Формулы для площадей четырехугольников |
Вывод формул для площадей четырехугольников |
Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника |
В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:
которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.
Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать
Формулы для площадей четырехугольников
Четырехугольник | Рисунок | Формула площади | Обозначения | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прямоугольник | S = ab | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Параллелограмм | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Квадрат | S = a 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S = 4r 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ромб | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Трапеция | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S = m h | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дельтоид | S = ab sin φ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольный выпуклый четырёхугольник | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный четырёхугольник |
Прямоугольник | ||
Параллелограмм | ||
Квадрат | ||
S = a 2 где | ||
S = 4r 2 | ||
Ромб | ||
Трапеция | ||
Дельтоид | ||
где | ||
Произвольный выпуклый четырёхугольник | ||
Вписанный четырёхугольник | ||
Прямоугольник |
где
a и b – смежные стороны
где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями
где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями
Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону
где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними
φ – любой из четырёх углов между ними
где
a – сторона квадрата
Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону
где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба
где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба
где
a и b – основания,
h – высота
φ – любой из четырёх углов между ними
где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними
где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .
где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности
φ – любой из четырёх углов между ними
где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр
Формулу называют «Формула Брахмагупты»
Видео:Задание 26 Площадь четырехугольникаСкачать
Вывод формул для площадей четырехугольников
Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле
Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле
где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).
Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле
где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).
то, в силу утверждения 2, справедлива формула
что и требовалось доказать.
Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле
,
где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).
что и требовалось доказать.
Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле
,
где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).
Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле
где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
(рис.6).
Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):
,
что и требовалось доказать.
Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:
где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).
Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.
Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то
Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать
Площадь вписанного четырехугольника
Как найти площадь вписанного четырехугольника?
I способ.
Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:
где p — полупериметр четырёхугольника, то есть
(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).
Площадь четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, можно найти как сумму площадей треугольников, например, ABC и ADC.
Из треугольника ABC по теореме косинусов
Аналогично, из треугольника ADC
Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,
Приравниваем правы части равенств для AC²
Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество
(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).
В частных случаях: если в окружность вписан правильный четырёхугольник (то есть квадрат), прямоугольник либо четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны — решение задачи может быть упрощено.
Площадь любого четырёхугольника, в том числе, и вписанного, равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:
В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.
Видео:В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.Скачать
Калькулятор расчета площади четырехугольника
В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади выпуклого четырехугольника по разным исходным данным: через диагонали и угол между ними, по всем сторонам (если вокруг можно описать окружность), по полупериметру и радиусу вписанной окружности.
Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать
Расчет площади
Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.
1. Через диагонали и угол между ними
Формула расчета
2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)
Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.
Формула расчета
p – полупериметр четырехугольника, равняется:
📸 Видео
ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать
ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать
Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать
ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать
Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать
Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольникиСкачать
Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать
Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать
Найдите площадь четырёхугольникаСкачать
Чему равна площадь четырёхугольника ABCD, если его диагонали разбивают четырёхугольникСкачать
Найдите площадь четырёхугольникаСкачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
В трапеции ABCD AD=3, BC=1, а её площадь равна 12 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать