Теорема косинусов с векторами

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Видео:9 класс, 14 урок, Теорема косинусовСкачать

9 класс, 14 урок, Теорема косинусов

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с вектораминазывается вектор Теорема косинусов с векторами, начало которого совпадает с началом вектора Теорема косинусов с векторами, а конец — с концом вектора Теорема косинусов с векторами, при условии, что начало вектора Теорема косинусов с векторамиприложено к концу вектора Теорема косинусов с векторами) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Теорема косинусов с векторами

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами— векторы, Теорема косинусов с векторами— угол между ними, а Теорема косинусов с векторами— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Теорема косинусов с векторами,

где Теорема косинусов с векторами— угол, смежный с углом Теорема косинусов с векторами. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Теорема косинусов с векторами.

В случае вычитания векторов (Теорема косинусов с векторами) происходит сложение вектора Теорема косинусов с векторамис вектором Теорема косинусов с векторами, противоположным вектору Теорема косинусов с векторами, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамии между Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиобразуют угол Теорема косинусов с векторами. Их длины: Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Теорема косинусов с векторами. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Теорема косинусов с векторами.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Теорема косинусов с векторами.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Теорема косинусов с векторами

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Теорема косинусов с векторами

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиобразуют угол Теорема косинусов с векторами. Их длины: Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Теорема косинусов с векторами. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Теорема косинусов с векторами.

Пример 3. Даны длины векторов Теорема косинусов с векторамии длина их суммы Теорема косинусов с векторами. Найти длину их разности Теорема косинусов с векторами.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Теорема косинусов с векторами

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Теорема косинусов с векторами

Пример 4. Даны длины векторов Теорема косинусов с векторамии длина их разности Теорема косинусов с векторами. Найти длину их суммы Теорема косинусов с векторами.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Теорема косинусов с векторами

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами:

Теорема косинусов с векторами

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Теорема косинусов с векторами

Пример 5. Векторы Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамивзаимно перпендикулярны, а их длины Теорема косинусов с векторами. Найти длину их суммы Теорема косинусов с векторамии и длину их разности Теорема косинусов с векторами.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Теорема косинусов с векторами

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Теорема косинусов с векторами,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Теорема косинусов с векторами,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Теорема косинусов с векторами?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Теорема косинусов с векторами

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Теорема косинусов с векторами

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Теорема косинусов с векторами

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Видео:Теорема косинусов #shortsСкачать

Теорема косинусов #shorts

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Теорема косинусов с векторами

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:Теорема косинусов | ДоказательствоСкачать

Теорема косинусов | Доказательство

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторы. Операции с векторами.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Векторы. Операции с векторами.

Математические или физические величины могут быть представлены как скалярными величинами (численным значением), так и векторными величинами (величиной и направлением в пространстве).

Вектор представляет собой направленный отрезок прямой, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Таким образом, в векторе присутствует две составляющих – это его длина и направление.

Теорема косинусов с векторами

Рис.1. Изображение вектора на чертеже.

При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат в которой определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам:

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат

Теорема косинусов с векторами

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат

Теорема косинусов с векторами

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, а для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля.

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллинеарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы. Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

1.Длина вектора (модуль вектора)

Длина вектора определяет его скалярное значение и зависит от его координат, но не зависит от его направления. Длина вектора (или модуль вектора) вычисляется через арифметический квадратный корень из суммы квадратов координат (компонент) вектора (используется правило вычисления гипотенузы в прямоугольном треугольнике, где сам вектор становится гипотенузой).

Через координаты модуль вектора вычисляется следующим образом:

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат

Теорема косинусов с векторами

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат, формула будет аналогична формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда, так как вектор в пространстве принимает такое же положение относительно осей координат.

Теорема косинусов с векторами

2. Угол между векторами

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения второго вектора. Угол между векторами определяется с использованием выражения для определения скалярного произведения векторов

Теорема косинусов с векторами

Теорема косинусов с векторами

Таким образом, косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин или модулей векторов. Данной формулой можно пользоваться в случае, если известны длины векторов и их скалярное произведение, либо векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве в виде: Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами.

Если векторы A и B заданы в трехмерном пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами, то угол между векторами определяется по следующему выражению:

Теорема косинусов с векторами

Следует отметить, что угол между векторами Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиможно также определить применяя теорему косинусов для треугольника: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема косинусов с векторами

где AB, OA, OB – соответствующая сторона треугольника.

Теорема косинусов с векторами

Рис.2. Теорема косинусов для треугольника

Применительно к векторным исчислением данная формула перепишется следующим образом:

Теорема косинусов с векторами

Таким образом, угол между векторами Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиопределяется по следующему выражению:

Теорема косинусов с векторами

где Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами— модуль (длина) вектора, а Теорема косинусов с векторами— модуль (длина) вектора, который определяется из разности двух векторов. Неизвестные входящие в уравнение определяются по координатам векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами.

3.Сложение векторов

Сложение двух векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами(сумма двух векторов) — это операция вычисления вектора Теорема косинусов с векторами, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами. В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат сумму векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиможно найти по следующей формуле:

Теорема косинусов с векторами

В графическом виде, сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма.

Теорема косинусов с векторами

Рис.3. Сложение двух векторов

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало.

Правило треугольника.

Для сложения двух векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамипо правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:

Теорема косинусов с векторами

где Теорема косинусов с векторами— угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого.

Правило параллелограмма.

Для сложения двух векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамипо правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:

Теорема косинусов с векторами

где Теорема косинусов с векторами— угол между векторами выходящими из одной точки.

Как видно, в зависимости от того какой угол выбирается, изменяется знак перед косинусом угла в формуле для определения модуля (длины) вектора суммы.

4.Разность векторов

Разность векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами(вычитание векторов) — это операция вычисления вектора Теорема косинусов с векторами, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами. В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат разность векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиможно найти по следующей формуле:

Теорема косинусов с векторами

В графическом виде, разностью векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с вектораминазывается сумма вектора Теорема косинусов с векторамии вектора противоположного вектору Теорема косинусов с векторами, т.е. Теорема косинусов с векторами

Теорема косинусов с векторами

Рис.4. Разность двух свободных векторов

Разность двух свободных векторов в графическом виде может быть определена как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма. Модуль (длина) вектора разности определяется по теореме косинусов. В зависимости от используемого угла в формуле изменяется знак перед косинусом (рассматривалось ранее).

5.Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиобозначается одним из следующих обозначений Теорема косинусов с векторамиили Теорема косинусов с векторамиили Теорема косинусов с векторамии определяется по формуле:

Теорема косинусов с векторами

гдеТеорема косинусов с векторами— длины векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамисоответственно, а Теорема косинусов с векторами— косинус угла между векторами.

Теорема косинусов с векторами

Рис.5. Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами.

Таким образом, для векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамина плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет следующий вид:

Теорема косинусов с векторами

Для трехмерного пространства формула для вычисления скалярного произведения векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиимеет следующий вид:

Теорема косинусов с векторами

Свойства скалярного произведения.

1.Свойство коммутативности скалярного произведения

Теорема косинусов с векторами

2.Свойство дистрибутивности скалярного произведения

Теорема косинусов с векторами

3.Сочетательное свойство скалярного произведения (ассоциативность)

Теорема косинусов с векторами

где Теорема косинусов с векторами— произвольное действительное число.

Следует отметить, что в случае:

— если скалярное произведение положительно, следовательно, угол между векторами – острый (менее 90 градусов);

— если скалярное произведение отрицательно, следовательно, угол между векторами – тупой (больше 90 градусов);

— если скалярное произведение равно 0, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу);

— если скалярное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, данные векторы коллинеарные между собой (параллельные).

6.Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с вектораминазывается вектор Теорема косинусов с векторамидля которого выполняются следующие условия:

1. вектор Теорема косинусов с векторамиортогонален (перпендикулярен) плоскости векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторами;

2. направление вектора Теорема косинусов с векторамиопределяется по правилу правой руки (вектор Теорема косинусов с вектораминаправлен так, что из конца вектора Теорема косинусов с векторамикратчайший поворот от вектора Теорема косинусов с векторамик вектору Теорема косинусов с векторамивиден происходящим против часовой стрелки);

Теорема косинусов с векторами

Рис.6. Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки.

3. длина вектора Теорема косинусов с векторамиравняется площади параллелограмма, образованного векторами, и может быть определена из выражения, равного произведению длин умножаемых векторов на синус угла между ними.

Векторное произведение векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамиобозначается следующим образом Теорема косинусов с векторами(или Теорема косинусов с векторами), а длина (модуль) векторного произведения определяется по формуле:

Теорема косинусов с векторами

гдеТеорема косинусов с векторами— длины векторов Теорема косинусов с векторамии Теорема косинусов с векторамисоответственно, а Теорема косинусов с векторами— синус угла между векторами.

Векторное произведение векторов отличается от скалярного произведения тем, что оно представляет собой не просто число, а вектор, имеющий свое собственное направление (направление обуславливает трехмерность системы). Таким образом, векторное произведение векторов по определению возможно только в трехмерном пространстве, где у каждого вектора указаны три координаты (i,j,k). Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности в отличие от скалярного произведения векторов.

Теорема косинусов с векторами

Рис.7. Векторное произведение двух векторов

Векторное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат в пространстве.

Теорема косинусов с векторами

Свойства векторного произведения.

1.Свойство антикоммутативности векторного произведения

Теорема косинусов с векторами

2.Свойство дистрибутивности векторного произведения

Теорема косинусов с векторами

3.Сочетательное свойство векторного произведения (ассоциативность)

Теорема косинусов с векторами

где Теорема косинусов с векторами— произвольное действительное число.

Следует отметить, что в случае:

— если векторное произведение равно 0, следовательно, вектора являются коллинеарными (вектора параллельны друг другу);

— если векторное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу).

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

🎬 Видео

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Теорема синусов и теорема косинусовСкачать

Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема косинусов для треугольникаСкачать

Теорема косинусов для треугольника

9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Задачи на произвольные треугольникиСкачать

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Задачи на произвольные треугольники

Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать

Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис Трушин

Теорема косинусов. Урок геометрии 9 класс.Скачать

Теорема косинусов. Урок геометрии 9 класс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Геометрия. 9 класс. Теорема косинусов /12.01.2021/Скачать

Геометрия. 9 класс. Теорема косинусов /12.01.2021/

Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

Теорема синусов – просто и красиво // Vital Math

Геометрия 9 класс (Урок№16 - Теорема косинусов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№16 - Теорема косинусов.)
Поделиться или сохранить к себе: