Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Окружность, вписанная в треугольник

Видео:Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Определение окружности, вписанной в треугольник

Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.

Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.

При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центрСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центрФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центрВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникОпределение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр
Равнобедренный треугольникОпределение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр
Равносторонний треугольникОпределение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр
Прямоугольный треугольникОпределение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Произвольный треугольник
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр
Равнобедренный треугольник
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр
Равносторонний треугольник
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр
Прямоугольный треугольник
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр
Произвольный треугольник
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр.

Равнобедренный треугольникОпределение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Равносторонний треугольникОпределение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникОпределение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр– полупериметр (рис. 6).

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

с помощью формулы Герона получаем:

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Окружность, вписанная в треугольник

Что такое окружность, вписанная в треугольник? Какие у вписанной окружности свойства?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Общие точки окружности и треугольника называются точками касания.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центрЗапись окр. (O; r) читают: «Окружность с центром в точке O и радиусом r».

На рисунке окр. (O; r) — вписанная в треугольник ABC.

M, K, F- точки касания.

Свойства вписанной в треугольник окружности.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

1) Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

2) Отрезки соединяющие центр вписанной окружности с точками касания, перпендикулярны сторонам треугольника (как радиусы, проведенные в точку касания):

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

3) Вписанная в треугольник окружность делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

Определение окружности вписанной в треугольник как найти ее центр

(как отрезки касательных, проведенные из одной точки).

🎬 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит однуСкачать

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Вписанная окружностьСкачать

Вписанная окружность

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Радиус вписанной окружности #ShortsСкачать

Радиус вписанной окружности #Shorts
Поделиться или сохранить к себе: