Курс школьной геометрии » Вектор

Теорема синусов для векторов

Обновлено
Теорема синусов

Теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Содержание
  1. Доказательство
  2. Доказательство
  3. Теорема синусов
  4. Доказательство теоремы синусов
  5. Доказательство следствия из теоремы синусов
  6. Теорема о вписанном в окружность угле
  7. Примеры решения задач
  8. Запоминаем
  9. Векторы. Начальные сведения
  10. 📺 Видео

Доказательство

Дано: Теорема синусов для векторовАВС, АВ = Теорема синусов для векторов, ВС = Теорема синусов для векторов, АС = Теорема синусов для векторов.

Доказать: Теорема синусов для векторов.

Доказательство:

Теорема синусов для векторов

Теорема синусов для векторов, (1) Теорема синусов для векторов, (2) Теорема синусов для векторов. (3)

Из равенств (1) и (2) получим:

Теорема синусов для векторов, откуда Теорема синусов для векторовили Теорема синусов для векторов. (4)

Из равенств (2) и (3) получим:

Теорема синусов для векторов, откуда Теорема синусов для векторовили Теорема синусов для векторов. (5)

Из равенств (4) и (5) следует:

Теорема синусов для векторов.

Теорема доказана.

Замечание

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру (двум радиусам) описанной окружности.

Доказательство

Дано: окр(О, R) описана около Теорема синусов для векторовАВС.

Доказать: Теорема синусов для векторов.

Доказательство:

Проведем диаметр ВА1 и рассмотрим треугольник А1ВС.

Теорема синусов для векторов

Угол С Теорема синусов для векторовАВС опирается на диаметр ВА1, поэтому Теорема синусов для векторовС — прямой, тогда Теорема синусов для векторов(6) (смотри формулы для вычисления координат точки). Но Теорема синусов для векторов. Действительно, если точка А1 лежит на дуге ВАС (см. рисунок выше), то Теорема синусов для векторовА1 = Теорема синусов для векторовА, а если на дуге ВDС (см. рисунок ниже), то

Теорема синусов для векторовА1 = 180 0 — Теорема синусов для векторовА. В обеих случаях Теорема синусов для векторов.

Теорема синусов для векторов

Следовательно, учитывая (6), получим:

Теорема синусов для векторов, при этом диаметр ВА1 = 2R, значит, Теорема синусов для векторов, откуда Теорема синусов для векторов. Что и требовалось доказать.

Из доказанного выше замечания получаем, что для любого Теорема синусов для векторовАВС со сторонами АВ = Теорема синусов для векторов, ВС = Теорема синусов для векторов, АС = Теорема синусов для векторовсправедливы равенства

Теорема синусов для векторов,

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

Теорема синусов

Теорема синусов для векторов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

Теорема синусов – просто и красиво // Vital Math

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Теорема синусов для векторов

Формула теоремы синусов:

Теорема синусов для векторов

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Теорема синусов для векторов

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Теорема синусов для векторов

Теорема синусов для векторов
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Теорема синусов для векторов

  • Теорема синусов для векторов
    bc sinα = ca sinβ
    Теорема синусов для векторов

    • Из этих двух соотношений получаем:

    Теорема синусов для векторов

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Теорема синусов для векторов

    Теорема синусов для векторов

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Теорема синусов для векторов

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Теорема синусов для векторов

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Теорема синусов для векторов

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Теорема синусов для векторов

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Теорема синусов для векторов

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Теорема синусов для векторов

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Теорема синусов для векторов

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

    Решение задачи с применением теоремы синусов

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Теорема синусов для векторов

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Теорема синусов для векторов

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Теорема синусов для векторов

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Теорема синусов для векторов

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Теорема синусов для векторов

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Теорема синусов для векторов

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Теорема синусов для векторов

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать

    Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис Трушин

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Теорема синусов для векторов

    • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Теорема синусов для векторов

    Теорема синусов для векторов

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Теорема СинусовСкачать

    Теорема Синусов

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Теорема синусов для векторов

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Теорема синусов с доказательствомСкачать

    Теорема синусов с доказательством

    Векторы. Начальные сведения

    Определения

    Вектор – это направленный отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.
    Если (A) – начало вектора, (B) – его конец, то вектор обозначается как (overrightarrow) . Вектор также можно обозначать одной маленькой буквой: (overrightarrow) .

    Теорема синусов для векторов

    Иногда говорят, что вектор – это перемещение из точки (A) в точку (B) .

    Длина (или модуль) вектора (overrightarrow) – это длина соответствующего отрезка (AB) .
    Обозначение: (|overrightarrow|=AB) .

    Если длина вектора равна нулю (совпадают начало и конец), то такой вектор называют нулевым.

    Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( (overrightarrow a, overrightarrow b) и (overrightarrow c) ).

    В противном случае векторы называются неколлинеарными (например, (overrightarrow a) и (overrightarrow d) ).

    Теорема синусов для векторов

    Причем если два коллинеарных вектора направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными ( (overrightarrow a) и (overrightarrow c) ). В противном случае векторы называются противоположно направленными ( (overrightarrow a) и (overrightarrow b) ).
    Обозначение: (overrightarrow a uparrow uparrow overrightarrow c) , (overrightarrow a uparrow downarrow overrightarrow b) .

    Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

    Правила сложения коллинеарных векторов:

    (blacktriangleright) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

    (blacktriangleright) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).

    Теорема синусов для векторов

    Правила сложения неколлинеарных векторов (overrightarrow ) и (overrightarrow) :

    (blacktriangleright) Правило треугольника (рис. 3).

    (blacktriangleright) Правило параллелограмма (рис. 4).

    Определение

    Вектор (overrightarrow ) – это вектор, противоположно направленный с вектором (overrightarrow ) и совпадающий с ним по длине.

    Теорема синусов для векторов

    Свойства сложения векторов

    Замечание

    Для того, чтобы сложить несколько вектором, можно отложить их последовательно: каждый следующий от конца предыдущего. Тогда суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего: [overrightarrow +overrightarrow +overrightarrow + overrightarrow =overrightarrow ]
    Теорема синусов для векторов

    Определение

    Свойства произведения вектора на число

    1. Сочетательный закон: (k(lambdaoverrightarrow )=(klambda)overrightarrow ) ;

    Теорема

    Если (M) – середина отрезка (PQ) , (O) – произвольная точка плоскости, то [overrightarrow =dfrac12 left(overrightarrow +overrightarrow right)]

    📺 Видео

    Теорема синусовСкачать

    Теорема синусов

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

    Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)

    ВСЁ ПРО ТЕОРЕМУ СИНУСОВ. ВАЖНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЕГЭ ПО ПРОФИЛЮСкачать

    ВСЁ ПРО ТЕОРЕМУ СИНУСОВ. ВАЖНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЕГЭ ПО ПРОФИЛЮ

    101. Теорема синусовСкачать

    101. Теорема синусов

    ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

    ЗАДАЧА НА ТЕОРЕМУ СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ЗАДАЧА НА ТЕОРЕМУ СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

    Теорема синусов | Геометрия 7-9 класс #96 | ИнфоурокСкачать

    Теорема синусов | Геометрия 7-9 класс #96 | Инфоурок

    Теорема СинусовСкачать

    Теорема Синусов

    Тригономерия 7. Теорема синусовСкачать

    Тригономерия 7. Теорема синусов

    ЛУЧШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы СинусовСкачать

    ЛУЧШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы Синусов
    Поделиться или сохранить к себе:
    О сайте | | © 2024 Курс школьной геометрии.