Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Перпендикулярность прямых и плоскостей
Содержание
  1. Перпендикулярные прямые
  2. Перпендикулярность прямой и плоскости
  3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
  4. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
  5. Перпендикулярность плоскостей
  6. Признак перпендикулярности плоскостей
  7. Свойство перпендикулярных плоскостей
  8. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  9. Определения параллельных прямых
  10. Признаки параллельности двух прямых
  11. Аксиома параллельных прямых
  12. Обратные теоремы
  13. Пример №1
  14. Параллельность прямых на плоскости
  15. Две прямые, перпендикулярные третьей
  16. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  17. Признаки параллельности прямых
  18. Пример №2
  19. Пример №3
  20. Пример №4
  21. Аксиома параллельных прямых
  22. Пример №5
  23. Пример №6
  24. Свойства параллельных прямых
  25. Пример №7
  26. Пример №8
  27. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  28. Расстояние между параллельными прямыми
  29. Пример №9
  30. Пример №10
  31. Справочный материал по параллельным прямым
  32. Перпендикулярные и параллельные прямые
  33. Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.
  34. теория по математике 📈 планиметрия
  35. Обозначения прямой
  36. Признаки параллельности прямых
  37. Аксиома параллельных прямых
  38. Следствия из аксиом параллельных прямых
  39. Перпендикулярные прямые
  40. 💡 Видео

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными , если угол между ними составляет Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

При этом прямые могут пересекаться,

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

а могут быть скрещивающимися:Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1). Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

2). Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

3). Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 класс

Перпендикулярность плоскостей

Пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными , если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Свойство перпендикулярных плоскостей

Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, но не принадлежит прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Говорят, что прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипересекаются в точке М.
Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Это можно записать так: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками— знак принадлежности точки прямой, «Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиперпендикулярны (рис. 12), то пишут Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиb.
  2. Если Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 90°, то а Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиАВ и b Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиb.
  3. Если Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиОFА = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2). Из равенства этих треугольников следует, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиЗ = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками4 и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками5 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками6.
  6. Так как Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками5 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками6 следует, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками6 = 90°. Получаем, что а Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиFF1 и b Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиFF1, а аДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками
2) Заметим, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 следует, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиAOF = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 + Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 + Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиl + Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 180° и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 + Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 180° следует, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиF и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3. Кроме того, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 следует, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками4 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAF. Действительно, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками4 и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиFAC равны как соответственные углы, a Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиFAC = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 + Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 180° (рис. 97, а).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 + Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3= 180°.

4) Из равенств Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками= Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 + Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 = 180° следует, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 + Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAF + Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Так как Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = 90°, то и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = 90°, а, значит, сДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипараллельны, то есть Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, лучи АВ и КМ.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, то Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками(рис. 161).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, перпендикулярную прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии строят другую перпендикулярную прямую Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, затем — третью прямую Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии т. д. Поскольку прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиперпендикулярны одной прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, то из указанной теоремы следует, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, параллельной прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, то Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамитретьей прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками5,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками4 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками8,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками6,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками7,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками5,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками4 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками8 — соответственные углы;
  • Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками6,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками4 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками5 — внутренние односторонние углы;
  • Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками7,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками— данные прямые, АВ — секущая, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 (рис. 166).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказать: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии продлим его до пересечения с прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамив точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 по условию, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBMK =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиANM =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBKM = 90°. Тогда прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 (рис. 167).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказать: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии секущей Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиl +Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 180° (рис. 168).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказать: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии секущей Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиAOB = Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAO=Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAK = 26°, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAC = 2 •Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиADK +Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1=Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2. Так как Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками||Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Реальная геометрия

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипроходит через точку М и параллельна прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамив некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками||Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками(рис. 187).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказать: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками||Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Доказательство:

Предположим, что прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамине параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, параллельные третьей прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками||Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками4. Доказать, что Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Так как Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, то Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, которая параллельна прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамине пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, которые параллельны прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, АВ — секущая,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказать: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2.

Доказательство:

Предположим, чтоДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, параллельные прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками— секущая,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 — соответственные (рис. 196).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказать:Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками— секущая,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 иДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказать:Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиl +Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 +Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 = 180°. По свойству параллельных прямыхДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиl =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3 как накрест лежащие. Следовательно,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиl +Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, т. е.Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 = 90°. Согласно следствию Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, т. е.Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 = 90°.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиАОВ =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиABD =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиADB =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамипараллельны, то пишут: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками(рис. 211).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками3. Значит,Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками1 =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками2.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии АВДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, то расстояние между прямыми Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, А Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, С Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, АВДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, CDДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиCAD =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиравны (см. рис. 285). Прямая Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, проходящая через точку А параллельно прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, которая параллельна прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамибудет перпендикуляром и к прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAD +Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Тогда Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, параллельную прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Тогда Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками|| Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиравноудалены от прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамина расстояние Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, то есть расстояние от точки М до прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиравно Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Но через точку К проходит единственная прямая Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, параллельная Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Значит, точка М принадлежит прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками.

Таким образом, все точки прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиравноудалены от прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками. Прямая Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиДве прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками— параллельны.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамии Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.

теория по математике 📈 планиметрия

Линия, которую изображают на плоскости при помощи линейки, причем, эта линия не должна быть ограничена точкой ни с одной стороны, называют прямой. Другими словами, прямая не имеет ни начала, ни конца.

Обозначения прямой

Обычно прямые обозначают прописной латинской буквой или двумя заглавными (если на прямой лежат точки). Рассмотрим это на рисунке. Данную прямую мы можем назвать двумя способами: прямая а; прямая АС.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Рассмотрим теперь две прямые на плоскости. Для них существует два случая расположения: пересекаются и не пересекаются.

Если две прямые пересекаются, то есть имеют общую точку, то их называют пересекающимися. На рисунке показаны прямые а и b, которые пересекаются в точке A. Запись с помощью символов для данного рисунка выполняют следующим образом: а ∩ b=А, где ∩ — это знак «пересечение».

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Если две прямые на плоскости не пересекаются, то их называют параллельными прямыми. На рисунке изображены параллельные прямые. Запись осуществляется следующим образом: a | | b, где | | — знак параллельности.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Признаки параллельности прямых

Рассмотрим прямую с, которая пересекает две прямые а и b и образует с ними восемь углов. Такую прямую с называют — секущая. Пары углов, которые образует секущая, также имеют названия. Итак, на данном рисунке изображены эти все прямые и восемь углов.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиНеобходимо запомнить названия следующих углов:

  1. накрест лежащие углы: 4 и 5; 3 и 6;
  2. односторонние углы: 4 и 6; 3 и 5;
  3. соответственные углы: 1 и 5; 3 и 7; 2 и 6; 4 и 8.

С данными углами связаны следующие признаки параллельности прямых:

  1. если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;
  2. если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
  3. если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Видео:Параллельные прямые. Математика. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. Математика. 6 класс.

Аксиома параллельных прямых

Вспомним, что аксиомой принято называть утверждения, не требующие доказательств.

Через любые две точки на плоскости проходит прямая и притом только одна.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиАксиома №2 Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной. Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисунками

Видео:Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 классСкачать

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 класс

Следствия из аксиом параллельных прямых

  • Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиНа данном рисунке видно, что а и b параллельные прямые, с – секущая, она пересекает прямую а в точке А, значит и будет пересекать прямую b в некоторой точке С.

  • Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиПо данному рисунку видно, что если прямая CD параллельна АВ и прямая MN параллельна АВ, то CD и MN тоже будут параллельны.

Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиНа рисунке показаны такие прямые а и b. Запись с помощью символов можно сделать следующим образом: а ⊥ b, где « ⊥ » — знак перпендикулярности. Заметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Две прямые перпендикулярные одной и той же прямой параллельны с рисункамиНа данном рисунке а ⟂ с, b ⟂ c. Видно, что прямые а и b не пересекаются, то есть они – параллельны.

💡 Видео

две прямые перпендикулярные третьей неСкачать

две прямые перпендикулярные третьей не

Параллельные и перпендикулярные прямые.Скачать

Параллельные и перпендикулярные прямые.

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые
Поделиться или сохранить к себе: