Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые и звездчатые четырёхугольники. Выпуклым четырехугольником называется четырехугольник, у которого все углы меньше развернутого угла. Четырехугольник, у которого угол больше развернутого называется невыпуклым

Виды четырёхугольников

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;
Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
(Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.)

  • Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
  • Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° (). См. также теорема Птолемея.
  • Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ()
  • Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей.
  • Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
  • Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
  • Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
  • Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
  • Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.

Теорема Вариньона
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.
или сокращённо
Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма
Доказательство
Проведём диагональ AC. Отрезки EF и GH будут средними линиями треугольников Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. По теореме о средней линии, отрезки будут параллельны диагонали, а, значит, и друг другу. Повторив аналогичные рассуждения для диагонали BD, получаем, что противоположные стороны четырёхугольника EFGH параллельны, и, по определению, это — параллелограм.
Доказательство, что площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырехугольника: Пусть диагональ Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапроходит внутри четырёхугольника. Тогда площадь треугольника Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаравна Сумма квадратов сторон четырехугольника равна, где Сумма квадратов сторон четырехугольника равна— высота треугольника Сумма квадратов сторон четырехугольника равна, проведённая из вершины Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Аналогично, площадь треугольника Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаравна Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Тогда площадь всего четырёхугольника равна Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Но Сумма квадратов сторон четырехугольника равна— это сумма расстояний до прямой Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаот точек Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи Сумма квадратов сторон четырехугольника равна, то есть в точности высота параллелограмма Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. А поскольку сторона Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапараллелограмма вдвое меньше Сумма квадратов сторон четырехугольника равна, то и площадь параллелограмма равна половине площади Сумма квадратов сторон четырехугольника равна,

Теорема Эйлера

в любом четырехугольнике сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналями
Сумма квадратов сторон четырехугольника равна
Сумма квадратов сторон четырехугольника равна
Следствие: Сумма квадратов длин равна диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон

Теорема Птолемея
Для любого выпуклого четырёхугольника ABCD вписанного в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей AB*DC+BC*AD=BD*AC
Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаСумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема Брахмагупты(площадь вписанного в окружность четырёхугольника)

Если a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна– его полупериметр, а α – сумма его противоположных углов, то площадь Sчетырёхугольника равна
Сумма квадратов сторон четырехугольника равна.
В качестве α здесь можно взять сумму любой из двух пар противоположных углов, результат от этого не зависит. В случае четырёхугольника, вписанного в окружность, эта формула принимает более простой вид:
Сумма квадратов сторон четырехугольника равна;
это равенство и называется формулой Брахмагупты. Если четырёхугольник имеет и описанную и вписанную окружности, то формула становится совсем короткой: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна.
Сумма квадратов сторон четырехугольника равна
Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Содержание
  1. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  2. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  3. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  4. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  5. Параллелограмм
  6. Параллелограмм и его свойства
  7. Признаки параллелограмма
  8. Прямоугольник
  9. Признак прямоугольника
  10. Ромб и квадрат
  11. Свойства ромба
  12. Трапеция
  13. Средняя линия треугольника
  14. Средняя линия трапеции
  15. Координаты середины отрезка
  16. Теорема Пифагора
  17. Справочный материал по четырёхугольнику
  18. Пример №1
  19. Признаки параллелограмма
  20. Пример №2 (признак параллелограмма).
  21. Прямоугольник
  22. Пример №3 (признак прямоугольника).
  23. Ромб. Квадрат
  24. Пример №4 (признак ромба)
  25. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  26. Пример №5
  27. Пример №6
  28. Трапеция
  29. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  30. Центральные и вписанные углы
  31. Пример №8
  32. Вписанные и описанные четырёхугольники
  33. Пример №9
  34. Пример №10
  35. Геометрия. Урок 4. Четырехугольники
  36. Определение четырехугольника
  37. Выпуклые четырехугольники
  38. Параллелограмм
  39. Прямоугольник
  40. Квадрат
  41. Трапеция
  42. Примеры решений заданий из ОГЭ
  43. 🔍 Видео

Видео:Сумма квадратов диагоналей параллелограммаСкачать

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Видео:Геометрия Докажите что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех егоСкачать

Геометрия Докажите что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Сумма квадратов сторон четырехугольника равнауглы Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаявляются внешними.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаСумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаСумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Сумма квадратов сторон четырехугольника равнато параллелограмм Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаявляется ромбом.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство теоремы 1.

Дано: Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаромб.

Докажите, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство (словестное): По определению ромба Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаравнобедренный. Медиана Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(так как Сумма квадратов сторон четырехугольника равна), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаТак как Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаявляется прямым углом, то Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Аналогичным образом можно доказать, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

План доказательства теоремы 2

Дано: Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаравнобедренная трапеция. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Докажите: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Сумма квадратов сторон четырехугольника равнатогда Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапроведем параллельную прямую к прямой Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Сумма квадратов сторон четырехугольника равначерез точку Сумма квадратов сторон четырехугольника равна— середину стороны Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапроведите прямую параллельную Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаКакая фигура получилась? Является ли Сумма квадратов сторон четырехугольника равнатрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаМожно ли утверждать, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство. Пусть дан треугольник Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи его средняя линия Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаПроведём через точку Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапрямую параллельную стороне Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Сумма квадратов сторон четырехугольника равнат.е. совпадает со средней линией Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаТ.е. средняя линия Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапараллельна стороне Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаТеперь проведём среднюю линию Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаТ.к. Сумма квадратов сторон четырехугольника равнато четырёхугольник Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаПо теореме Фалеса Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаТогда Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство: Через точку Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи точку Сумма квадратов сторон четырехугольника равнасередину Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Сумма квадратов сторон четырехугольника равначерез Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Сумма квадратов сторон четырехугольника равнарадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи точка Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакоторая является серединой отрезка Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равнато Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаа отсюда следует, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

2) По теореме Фалеса, если точка Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаявляется серединой отрезка Сумма квадратов сторон четырехугольника равнато на оси абсцисс точка Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

3) Координаты середины отрезка Сумма квадратов сторон четырехугольника равнас концами Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаточки Сумма квадратов сторон четырехугольника равнанаходятся так:

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Сумма квадратов сторон четырехугольника равнато, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна— прямоугольный.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Сумма квадратов сторон четырехугольника равнатакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:№953. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналейСкачать

№953. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаСумма квадратов сторон четырехугольника равна

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Сумма квадратов сторон четырехугольника равна+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Решение:

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(АВ CD, ВС-секущая), Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(ВС || AD, CD — секущая), Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство. Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. По свойству углов четырёхугольника, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Следовательно, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапо двум сторонами и углу между ними.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаПри помощи циркуля сравните длины отрезков Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказать: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство. Проведём через точки Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапрямые Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапараллельные ВС. Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапо стороне и прилежащим к ней углам. У них Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапо условию, Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакак противоположные стороны параллелограммов Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаПроведём прямую Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Через точки Сумма квадратов сторон четырехугольника равнапроведём прямые, параллельные прямой Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Сумма квадратов сторон четырехугольника равна, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказать: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Поэтому Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРСумма квадратов сторон четырехугольника равна, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Сумма квадратов сторон четырехугольника равна= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакак вертикальные, Сумма квадратов сторон четырехугольника равнавнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаравнобедренный. Поэтому Сумма квадратов сторон четырехугольника равнасоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаСумма квадратов сторон четырехугольника равна

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. По свойству внешнего угла треугольника, Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаСумма квадратов сторон четырехугольника равна— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Из доказанного в первом случае следует, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаизмеряется половиной дуги AD, a Сумма квадратов сторон четырехугольника равна— половиной дуги DC. Поэтому Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Сумма квадратов сторон четырехугольника равнакак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Сумма квадратов сторон четырехугольника равна, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Сумма квадратов сторон четырехугольника равна(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказать: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Тогда Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Докажем, что Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна. По свойству равнобокой трапеции, Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Тогда Сумма квадратов сторон четырехугольника равнаи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Сумма квадратов сторон четырехугольника равнацентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Сумма квадратов сторон четырехугольника равнавписанного в окружность. Действительно,

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Следовательно, четырёхугольник Сумма квадратов сторон четырехугольника равна— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:№112. Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцСкачать

№112. Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадц

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение четырехугольника
  • Выпуклые четырехугольники
  • Параллелограмм

Видео:Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnline

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Сумма квадратов сторон четырехугольника равна

Видео:Сумма квадратов | Ботай со мной #061 | Борис Трушин |Скачать

Сумма квадратов | Ботай со мной #061 | Борис Трушин |

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Видео:ЗАДАЧА О СУММЕ КВАДРАТОВСкачать

ЗАДАЧА О СУММЕ КВАДРАТОВ

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Видео:Площадь квадрата через диагональ 📐 Полезный файлик в комментариях)Скачать

Площадь квадрата через диагональ 📐 Полезный файлик в комментариях)

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Видео:Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Видео:Свойства диагоналей параллелограмма | Геометрия 8-9 классыСкачать

Свойства диагоналей параллелограмма | Геометрия 8-9 классы

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

🔍 Видео

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.

Сумма квадратов натуральных чиселСкачать

Сумма квадратов натуральных чисел

Теорема ПИФАГОРА ❤️Скачать

Теорема ПИФАГОРА ❤️

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Площадь квадрата. Как найти площадь квадрата?Скачать

Площадь квадрата. Как найти площадь квадрата?

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: