Сумма диагоналей четырехугольника больше его периметра

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь

1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:12 Отношение суммы длин диагоналей выпуклого четырёхугольника к периметру (повторение)Скачать

Доказать что сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше, чем половина периметра этого четырёхугольника?

Математика | 5 — 9 классы

Доказать что сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше, чем половина периметра этого четырёхугольника.

Пусть четырехугольник АВСD, диагонали АС и ВD.

Точка пересечения диагоналей О.

Складывая все 4 неравенства, получаем

2 * (АС + ВD)&gt ; (AB + BC + CD + AD)

(АС + ВD)&gt ; (AB + BC + CD + AD) / 2

что и требуется.

Видео:Геометрия Докажите, что периметр параллелограмма больше суммы длин его диагоналей.Скачать

Длина одной стороны четырёхугольника составляет 3 / 11 его периметра, длина другой 4 / 11 периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см?

Длина одной стороны четырёхугольника составляет 3 / 11 его периметра, длина другой 4 / 11 периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см.

Найдите периметр четырёхугольника?

5 класс, заранее спасибо.

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

Длина одной стороны четырёхугольника составляет 3 / 11 его периметра, длина другой — 4 / 11, а сумма длин этих сторон равна 28 см?

Длина одной стороны четырёхугольника составляет 3 / 11 его периметра, длина другой — 4 / 11, а сумма длин этих сторон равна 28 см.

Найдите периметр четырёхугольника.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Длина одной стороны четырехугольника составляет 3 11 его периметра, длина другой — 4 / 11 периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см?

Длина одной стороны четырехугольника составляет 3 11 его периметра, длина другой — 4 / 11 периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см.

Найдите периметр четырехугольника.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Длина одной стороны четырёхугольника составляет три одиннадцатых его периметра длина другой четыре одиннадцатых его периметра а сумма длин этих сторон равна 28см?

Длина одной стороны четырёхугольника составляет три одиннадцатых его периметра длина другой четыре одиннадцатых его периметра а сумма длин этих сторон равна 28см.

Найдите периметр четырёхугольника.

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Сколько диагоналей в выпуклом четырёхугольнике?

Сколько диагоналей в выпуклом четырёхугольнике?

Видео:Сумма квадратов диагоналей параллелограммаСкачать

Длина одной стороны четырехугольника составляет 3 / 11 его периметра, длина другого 4 / 11 периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см?

Длина одной стороны четырехугольника составляет 3 / 11 его периметра, длина другого 4 / 11 периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см.

Найдите периметр четырехугольника.

Видео:Гл1 Задача 10 б /Геометрия8 /Казаков В.В // Диагонали четырехугольникаСкачать

Четырёхугольник разделен диагональю на два треугольника?

Четырёхугольник разделен диагональю на два треугольника.

Периметры этих т реугольников и четырехугольника соответственно равны 30 м, 34м, 36м.

Найдите длину диагонали четырёхугольника.

Видео:4.2 Ход ладьи. "Поколение Python": курс для начинающих. Курс StepikСкачать

В четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника?

В четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника.

Известно, что сумма периметров этих треугольников равна 73см, а периметр четырехугольника равен 29см.

Чему равна сумма длин диагоналей ?

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Периметр четырехугольника 59см?

Периметр четырехугольника 59см.

Диагональ делит четырехугольник на два треугольника, периметры которых 34см и 39см.

Найди длину диагонали.

Видео:Геометрия Найдите диагональ четырехугольника, если его периметр равен 80 см, а периметрыСкачать

Докажите что в любом выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от точки взятой внутри четырехугольника, до его вершин больше полупериметра?

Докажите что в любом выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от точки взятой внутри четырехугольника, до его вершин больше полупериметра.

Вы зашли на страницу вопроса Доказать что сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше, чем половина периметра этого четырёхугольника?, который относится к категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

3×2 = 6(д. ) — после него 6×2 = 12(д. ) — до него и после него вместе. 12 + 1 = 13(д. ) — если Илья шел без пары.

3 * 2 + 2 * 1 + 3 * 2 = 14 детей.

1, 2а — а + b — 2, 1b 1. 2а и а подобные b и 2, 1b подобные.

Пусть x мел, y молоко пусть k коеф пропорц x : y = 3 : 10 x = 3k y = 10k 3k = 18 k = 6 x = 18 y = 60 ответ 60.

1. А) Острый 2. В) 11 р. 3. А) Вычитание 4. Г) 1, 78.

Единственный общий делитель это 1.

Разложим числа на простые множители : 39 = 3 * 13 28 = 2 * 2 * 7 т. К. у чисел нет одинаковых делителей, то их НОД (39, 28) = 1.

3. 1000 : 198≈1000 : 200 = 5 (рулонов) Но 1985, так что прибавляем рулон : 5 + 1 = 6 (рулонов) Ответ : 6 рулонов. 4. 37 871≈40 000 5 625≈6 000 10 912≈11 000 553 980≈554 000 35 782≈36 000.

16 / 38 = 8 / 19 ответ : 8 / 19 деревьев парка березы.

1)2770 — 584 = 2186 (м) — ширина поля. 2)(2770 + 2186) * 2 = 9912 (м) — периметр поля.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА! Что больше: периметр четырёхугольника ABCD или сумма его диагоналей?

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

Ваш комментарий к вопросу:

Видео:Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Ваш ответ

Видео:Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать

2 Ответы

Видео:Сумма квадратов диагоналей прямоугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Ваш комментарий к ответу:

ну, мягко говоря, судить по рисунку нехорошо. Доказывать нужно строго.

там доказательство чуть иное, и оно получается общее.

так пиши общее, умник, тут дан только рисунок

я вас, вообще-то , никак не называл, так что будьте вежливы. А насчет умника- таки да. Смотрите общее решение и учитесь 🙂

📸 Видео

4D математика с Мэттом Паркером - вещи, которые нужно увидеть и услышать в четвертом измеренииСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать