Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

/ А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 /2 Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоBCD.
/ С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 /2 Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоBAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда / А + / С = 360° : 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/ А + / С = 180° и / В + / D = 180° (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство. Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:

Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

Из этих двух равенств следует:

но этого быть не может, так как / D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D» вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA — касательные к этой окружности.

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3 : 5,
а другие два относятся как 4 : 5. Определить величину этих углов.

2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2 : 0,3. Найти длину этих сторон.

Видео:Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоВписанные четырехугольники и их свойства
Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоТеорема Птолемея

Видео:ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаСумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаСумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииСумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаСумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникСумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Окружность, описанная около параллелограмма
Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство
Окружность, описанная около параллелограмма
Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаСумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииСумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаСумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникСумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Видео:Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Докажем, что справедливо равенство:

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

откуда вытекает равенство:

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 градусов #репетиторСкачать

Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 градусов #репетитор

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоДано: ABCD вписан в окр. (O; R)

∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.

∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательство

Что и требовалось доказать.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

Доказать: ABCD можно вписать в окружность

Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоПусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.

В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.

Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то

∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.

Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 доказательствоПредположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.

Луч AD пересекает окружность в точке E.

Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.

Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,

∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.

Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.

Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.

🎥 Видео

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Вписанный четырехугольник, сумма противоположных угловСкачать

Вписанный четырехугольник, сумма противоположных углов

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Задание 24 Сумма углов четырехугольникаСкачать

Задание 24  Сумма углов четырехугольника

Вписанный четырехугольникСкачать

Вписанный четырехугольник

Задача 6 №27927 ЕГЭ по математике. Урок 142Скачать

Задача 6 №27927 ЕГЭ по математике. Урок 142

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов четырехугольника | Математика 8 класс | Четырехугольник | Геометрия 8 классСкачать

Сумма углов четырехугольника | Математика 8 класс | Четырехугольник | Геометрия 8 класс

ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. Готовимся к ЕГЭ. ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #геометрияСкачать

ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. Готовимся к ЕГЭ. ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #геометрия

Нахождение угла четырехугольникаСкачать

Нахождение угла четырехугольника

24 задание ОГЭ по математике - Геометрия, окружность : ДоказательствоСкачать

24 задание ОГЭ по математике - Геометрия, окружность : Доказательство

Математика ОГЭ Геометрия Задача 25 Вписанный четырёхугольникСкачать

Математика ОГЭ Геометрия Задача 25  Вписанный четырёхугольник

Сумма углов треугольника равна 180Скачать

Сумма углов треугольника равна 180

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

ОГЭ МАТЕМАТИКА ЗАДАНИЕ 16 РАЗДЕЛ ГЕОМЕТРИЯ ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКСкачать

ОГЭ МАТЕМАТИКА ЗАДАНИЕ 16 РАЗДЕЛ ГЕОМЕТРИЯ ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК
Поделиться или сохранить к себе: