Докажите что четырехугольник имеющий ось симметрии (7 видео)

Докажите что четырехугольник имеющий ось симметрии

Четырёхугольник имеет ровно две оси симметрии. Верно ли, что он — либо прямоугольник, либо ромб?

Решение:
Если фигура имеет ровно две оси симметрии, то они взаимно перпендикулярны. Действительно, пусть l₁ и l₂ — оси симметрии фигуры. Предположим, что они не перпендикулярны. Тогда прямая, симметричная l₂ относительно l₁, — также ось симметрии, не совпадающая ни с l₁, ни с l₂. Получили противоречие.

Докажем теперь, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии. Примем оси симметрии за оси координат OX и OY. Тогда, если точка (x;y) принадлежит фигуре, то ей также принадлежат точки (- x;y) (симметрия относительно оси OY) и (- x; — y) (симметрия относительно OX). Значит, точка (- x; — y), симметричная точке (x;y) относительно начала координат, принадлежит фигуре. Следовательно, фигура симметрична относительно начала координат.

Четырёхугольник, имеющий центр симметрии, — параллелограмм. Его оси симметрии взаимно перпендикулярны и являются либо диагоналями, либо серединными перпендикулярами к сторонам. Следовательно, четырёхугольник является либо ромбом, либо прямоугольником.

Видео:Прямоугольник. Ось симметрии. 5 классСкачать

Докажите, что всякий выпуклый четырёхугольник с осью симметрии либо вписанный, либо описанный.

Заметим, что каждая вершина такого четырёхугольника при симметрии либо переходит сама в себя, либо в другую вершину.

Если ось симметрии является диагональю, то она — биссектриса двух противоположных углов четырехугольника. Тогда на ней пересекаются две другие биссектрисы, т.е. четырёхугольник — описанный.

Если ось симметрии не является диагональю, то она — серединный перпендикуляр к двум сторонам. Тогда на ней пересекаются два других серединных перпендикуляра, т.е. четырёхугольник вписанный.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Задачи по геометрии преобразования

Ответы в самом низу встроенного документа

2514. Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.
2515. Докажите, что при центральной симметрии каждый луч переходит в противоположно направленный луч.
2516. Пусть две прямые пересекаются под углом а. Докажите, что при
повороте на угол а (в одном из направлений) относительно произвольной точки одна из этих прямых перейдет в прямую, параллельную другой.
2517. Докажите, что при повороте окружность переходит в окружность.
2518. Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.
2519. Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.
2520. Верно ли следующее утверждение: «Если четырехугольник имеет ось симметрии, то это либо равнобедренная трапеция, либо прямоугольник, либо ромб»?
2521. Равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС повернули вокруг точки С так, что его вершина А оказалась в точке А, на прямой ВС. При этом вершина В перешла в некоторую точку Blf лежащую с точкой А по одну сторону от прямой ВС. Докажите, что прямые АВ и В ХС параллельны.
2522. На боковых сторонах АВ иАС равнобедренного треугольника АВС построены вне его равные треугольники АМВ и ANC (AM =AN). Докажите, что точки М и N симметричны относительно биссектрисы угла ВАС.
2523. Существует ли фигура, не имеющая осей симметрии, но переходящая в себя при некотором повороте?
2524. Докажите, что треугольник АВС является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на 60° (либо по часовой стрелке, либо — против) относительно точки А вершина В переходит в С.
2525. Равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС повернули вокруг точки С так, что его вершина А оказалась в точке А1 на прямой ВС. При этом вершина В перешла в некоторую точку В1? лежащую с точкой А по одну сторону от прямой ВС. Полученный таким образом равнобедренный треугольник AJBJC повернули вокруг
точки Aj так, что вершина В1 перешла в точку В2 на прямой ВС (рис. 100). При этом вершина С перешла в некоторую точку С2, также лежащую с точкой А по одну сторону от прямой ВС. Докажите, что С2В2 параллельна АС.
А

2526. Докажите, что ось симметрии а) треугольника; б) (2k + ^-угольника проходит через его вершину.
2527. Докажите, что если ось симметрии а) четырехугольника; б) 2т- угольника проходит через какую-нибудь его вершину, то она проходит и через другую вершину.
2528. Докажите, что для любого натурального п существует выпуклый многоугольник, имеющий ровно п осей симметрии.
2529. Даны угол АВС и прямая I. Параллельно прямой I проведите прямую, на которой стороны углаАВС высекают отрезок, равный данному.
2530. Докажите, что четырехугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
2531. В данный треугольник впишите ромб так, чтобы один из его углов совпал с углом треугольника.
2532. Докажите, что две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.
2533. Две окружности касаются в точке К. Прямая, проходящая через точку К, пересекает эти окружности в точках А и В. Докажите, что касательные к окружностям, проведенные через точки А и В, параллельны.
2534. Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, является вершинами некоторого квадрата.
2535. На каждом из оснований AD и ВС трапеции ABCD построены вне трапеции равносторонние треугольники. Докажите, что прямая, соединяющая третьи вершины этих треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
2536. На плоскости даны точки А и В и прямая I. По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников АВС, если точка С движется по прямой I?
2537. Вершины К и N треугольника KMN перемещаются соответственно по сторонам АВ и АС угла ВАС, а стороны треугольника KMN соответственно параллельны трем данным прямым. Найдите геометрическое место вершин М.
2538. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой I. Постройте на этой прямой точку М так, чтобы прямая I делила АМВ пополам.
2539. Существует ли фигура, не имеющая ни осей симметрии, ни центров симметрии, но переходящая в себя при некотором повороте?
2540. На плоскости дан угол а с вершиной в точке О. Докажите, что композиция симметрий относительно сторон угла является поворотом вокруг точки О на угол 2а.
2541. Через точку внутри данного круга проведите хорду, отсекающую от окружности дугу заданной угловой величины.
2542. Постройте отрезок, равный и параллельный данному так, чтобы его концы лежали на данной прямой и на данной окружности.
2543. Проведите через общую точку А окружностей Sj и S2 прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.
2544. На каждом основании трапеции ABCD построены вне трапеции квадраты. Докажите, что эти квадраты гомотетичны относительно точки пересечения диагоналей трапеции.
2545. Четырехугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют па-раллелограмм .
2546. Четырехугольник имеет ось симметрии. Докажите, что он либо является равнобедренной трапецией, либо прямоугольником, либо симметричен относительно диагонали.
2547. На плоскости даны точки О, М и прямая I, проходящая через точку О. Прямую I повернули вокруг точки О против часовой стрелки на угол а, получив прямую Докажите, что точка, симметричная точке М относительно прямой 11У получается из точки, симметричной точке М относительно прямой I, поворотом вокруг точки О против часовой стрелки на угол 2а.
2548. Две окружности радиуса R касаются в точке К. На одной из них взята точка А, а на другой — точка В, причем А АКБ = 90°. Докажите, что АВ = 2R.
2549. Даны параллелограмм ABCD и точка М. Через точки А, В, С и D про-ведены прямые, параллельные прямым МС, MD, МА и МВ соответственно. Докажите, что они пересекаются в одной точке.
2550. Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата образуют квадрат.
2551. Постройте на сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD точки М и N так, чтобы угол при вершине А равнобедренного треугольника MAN имел данную величину а.
2552. Две окружности касаются в точке К. Через точку К проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках А и В, вторую — в точках СиК. Докажите, что АВ || CD.
2553. На окружности фиксированы точки А и В, а точка С движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников АВС.
2554. Дан ромб ABCD с острым углом А в 60°. Прямая MN отсекает от сторон АВ и ВС отрезки МВ и NB, сумма которых равна стороне ромба. Докажите, что треугольник MDN — равносторонний.
2555. Прямые, касающиеся окружности в точках А и В, пересекаются в точке М, а прямые, касающиеся той же окружности в точках С и В, пересекаются в точке N, причем NC X МА и ND X МВ. Докажите, что АВ± CD или АВ || CD.
2556. Лист бумаги согнут пополам. Докажите, что линия сгиба — прямая.
2557. Четырехугольник имеет две неперпендикулярные оси симметрии. Верно ли, что это — квадрат?
2558. Фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии. Верно ли, что она имеет центр симметрии?
2559. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону АС в точке К, причем точка К делит ломаную АСВ на две части равной длины. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
2560. Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную данному отрезку.
2561. Постройте четырехугольник ABCD по четырем углам и сторонам АВ = а и CD = Ъ.
2562. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.
2563. Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны между собой.
2564. Шестиугольник ABCDEF — правильный, К к М — середины отрезков BD и EF (рис. 101). Докажите, что треугольник AM К — правильный.

2565. Рассмотрим все окружности, касающиеся данной прямой и данной окружности (внешним образом). В каждом случае проведем прямую через точки касания. Докажите, что все эти прямые проходят через одну и ту же точку. (Это же верно и для случая внутреннего касания окружностей.)
2566. Точки М и 2V расположены по одну сторону от прямой I. Как из точки М направить луч света, чтобы он, отразившись от прямой I, попал в точку N?
2567. Даны прямая I и точки А и В по одну сторону от нее. Найдите на прямой I точку М такую, чтобы луч МА был биссектрисой угла между лучом МВ и одним из лучей с вершиной М, принадлежащих данной прямой I.
2568. Постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная к третьей стороне.
2569. Постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.
2570. Докажите, что всякий четырехугольник с осью симметрии либо вписанный, либо описанный.
2571. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов, прилежащих к третьей.
2572. Постройте треугольник АВС по углам А и В и разности сторон АС и ВС.
2573. Прямые I и т пересекаются в точке О, прямые и получены из прямых I и т поворотом на некоторый угол относительно точки О. Докажите, что композиция симметрий относительно /и т и композиция симметрий относительно и т1 — одно и то же преобразование.
2574. На сторонах параллелограмма построены квадраты по ту же сторону от его сторон, по которую расположен сам параллелограмм (рис. 102). Докажите, что центры этих квадратов сами образуют квадрат.

2575. В выпуклом пятиугольнике ABCDE углы АВС и CDE равны по 90°, стороны ВС, CD и АЕ равны по 1 и сумма сторон АВ и DE равна 1. Докажите, что площадь пятиугольника равна 1.
2576. Медианы АА1? ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М; Р — произвольная точка. Прямая 1а проходит через точку А параллельно прямой РАу, прямые 1Ь и 1С определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые 1а, 1Ь и 1С пересекаются в одной точке Q;
б) точка М лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ =1:2.
2577. Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.
2578. В данный треугольник впишите другой треугольник, стороны которого соответственно параллельны трем данным прямым.
2579. На дуге ВС окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, взята произвольная точка Р. Докажите, что АР = BP + СР.
2580. Внутри острого угла даны точки М и N. Как из точки М направить луч света, чтобы он, отразившись последовательно от сторон угла, попал в точку N?
2581. На сторонах АВ, ВС и СА остроугольного треугольника АВС взяты соответственно точки Clt А1 и By. Известно, что луч света, пущенный из точки А1 в точку By, отразившись от стороны АС, попадает в точку Су, затем, отразившись от стороны АВ, — в точку Ау, оттуда — снова в точку В, и т. д. Докажите, что Ay, By и Су — основания высот треугольника АВС.
2582. АВС — разносторонний остроугольный треугольник. Сколько на плоскости существует точек D таких, что множество имеет ось симметрии?
2583. Постройте треугольник АВС, если известно, что AN = с, ВС -АС = а,
А С = Y-
2584. Докажите, что композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном этим прямым, на величину, равную удвоенному расстоянию между ними.
2585. На плоскости даны прямая I и точка М. Пусть Му — точка, симметричная точке М относительно прямой I. При параллельном переносе прямой I в перпендикулярном ей направлении на расстояние h прямая I перешла в прямую 1у. Докажите, что образ М2 точки М при симметрии относительно прямой 1у получается из точки Му параллельным переносом в том же направлении на расстояние 2h.

2586. На плоскости даны две параллельные прямые 1ит. Их параллельно перенесли на некоторое расстояние h, получив прямые 1у и ту. Докажите, что композиция симметрий относительно прямых I и т и композиция симметрий относительно прямых 1у и ту — одно и то же преобразование.
2587. Внутри прямоугольника ABCD взята точка М. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями, равными АВ и ВС, стороны которого равны AM, ВМ, CM, DM.
2588. Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит
360°
в себя при повороте на угол отно-
п
сительно некоторой точки.
2589. Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.
2590. Пусть М и N — середины сторон CD nDE правильного шестиугольника ABCDEF. Найдите угол между прямыми AM и BN.
2591. В ромбеАВСВ угол АВС равен 120°. На сторонах АВ и ВС взяты точки Р и Q так, что АР = BQ. Найдите углы треугольника PQD.
2592. Постройте хорду данной окружности, которую два данных радиуса разделили бы на три равные части.
2593. На каждой из сторон треугольника АВС построено по прямоугольнику так, что они попарно касаются вершинами (рис. 103). Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника АВС с соответствующими вершинами треугольника А1Б1С1, пересекаются в одной точке.

2594. На стороне ВС равностороннего треугольника АВС как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки К и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые АК и AL делят отрезок ВС на равные части.
2595. Окружности радиусов г и Б касаются друг друга внутренним образом. Найдите сторону правильного треугольника, у которого одна вершина находится в точке касания данных окружностей, а две другие лежат на разных данных окружностях.
2696. На листе прозрачной бумаги нарисован четырехугольник. Какое наименьшее число раз нужно согнуть лист, чтобы убедиться в том, что это квадрат?
2597. Докажите, что композиция параллельного переноса в направлении, перпендикулярном некоторой прямой, и симметрии относительно этой прямой есть осевая симметрия.
2598. Две окружности радиуса R пересекаются в точках MnN. Пусть А и В — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN2 + АВ2 = 4Б2.
2599. Постройте отрезок, равный и параллельный данному, так, чтобы его концы лежали на двух данных окружностях.
2600. Постройте равносторонний треугольник АВС так, чтобы его вершины лежали на трех данных параллельных прямых.
2601. Постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной окружности, другая — на данной прямой, а третья — в данной точке.
2602°. Постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.
2603°. Постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трех данных концентрических окружностях.
2604°. Впишите в данный параллелограмм прямоугольник с заданным углом между диагоналями.
2605. Впишите квадрат в данный параллелограмм.
2606. Постройте квадрат, три вершины которого лежали бы на трех па-раллельных прямых.
2607. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого опиралась бы на две данные окружности, а вершина прямого угла лежала бы в данной точке.
2608°. Дан остроугольный треугольник АВС. Постройте точки X и У на сторонах АВ и ВС так, что ВХ — = XY = УС.
2609. Даны две концентрические окружности Sj и S2. Проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
2610. Даны две концентрические окружности. Проведите прямую, пе-ресекающую эти окружности так, чтобы меньшая хорда была равна половине большей.
2611. Постройте треугольник, если даны одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.
2612. Фигура имеет ровно две оси симметрии. Докажите, что они пер-пендикулярны .
2613. Выпуклый многоугольник имеет центр симметрии. Докажите, что сумма градусных мер его углов делится на 360°.
2614. Точка М лежит на диаметре АВ окружности. Хорда CD окружности проходит через точку М и пересекает прямую АВ под углом в 45°. Докажите, что величина СМ2 + DM2 не зависит от выбора точки М.
2615. Равные окружности Sj и S2 касаются внутренним образом окружности S в точкахА! ИА2 (рис. 104); С — некоторая точка окружности S, прямые AjC ИА2С пересекают окружности Sj и S2 в точках Вхп В2 соответственно. Докажите, что B^B2 || АХА2.

2616. Постройте четырехугольник ABCD по четырем сторонам, если известно, что его диагональ АС является биссектрисой угла А.
2617. Может ли фигура иметь центр симметрии и ровно одну ось симметрии?
2618. Из точки О на плоскости выходят 2п прямых. Могут ли они служить серединными перпендикулярами к сторонам некоторого 2п угольника?
2619. Докажите, что композиция трех симметрий относительно прямых 11г 12 и /д, пересекающихся в точке О, есть осевая симметрия.
2620. Докажите, что композиция трех симметрий относительно прямых lltl2 и 13 есть осевая симметрия.
2621. Докажите, что композиция п осевых симметрий относительно прямых 11г 12, . проходящих через точку О, есть: а) поворот, если п четно; б) осевая симметрия, если п нечетно.
2622. Существует ли а) ограниченная, б) неограниченная фигура на плоскости, имеющая среди своих осей симметрии две параллельные несовпадающие прямые?
2623. Параллельно данной прямой проведите прямую, на которой две данные окружности высекали бы хорды равной длины.
2624. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяты точки М и К соответственно, причем А ВАМ = А МАК. Докажите, что ВМ + KD = АК.
2625. Постройте треугольник по основаниям двух его биссектрис и прямой, на которой лежит третья биссектриса.
2626. Пусть S — окружность, описанная около треугольника АВС. Докажите, что три окружности, симметричные S относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.
2627°. Какое максимальное число осей симметрии может иметь объединение трех отрезков на плоскости?
2628. Какое максимальное число осей симметрии может иметь объединение трех отрезков на плоскости?
2629. Дан треугольник АВС; О — центр описанной окружности; 01? 02 и 03 — точки, симметричные точке О относительно прямых АВ, ВС и АС. Докажите, что середины сторон треугольника 010203 лежат на окружности девяти точек треугольника АВС.
2630. Даны прямая I и точка О на ней. Докажите, что композиция поворота вокруг точки О на угол а и сим-
метрии относительно прямой I есть осевая симметрия относительно прямой, проходящей через точку О и составляющей с прямой I угол ^ .
2631. Докажите, что композиция
симметрий относительно п параллельных прямых 11У 12, . 1п есть:
а) параллельный перенос, если п четно;
б) осевая симметрия, если п нечетно.
2632. В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни А и В, чтобы путь AMNB из деревни А в деревню В был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным реке)?
2633. Параллельно данной прямой проведите прямую, на которой две данные окружности высекали бы хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину а.
2634. Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров симметрии (например, полоса между двумя параллельными прямыми). Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?
2635°. Внутри квадрата А1А2А3А4 взята точка Р. Из вершины Ах опущен перпендикуляр на А2Р, из А2 — на А3Р, из А3 — на А4Р, ИЗ А4 — на А4Р. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
2636°. На отрезке АЕ по одну сторону от него построены равносторонние треугольники АВС и CDE; М и Р — середины отрезков AJD и BE. Докажите, что треугольник СРМ — равносторонний.
2637. Даны точки А и В и окружность S. Постройте на окружности S такие точки С и В, что АС || BD и дуга CD имеет данную величину а.
2638. Даны две точки и окружность. Проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом а.
2639. Дан треугольник АВС. На его сторонах АВ и ВС построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ (рис. 105). Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и АС образуют квадрат.
М

2640. Из вершины А квадрата ABCD внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры ВК, BL, DM, DN из вершин В и В. Докажите, что отрезки KL и MN равны и перпендикулярны друг другу.
2641. Точка Р расположена внутри квадрата АВСВ так, что АР : BP : СР = = 1:2:3. Найдите угол АР В.
2642. Дан остроугольный треугольник АВС. Постройте точки X и Уна сторонах АВ и ВС так, что АХ = ХУ = = УС.
2643. Дан прямоугольный биллиард со сторонами 1 и J2.. Из его угла под углом 45° к стороне выпущен шар. Попадет ли он когда-нибудь в лузу? (Лузы находятся в углах биллиарда.)

2644. Постройте четырехугольник АВСВ по двум сторонам АВ и АВ и двум углам В и В, если известно, что в него можно вписать окружность.
2645. Постройте треугольник АВС по стороне АВ = с, высоте СС4 = h и разности углов ср = А А — А В.
2646. Даны прямые 14, 12 и 13, пересекающиеся в одной точке. Постройте треугольник АВС, для которого данные прямые были бы серединными перпендикулярами к его сторонам.
2647. Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину В. Докажите, что медиана BE треугольника АВК и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)
2648. (Точка Торричелли.) На сторонах треугольника АВС построены вне треугольника равносторонние треугольники ВСАу, CAN у, АВС у и проведены отрезкиААу, ВВу и ССу. Докажите, что:
а) эти отрезки равны между собой;
б) эти отрезки пересекаются в одной точке;
в) если эта точка находится внутри треугольника АВС, то сумма ее расстояний до трех вершин треугольника равна длине каждого из отрезков ААу, ВВу, ССу.
2649. Постройте треугольник, если дана прямая, на которой лежит его сторона, и две точки — основания биссектрис, проведенных к двум другим сторонам.
2650. (Прямая Эйлера.) Докажите, что в любом треугольнике точка Н пе-ресечения высот (ортоцентр), центр О описанной окружности и точка М пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причем точка М расположена между точками ОиНи МН = 2 МО.
2651. Постройте треугольник по точке Н пересечения его высот, центру О описанной окружности и прямой I, на которой лежит одна из его сторон.
2652. Дан угол между двумя полупрямыми. В угле, отражаясь от его сторон, путешествует луч света. Может ли он отразиться бесконечное число раз?
2653. Стороны выпуклого п-уголь- ника занумерованы числами от 1 до п.
Луч света, выйдя из точки А внутри многоугольника, отразившись последовательно от первой, второй, . п-й стороны, попал в точку В. Как, зная только положение точек А к В внутри многоугольника, построить траекторию луча?
2654. На плоскости даны треугольник АВС и точка М (рис. 106). Известно, что точки, симметричные точке М относительно двух сторон треугольника АВС, попадают на окружность, описанную около треугольника АВС. Докажите, что точка, симметричная точке М относительно третьей стороны, также попадает на эту окружность.

2655. Существует ли фигура, имеющая ровно две оси симметрии, но не имеющая центра симметрии?
2656. Четырехугольник имеет ровно две оси симметрии. Верно ли, что он — либо прямоугольник, либо ромб?
2657. Может ли пятиугольник иметь ровно две оси симметрии?
2658. Постройте треугольник АВС, если даны его вершины А и В, прямая I, на которой лежит вершина С, и разность углов А А — А В = ср.
2659. Постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.
2660. На плоскости даны прямые
1у, 12, ^2л* пересекающиеся в одной
точке. Блоха сидит в некоторой точке М плоскости и прыгает через прямую 1у, попадая в точку М г, так, что М и симметричны относительно прямой Д, далее — через прямую 12 и т. д. Докажите, что если через 2п прыжков блоха оказалась в точке М, то, начиная движение из любой точки плоскости, через 2п прыжков блоха окажется на прежнем месте.
2661. (Теорема Монжа.) Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.
2662. Пусть MnN — середины сторон CD и DE правильного шестиугольник ABCDEF, Р — точка пересечения отрезков AM и BN. Докажите, что S(ABP) = S <MDNP).
2663°. Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют новый квадрат.
2664. На двух сторонах АВ и ВС правильного 2п-угольника взято по точке К и N так, что угол KEN, где Е —■ вершина, противоположная В,
1R0C
равен . Докажите, что NE — бис-
2 п
сектриса угла KNC.
2665. Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны АС в точке D; DM — ее диаметр. Прямая ВМ пересекает сторону АС в точке К. Докажите, что АК = DC.
2666. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
2667. Постройте треугольник АВС по углу А и отрезкам АВ + ВС и АС + + ВС.
2668. В четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны, причем лучи АВ и DC пересекаются в точке О. Докажите, что прямая, соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD.
2669. Дан вписанный 2п-угольник с углами Р1т Р2, . Р2п. Докажите, что
Pi + Рз + • • ■ + Ргл -1 = Рг Р4 + • ■ • + Ргл-
Верно ли обратное?
2670. Даны непересекающиеся хорды АВ и CD некоторой окружности. Постройте на этой окружности такую точку X, чтобы хорды АХ и ВХ высекали на хорде CD отрезок EF, равный данному.
2671. На сторонах треугольника АВС внешним образом построены правильные треугольники АВСХ, АВХС и AjBC. Пусть Р и Q — середины отрезков АХВХ и АХСХ. Докажите, что треугольник APQ — правильный.
2672. Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360°, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360°.
2673. Постройте многоугольник с нечетным числом сторон, зная середины его сторон.
2674. Из центра О окружности проведено п прямых (п нечетно). Постройте вписанный в окружность п-уголь- ник, для которого данные прямые являются серединными перпендикулярами.
2675. На сторонах произвольного выпуклого четырехугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.
2676. Круг поделили хордой АВ на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол. Пусть при этом повороте точка В перешла в точку D. Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.
2677. На плоскости расположены три окружности Sx, S2, S3 радиусов rv
г2, г3 — каждая вне двух других, причем гг > г2 и /’j > г3. Из точки пересечения внешних касательных к окружностям Sj и S2 проведены касательные к окружности S—, а из точки пересечения внешних касательных к окружностям Sx и S3 проведены касательные к окружности S2- Докажите, что последние две пары касательных образуют четырехугольник, в который можно вписать окружность, и найдите ее радиус.
2678. На отрезках АВ, ВС и СА треугольника АВС построены во внешнюю сторону прямоугольники АВВ1А2, ВСС1В2 и САА1С2 (рис. 107). Докажите, что перпендикуляры к отрезкам АХА2, ВХВ2 и СХС2, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.

2679. В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
2680. Даны прямая I и точки Ап В по одну сторону от нее. Постройте путь луча из А в В, который отражается от прямой I по следующему закону: угол падения на ф меньше угла отражения.
2681. Докажите, что три прямые, симметричные относительно сторон треугольника прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, пересекаются в одной точке.
2682. На плоскости дано п прямых (п нечетно), пересекающихся в одной точке. Постройте п-угольник, для которого эти прямые являются биссектрисами внешних или внутренних углов.
2683. На плоскости даны 2п — 1 прямая, окружность и точка К внутри окружности. Впишите в окружность 2п-угольник, у которого одна сторона проходит через точку К, а остальные параллельны данным прямым.
2684. АВС — данный разносторонний треугольник, Ах, Вх, Сх — точки касания его вписанной окружности со сторонами ВС, АС, АВ соответственно; А2, В2, С2 — точки, симметричные точкам Ах, Вх, Сх относительно биссектрис соответствующих углов треугольника АВС. Докажите, что А2С2 || АС.
2685. Проведите через данную точку прямую, на которой две данные ок-ружности высекали бы равные хорды.
2686. Даны окружность, две точки PnQ этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку М, чтобы прямые МР и MQ отсекали на данной прямой отрезок АВ, равный данному.

2687. Впишите в данную окружность п-угольник, стороны которого соответственно параллельны п данным прямым.
2588.В интервале (0, я) дано п чисел ос15 а2, . ап, при этом аг + ос2 + + . + а„ = п(п — 2). Впишите в данную окружность n-угольник, внутренние углы которого равны соответственно а1; а2, . ап. Когда построение возможно?
2689. На плоскости даны 2п прямых, окружность и точка К внутри нее. Впишите в окружность (2п + 1)- угольник, одна сторона которого проходит через точку К, а остальные стороны параллельны данным прямым.
2690. Через центр О окружности проведено п прямых. Постройте описанный около этой окружности п-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.
2691. (Задача Ферма.) Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
2692. (Треугольник Наполеона.) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
2693. На сторонах произвольного треугольника внутренним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
2694. Пусть P,QnR — центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC, a M,N и К — центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника АВС внутренним образом. Докажите, что разность площадей треугольников PQR и MNK равна площади треугольника АВС.
2695. (Задача Тибо.) Пусть Аг, Вх и Сг — основания высот ААХ, ВВЛ и СС1 непрямоугольного треугольника АВС. Докажите, что прямые Эйлера треугольников ABJCJ, ВА1С1 и СА1В1 пересекаются на окружности девяти точек треугольника АВС.