Если т1||т2|1″^з11″^4- И 0-2 ^3 ^4 ••• > ТО Ъ-^ ^4 ••• 77 Разделите данный отрезок АВ на две равные части с помощью циркуля и линейки. 78 Разделите с помощью циркуля и линейки данный отрезок МК на три равные части. 79 Начертите отрезок и разделите его на пять равных частей. Для построения параллельных прямых воспользуйтесь линейкой и чертежным угольником. 80 ГВ2 Дано: ВК и AD — медианы треугольника АВС, КМ WAD. КС = 8 см, СМ = 5 см. Вычислите длины сторон ВС и АС данного треугольника. Решение. 1) АС = 2 ■ .= 2 • . см = . см В 30 2) МС =. (по . MD= . см, CZ)=. см, СВ —2 . ). Ответ. . ). Следовательно, см (так как . !83 В треугольнике АВС точки М ж К — середины равных его сторон АВ и ВС. Отрезки ME, BD и KF перпендикулярны стороне АС. Сторона АС равна 24 см. Вычислите расстояние между точками Е ж F. Решение. В Ответ. 58. Средняя линия треугольника 0 Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна противолежащей стороне и равна ее половине. МК — средняя линия ААВС МК II АС мк=ас 84 Прямые AjCj, А^С^, AgCg параллельны стороне АС треугольника АВС; ВА^ = =A^A^=A^g=A^. Найдите на рисунке среднюю линию: а) треугольника АВС; б) треугольника BAjC^. (Решите задачу устно.) Ответ, а) . ; б) . Начертите треугольник. Постройте с помощью циркуля и линейки две его средние линии. 86 Стороны треугольника равны 12 см, 14 см и 16 см. Вычислите длины его средних линий. (Решите задачу устно.) Ответ. 187 Диагонали АС и BD ромба ABCD равны соответственно 12 см и 18 см. Точки Т, М, К ж Р являются серединами его сторон АВ, ВС, CD и AD. Определите вид четырехугольника МКРТ. Вычислите его периметр. Решение. 1) МК=. АС. РТ=. (по . ). Следовательно, МК. РТ. Аналогично КР. BD и МТ. BD, поэтому КР. МТ. Значит, четырехугольник МКРТ — . Стороны его параллельны диагоналям ромба, которые. Теперь можем утверждать, что четырехугольник МКРТ — . 2) Найдем длины сторон прямоугольника МКРТ-. МК = РТ=^АС = = i. =. (по свойству. . ). Аналогично КР—. = ^ ■ . = . = . Периметр прямоугольника равен . = Ответ. 32 [881- Точки М, к, Р ж Т — середины сторон прямоугольника ABCD. Точка М лежит на стороне АВ, точка К — на стороне ВС и т. д. Диагональ прямоугольника равна 16 см. Определите вид четырехугольника, образованного отрезками МК. КР, РТ ж МТ. Вычислите его периметр. Решение. Ответ. Около треугольника АВС описана окружность. Сторона АВ является ее диаметром. Вычислите расстояние между серединами хорд АС ж ВС, если диаметр окружности равен 22 см. Решение. Ответ. 190 в треугольнике CDE проведены медианы DM ж СК. Вычислите расстояние между точками М ж К, если сторона CD треугольника равна 7 см. (Сделайте рисунок и решите задачу устно.) Ответ. 2 Дулницын, 8 кл. 33 91 На сторонах АВ и ВС треугольника АВС лежат точки М и К. Известно, что AM = МВ = ВК = КС = МК — 6 см. Вычислите периметр треугольника АВС. Решение. Ответ. 92 лВ Через середину О средней линии равностороннего треугольника АВС проведена прямая, параллельная его стороне. Вычислите расстояние между точками пересечения этой прямой со сторонами треугольника, если сторона треугольника равна 24 см. Решение. 1) Четырехугольник АМОТ — . . (так как МО ОТ. AM). Следовательно, ОТ=. 2) Отрезок ОК является . треугольника . (так как О — середина стороны . .. и прямая КТ АТ. J_ 2 СМ. стороне . ). Следовательно, ОК = ^ • искомое расстояние ТК = .. -Ь Ответ. .. =. см. Поэтому см -I- . см = . см. 59. Трапеция Го о Трапеция — это четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Равнобокая трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. АВ, ВС — основания АВ, CD — боковые стороны 34 о Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых ее сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Вг М— — средняя линия трапеции mkWad, mk^Uad+bc) Q I Прямоугольная трапеция — это трапеция, одна из боковых сто-1 рон которой перпендикулярна основаниям. 93 Запишите название четырехугольника, изображенного на каждом из рисунков. В______________С N_________Р Е Л- М’- ADWBC Ответ. а) ABCD — , б) MNPK —. в) CDEF — , г) EFPT — . mkWnp EF\PT Углы А и D при основании трапеции ABCD равны 70° и 50°. Вычислите градусные меры остальных ее углов. Решение. Углы А и В являются . при параллельных прямых . ..и секущей . Следовательно, их сумма равна . °. Поэтому АВ= . ° — ..° = . °. Аналогичным образом находим величину угла . А. =. °-. °=. °. Ответ. 35 Начертите с помощью линейки прямоугольную трапецию, основания которой равны 5 см и 3 см, а расстояние между ними равно 4 см. (Будем считать сторону одной клетки равной 0,5 см.) 96 Постройте с помощью линейки равнобокую трапецию, основания которой равны 5 см и 3 см, а расстояние между ними равно 2,5 см. (Будем считать сторону одной клетки равной 0,5 см.) 97 Два угла равнобокой трапеции пропорциональны числам 1 и 2. Вычислите градусные меры всех углов этой трапеции. Решение. Ответ. 98 Один из противоположных углов прямоугольной трапеции на 40° больше другого. Вычислите градусные меры всех углов трапеции. 36 Решение. Ответ. 99 Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, длины которых равны 6 см и 10 см. Вычислите длины оснований трапеции. Решение. Ответ. 100 Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на отрезки, длины которых равны 7 см, 4 см и 7 см. Вычислите длины оснований трапеции. Решение. В треугольнике АВС отрезок МК является . . Следовательно, ВС =. см (по свойству . ). В треугольнике ACD отрезок КР является . КР =. -1. =. см -1-.. см = . см. Поэтому AD =. см. Ответ. 37 101 Дано: ABCD — трапеция, AB±AD, ВС = 10 см, AC = CD. Вычислите длину средней линии трапеции. Решение. Проведем перпендикуляр СК из точки С к основанию AD. В треугольнике ACD он является. . (так как . . . ). Четырехугольник АВСК —. Поэтому АК= . =. см. Значит, AD =. см. Теперь вычислим длину средней линии (проведем ее и обозначим МР). МР =. Ответ. . 60. Теорема о пропорциональных отрезках 61. Построение четвертого пропорционального отрезка Те Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. А^ с7/ О Если даны отрезки а, 6 и с, то С^/ четвертый пропорциональный отрезок — это отрезок, удовле- т\1 творяющий условию АВ^‘.АВ2″^АС ОЕ^ = Ъ см, £^£2 = ^ см, F^F2 = b см. Вычислите длину отрезка OF у. О 1) Пусть ВуВ2 = х см, тогда ОВ2 = (Ю + х) см. Составляем уравнение: 6:14 = 10:(. ) (по теореме . . ). Решаем его: . , х=. Значит, ВуВ2 =. см. Решение. 2) . Ответ. 1) . ; 2) 39 105 Боковые стороны трапеции ABCD продолжены до пересечения в точке М. АВ= 12 см, ВМ=1Ъ см, CD = 8 см. Вычислите расстояние от точки М до вершины С. Решение. М D Ответ. 106 Вычислите длину отрезка, который является четвертым пропорциональным отрезков а, Ь н с, если их длины равны соответственно 12 см, 8 см и 9 см. Решение. Искомый отрезок х должен удовлетворять равенству а:Ь = с:х (по . ). Подставим в него данные величины. Получим уравнение 12:8 = 9: л:. Решим его: . , х=. Значит, искомый отрезок равен . см. Ответ. 107 Вычислите длину отрезка, который является четвертым пропорциональным отрезков т, п ч р, если их длины равны соответственно 15 см, 20 см и 18 см. Решение. Искомый отрезок х должен удовлетворять равенству . =. (по . . ). Подставим в него данные величины. Получим уравнение . Решим его: . , jc=. Значит, искомый отрезок равен . см. Ответ. 108 Даны отрезки а, Ъ ч с. Постройте четвертый пропорциональный им отрезок. (Воспользуйтесь линейкой и чертежным угольником.) 40 а Ъ , с м
С — Решение. Начертим произвольный (например, острый) угол О. Отложим на одной его стороне отрезки ОА, равный а, и ОВ, равный Ь. Теперь отложим на другой стороне угла О отрезок ОС, равный отрезку с. Через точку С и конец первого построенного отрезка (точку А) проведем прямую. Затем проведем через точку В прямую, параллельную прямой АС. Точку пересечения этой прямой со стороной угла О обозначим М. Отрезок ОМ является искомым, так как ОА:ОВ = ОС:ОМ (по теореме о . ), т. е. а:Ъ = с:ОМ. Таким образом, отрезок ОМ — четвертый пропорциональный отрезков а, Ь и с. Ответ. Построенный отрезок — ОМ. 109 Даны отрезки т, п и р. Постройте отрезок, являющийся четвертым пропорциональным данных отрезков. (При построении воспользуйтесь линейкой, циркулем и чертежным угольником.) Решение. Начертим произвольный (например, острый) угол А. Отложим на одной его стороне отрезки AM, равный т, и AN, равный . Теперь отложим на другой стороне угла А отрезок АР, равный отрезку . Через точку Р и конец первого построенного отрезка (точку . ) проведем прямую. И затем проводим прямую через точку . , параллельную прямой . Точку пересечения ее со стороной угла А обозначим К. Отрезок . является искомым, так как выполняется равенство . (по теореме о . . ), т. е. Значит, отрезок . . отрезков т, п и р. Ответ. 41 110——————————————————— Даны отрезки а, Ь а с. Постройте отрезок, являющийся четвертым пропорциональным данных отрезков. (При построении воспользуйтесь циркулем, линейкой и чертежным угольником.) Решение. Ответ. § 7 Теорема Пифагора 62. Косинус угла О Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего (к это- в cos а = ^ АВ му углу) катета к гипотенузе. г Тс А Косинус угла зависит только от с градусной меры этого угла. 42 Ill Вычислите косинус угла а данного прямоугольного треугольника. (Воспользуйтесь определением косинуса острого угла прямоугольного треугольника.) В Е К Решение, а) Прилежащий катет — АС, АС =. Гипотенуза — . cos а = АС б) Прилежащий катет — . = . Гипотенуза — . , cos а = -—^— = — в) Прилежащий катет — . = . Гипотенуза — . cos а = —= —— 112 Дано: треугольник АБС равносторонний, АВ — 5 м. Вычислите косинус угла А. Решение. Проведем высоту BD данного треугольника. Рассмотрим треугольник ABD. Его гипотенуза — . =. ; катет, прилежащий к углу А,— . — = . (по свойству . . ). Значит, cosA= = = . (так как АА = 60°, то cos 60° = = . ). Ответ, cos А =. 113 Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 16 см. Высота BD равна 15 см. Боковая сторона — 17 см. Вычислите: 1) косинус угла А; 2) косинус угла CBD. 43 Решение. 1) Рассмотрим треугольник ABD. Его гипотенуза —. ; катет, прилежащий к углу А,—. Тогда cos А =. 2) Рассмотрим треугольник CBD. Его гипотенуза —. ; катет, прилежащий к углу CBD,—. Тогда cos CBD = = =15 . 17- 114 Меньшее основание ВС равнобокой трапеции ABCD равно 15 см. Большее ее основание — 25 см. Боковая сторона АВ равна 20 см. Вычислите косинус угла А. Решение. Ответ, cos А = 115 Постройте на клетчатой бумаге угол, косинус которого равен (При построении используйте линейку и циркуль.) Решение. Искомый угол должен быть острым углом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 5 некоторым единицам длины, а катет, прилежащий к этому углу, равен 4 выбранным единицам. За единицу длины примем две клетки. Начертим прямой угол (его вершина О). На одной стороне этого угла отложим отрезок ОА, равный четырем единицам длины. С центром в точке А проводим дугу радиусом в пять единиц длины. Обозначим точку пересечения дуги и другой стороны угла через В. Проводим отрезок АВ. Образовался прямоугольный треугольник ОАВ. Косинус его острого угла ОАВ равен Ответ. А ОАВ, cos А = 5 • 44 116 —————————————————————— 5 1) Постройте на клетчатой бумаге угол, косинус которого равен у. (При построении используйте линейку и циркуль.) 2) Постройте угол, косинус которого равен (При построении используйте циркуль, линейку с делениями и чертежный угольник.) Выполните только построения, их описание не проводите. Ответ. 1) ^ . ; cos 5 7 , 2) /1 . ; cos 4 7 • 63. Теорема Пифагора 64. Египетский треугольник Те в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме С квадратов катетов. V Тс Следствия: 1. Квадрат катета равен разности с между квадратом гипотенузы и квадратом другого катета. (В пря- с^=а+Ь^, Ав»=ВСаС^ моугольном треугольнике любой а = с- Bd=AB^-AC^ из катетов меньше гипотенузы.) л Ь . cosA= с ^BDC
. Ответ. (по 119 Высота МТ треугольника МКР делит сторону РК на отрезки РТ = Ъ см и ТК = = 9 см. Сторона МР равна 13 см. Вычислите периметр этого треугольника. Решение. Начертим треугольник МКР и проведем его высоту МТ. В нем сторона . является . 46 Поэтому . 2 = . = . Получим. = . Далее рассматриваем треугольник . Находим его неизвестную сторону . Она является .Поэтому .^ = = . = . Получим . =. Теперь вычисляем периметр треугольника . Он равен Ответ. 120 Дано: ABCD — параллелограмм, BK^^AD, АК=Ъ см, ВК=8 см, BD=10 см. Вычислите периметр этого параллелограмма. Решение. Рассмотрим треугольник BKD. Он . (по . ), KD —. . Следовательно, KD^=. = . = . , KD= . Значит, AD= . = . = . Теперь рассмотрим треугольник АВК. Он . (по . ), АВ — . . Следовательно, АВ’^ Вычислим периметр параллелограмма: Pj^scd^ 2 <. )= . Ответ. 