки A1 и B1 определяются аналогично. Докажите, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. 5. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся три ребра, из которых можно составить треугольник. 6. К двум окружностям w1 и w2, пересекающимся в точках А и В, проведена их общая касательная CD (C и D — точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем А). Прямая, проходящая через А, вторично пересекает w1 и w2 в точках К и L соответственно (A лежит между K и L). Прямые KC и LD пересекаются в точке p. Докажите, что РВ — симедиана треугольника KpL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы). Олимпиадные задания по математике для учащихся 1-11 классов с решением и ответами: 📺 ВидеоСтереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать  №768. Точки М и N — середины сторон АВ и АС треугольника ABC. Выразите векторыСкачать  ОГЭ Задание 26 Теорема косинусовСкачать  №18. Точка C лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и ССкачать  8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать  №47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать  #29. Регион ВсОШ 2023, 9.5Скачать  ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать  |