2 (. ■ ) = 121 Из вершины тупого угла В ромба ABCD проведен к стороне AD перпендикуляр ВК. Он делит эту сторону на два отрезка: АК = 6 см и KD = 4 см. Вычислите длину диагонали BD. Решение. Вычислим длину стороны ромба: . =. =. Теперь рассмотрим треугольник . Вычислим длину отрезка ВК ВК — его . Следовательно, ВК'^ = = . ВК^ . Далее рассмотрим треугольник . Находим длину его стороны: Ответ. 47 122 Боковые стороны прямоугольной трапеции ABCD равны 10 см и 8 см. Ее большее основание AD равно 18 см. Вычислите длину меньшего основания трапеции и длину ее средней линии. Решение. Проведем перпендикуляр ВК на основание AD. Рассмотрим треугольник . Ответ. 123 Основания равнобокой трапеции МРКТ равны 8 см и 16 см. Расстояние между основаниями равно 3 см. Вычислите периметр трапеции. Решение. Проведем перпендикуляры РА и КВ из концов меньшего основания трапеции к большему основанию. Рассмотрим образовавшиеся треугольники МРА и КТВ. Находим длины их катетов: Затем вычисляем длину гипотенузы: И, наконец, вычисляем периметр трапеции: Р^ркт^ Ответ. 124 Хорда, равная 16 см, удалена от центра окружности на 6 см. Вычислите длину диаметра этой окружности. Решение. Проведем из центра данной окружности перпендикуляр ОК к хорде АВ и радиус ОВ. Точка К является . хорды АВ (по свойству ради- 48 уса. ). Значит, КВ =. Длина отрезка О К равна расстоянию от . Поэтому ОК =. Теперь рассмотрим треугольник ОКБ и вычислим длину его стороны ОВ; Итак, ОВ =. Остается найти длину диаметра окружности. Она равна 2 -2 •. =. (Так как . •) Ответ. 125 Радиус окружности равен 13 см. Проведена хорда этой окружности, равная 10 см. Вычислите расстояние от центра окружности до хорды. (При решении задачи воспользуйтесь рисунком к задаче 124.) Решение. Ответ. 126 Через точку М, удаленную от центра окружности на 20 см, проведена касательная МК к ней <К — точка касания). Радиус окружности равен 12 см. Вычислите длину касательной МК. Решение. Проведем радиус ОК. Угол ОКМ —. (по свойству радиуса, . )■ Рассмотрим треугольник ОКМ. В нем ОК и КМ . ОМ =. , ОК = . длину МК: . -м . , ом — Вычисляем Ответ. 49 127—————————————————————— Через точку М проведена к окружности касательная МК, равная 15 см. Радиус окружности равен 8 см. Вычислите расстояние от точки М до центра окружности. (При решении воспользуйтесь рисунком к задаче 126.) Решение. Ответ. Если для сторон треугольника выполняется равенство а^ + Ь^ = с^ Стороны треугольника равны а, Ь и с. Является ли этот треугольник прямоугольным, если: 1) а = 30, 5 = 16, с = 34; 2) а = ‘^, 5 = 7, с = 6; 3) а-9, 5-12, с-8; 4) а-11, 5-7, с=72; 5) 0 = 5, 5 = 11, с = 13; 6) о = 10, 5 = 41, с = [59? Решение. 1) Вычислим сумму квадратов двух меньших сторон: 30^-1-16^ = = 900-1-256=1156. Найдем квадрат большей стороны: 34^=1156. Получим а’^ + Ь^ — с^. Следовательно, треугольник прямоугольный. 2) Вычислим сумму квадратов двух меньших сторон: 7^-1-6^ = 49-1-36 = 85. Найдем квадрат большей стороны: (’85)^ = 85. Получим 5^Ч-с^ = а^. Следовательно, треугольник прямоугольный. 3) Вычислим сумму: 9^ -I- 8^ =. =. Квадрат большей стороны равен 12^=. Получим а^+. ^ . ^ . Следовательно, треугольник не является прямоугольным. 50 4) 5) 6) Ответ. 1) . ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 65. Перпендикуляр и наклонная 66. Неравенство треугольника Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. М МА — перпендикуляр к прямой а. Точка А — его основание. МВ, МС, MD, ME — наклонные, проведенные из точки М к прямой а. Точки В. С, D, Е — основания наклонных. АВ — проекция наклонной МВ на прямую а, АС — проекция наклонной МС на прямую а. МВ, МС, MD, ME больше МА МВ = МС,АВ=АС AD>AC,MD>MC AE>AD,ME> MD 129 Дано: КРЕа, КА, КВ, КС и KD мой а, KB a2, то sina, >sina2, tgaj>tg02, cos а, 45°; 2) косинусы углов аир, если: а) а 45°. Ответ. 1) а) . ; б) .. 2) а) . ; б) .. § 8 Декартовы координаты на плоскости 71. Определение декартовых координат О о Абсцисса точки А — это число д:, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О (начала координат) до точки (пересечения прямой, параллельной оси ординат, с осью абсцисс). Число д:>0, если точка принадлежит положительной полуоси, и д: 0, если точка А^ принадлежит положительной полуоси, и у Постройте на координатной плоскости точки: М (3; 2), К (-4; 0), Р (-3; -1), F (0; -2). Вычислите расстояние от каж-
дой точки до начала координат. ‘—I—I—I—^ Ответ. МО =. ; КО =. РО = . ; FO =. -f 1- -^1-2 О J -2 + [jii> д: Даны точки: А(2; 2), В (-4; 4), С (2; -2), D (2; 4), Е (-3; -3), Р (1; -1), Т (4; 4). Какие три из данных точек: 1) принадлежат одной прямой, перпендикулярной оси ординат; 2) принадлежат одной прямой, перпендикулярной оси абсцисс; 3) принадлежат биссектрисе первой и третьей четвертей; 4) принадлежат биссектрисе второй и четвертой четвертей? Ответ. 1) . ; 2) . ; 3) . ; 4) . 169 Даны точки: М (-8; 1), К (2; 9), Р (4; -5), Т (-6; -3). Какую из координатных осей пересекает отрезок: 1) МК; 2) КР; 3) РТ; 4) МТ; 5) КТ? Ответ. 1) . ; 2) . ; 3) . 4) ; 5) . 170 Распределите по координатным четвертям точки: А (8; -5), В (-9; 6), С (2; 5), D (-1; -7), Е(7; -4), К (-5; -13). Ответ. I четверть — . ; II четверть — . III четверть — . ; IV четверть — . 71 72. Координаты середины отрезка 73. Расстояние между точками Т Координаты середины С отрезка АВ, где А (Xj; у,), В (х^; у^, вычисляются по формулам 2 ’ »с 2 • BiXziUz) 171 Дан четырехугольник МКРТ, причем М (4; 2), К (-5; 1), Р (2; 8), 7’(1;-3). 1) Вычислите координаты середин его диагоналей. 2) Верно ли, что точка С является серединой диагонали КТ? 3) Верно ли, что середина диагонали КТ является серединой диагонали МР? Решение. 1) Находим координаты середины диагонали МР (точки С): Xf.=. =. ; У(,=. = . , значит, С ( — ; .). Вычисляем координаты середины второй диагонали КТ (точки Е): Ответ. 1) . ; . = —■ , значит, Е ( . ; 2) . . ; 3) . ). 172 Дано: треугольник АВС равнобедренный <АВ = ВС), причем А (6; 4), С (4; -2). Вычислите координаты основания высоты BD данного треугольника. Решение. Основание D высоты BD является серединой отрезка АС (по . ). Поэтому лГд =. =. ; . =. Ответ. D (. ; .. ). fl73 Отрезок СЕ является диаметром окружности с центром К. Вычислите координаты центра окружности, если С (-6; 2), Е (4; -4). Решение. . . 72 Ответ. 174 ———————————————————— Отрезок РМ является диаметром окружности с центром К. Вычислите координаты конца М диаметра, если К (8; -4), Р (-6; 2). Решение. Введем обозначения координат точки М. Пусть М (д:; у). гг, JC + (-6) „ 1огда можем составить уравнения: —^— = 8;
3), D (0; 4) — принадлежит данной окружности. 78 Решение. 1) Подставим координаты точки А в уравнение окружности. Получим числовое равенство . =5. Упростим его левую часть. Получим равенство . =5. Это равенство . Следовательно, точка А . данной окружности. 2) . Следовательно, 3) . Следовательно, 4) Ответ. 192 Составьте уравнение окружности, отрезок АВ, где А(-2; 1), В (4; 5). Решение. диаметром которой является Ответ. Найдите координаты центра и длину радиуса окружности, которая задана уравнением: 2) (;с-1)2 + (г/ + 6)^ = 36; 4) <х-7Г + (у + 1Г = 15; 1) <х-4У + (у-2Г = 9; 3) (.)с + 3)2 + (//-5)‘* = 49; 5) х'^-4х + у^-6у + 13 = 4. Решение. 1)0=. Ь =. = 3) о =. Ь=. R'^ = 2) о 4) а , Ь = , ь = , н^ = , R^ = 79 5) Преобразуем левую часть уравнения так: (л:^-4д: + 4) + (г/*-= (jc-2)^ + (j/-3)^. Теперь уравнение имеет вид (x-2)^ + (z/-3)^ = 4. а =. Ь =. , =. Ответ. 1) А(. ; ..), Е=. ; 2) А (.. ; . ), Д =. 3) А(. ; ..), i? =. ; 4) А(. ; . ), Д =. 5) А (.. ; ), R=. 6у + 9) = Значит, 194 Составьте уравнение окружности с центром М (5; 3), которая касается: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат. Решение. 1) В прямоугольной системе координат отметим точку М. Проведем перпендикуляр МА к оси абсцисс. Отрезок МА должен являться . искомой окружности. Его длина равна . Мо- жем составить уравнение окружности: 2) Ответ. 1) . 2) 195 Окружность задана уравнением (х — 2)^—(у-АУ = 2Ъ. Касается ли она координатных осей? (Ответ поясните.) Решение. 1) Расстояние от центра окружности до оси абсцисс равно . Сравним его с длиной радиуса, который равен . Получим . Следовательно, окружность. оси абсцисс. 2) Расстояние от центра до оси ординат равно . Сравним его с длиной радиуса. Получим . Следовательно, окружность . оси ординат. 80 75. Уравнение прямой 76. Координаты точки пересечения прямых Любая прямая т (в декартовых координатах х, у) имеет уравнение вида ах + Ьу + с = 0, где а, Ъ, с — некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а, Ь не равно нулю. Подберите координаты точек М и К, принадлежащих прямой, заданной уравнением Зх-у-2 = 0. Решение. Если возьмем точку М (_______ ; . ) и подставим эти координаты в уравнение, получим равенство . Оно является . Значит, точка М. данной прямой. Если возьмем точку К ( .. ; .. ) . Ответ. М ( h К —- Прямая т имеет уравнение 4jc-3i/-1-6 = 0. 1) Точка М, абсцисса которой равна 3, принадлежит данной прямой. Найдите ординату точки М. 81 2) Точка К, ордината которой равна 8, принадлежит данной прямой. Найдите абсциссу точки К. Решение. 1) Подставим абсциссу точки М в уравнение данной прямой. Получим уравнение с одной переменной у: . Решим это уравнение: . Получим у=. Значит, точка М имеет координаты (.. ; ..). 2) . Значит, точка К имеет координаты (. Ответ. 1) . ; 2) . [«!> Найдите координаты точек пересечения с осями координат прямой, которая задана уравнением: 1) Jc-4i/ + 8 = 0; 2) Зле+ 1/-9 = 0; 3) 2лс + Зг/-12 = 0. Решение. 1) Точка пересечения данной прямой с осью ординат имеет абсциссу, равную . (т. е. =0). Подставим в уравнение прямой вместо . число 0. Получим уравнение . Решим его: . , у=. Таким образом, получили, что точка пересечения данной прямой с осью ординат (точка А) имеет координаты: х=. ; у=. Находим вторую точку — точку пересечения прямой с осью абсцисс. Ордината ее равна . (т. е. у=. ). Подставим вместо . число . в уравнение прямой. Получим уравнение . , которое содержит переменную. Решим его: . , х=. Таким образом, получили, что точка пересечения данной прямой с осью абсцисс (точка В) имеет координаты: х— . ; у =. 2) . 82 3) Ответ. 1) А (. 3) А (. .). В (. .), В (. .); 2) А (. .)• .), в (. Координаты (х; у) точки пересечения прямых, заданных уравнениями ajX-l-6ji/-l-c, = 0, а^х + Ь^у + с^— являются решением системы зфавнений a^x + bjy + Cj = 0 а^х + Ь^у + с^ = 0. о. 200 Найдите координаты точки пересечения прямых: 1) х + 3у
2 = 0 и 2х + у-9 = 0; 2) 4х-1-1/-1 = 0 и Зх-2у + 2 = 0; 3) 5х-2у-3 = 0 и Зх + 2у
5 = 0. Решение. 1) Составим систему уравнений, решением которой являются координаты точки пересечения этих прямых: х+Зу-2=0 2х + у-9 = 0. 83 Решим ее, например, способом подстановки. Выразим из первого уравнения переменную х: х=. Подставим полученное выражение во второе уравнение и найдем значение у: . , у =. Находим значение х: . , х=. 2) . 3) Ответ. Точка пересечения прямых имеет координаты: 1) (. ; . ); 2) (. ; . ); 3) (. ; . ). 201 Найдите координаты точки пересечения прямой х — 2у-3 = 0 с прямой, на которой лежат биссектрисы первого и третьего координатных углов. Решение. Координаты каждой точки, расположенной на второй прямой, обладают свойством: абсцисса этой точки . ее ор- динате. Поэтому вторая прямая может быть задана уравнением . =. Теперь составим систему двух уравнений: Решим ее: 84 Ответ. Найдите координаты точки пересечения прямой 2х + у-6 = 0 с прямой, на которой лежат биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Решение. Координаты каждой точки второй прямой обладают свойством: абсолютные величины абсциссы и ординаты их. , а значения х и у отличаются знаками. Поэтому вторая прямая может быть задана уравнением .. =. Теперь составим систему уравнений: Решим ее: Ответ. Определите, как расположены прямые: 1) х-2у-3 = 0 и 2x-t-i/-6 = 0; 2) x
Sy-4 = 0 и Зд: —9i/-t-7 = 0; 3) 2х + 4у — 2 = 0 и -х + 2у + Ъ = 0. Решение. 1) Составим систему зфавнений и решим ее: . Значит, данные прямые Получили, что х=. ; у—. (т. е. имеют одну общую точку). 2) Составим систему уравнений и решим ее: 85 Получили, что система уравнений . Значит, данные прямые не имеют общих точек, т. е. они . 3) Ответ. 1) . ; 2) ; 3) 77. Расположение прямой относительно системы координат 78. Угловой коэффициент в уравнении прямой 79. График линейной функции Если в уравнении прямой ах + Ьу + с = 0)‘. 1) а = 0, f5*0, то прямая параллельна оси абсцисс; 2) Ь = 0, а 5^ О, с 5^0, то прямая параллельна оси ординат; 3) с = 0, то прямая проходит через начало координат. (При с = 0 прямая совпадает с осью абсцисс; при 6 = 0 прямая совпадает с осью ординат.) . У; 1 У) т 1 т О О ах 1 by 1 с — 0 X О X а ^ о, Ь = о, с ^ о 204 Какие координатные оси пересекает прямая, заданная уравнением: 1) 2л:-5у + 4 = 0; 2) Зу-х + 6 = 0; 3) 7х + 3у = 0; 4) 9л:-10 = 0; 5) 4у-8 = 0? Решение. 1) В данном уравнении а^О, Ь^О, с^^О. Следовательно, прямая пересекает координатные оси в двух различных точках. 86 2) 3) В данном уравнении а^О, Ь^О, с = 0. Это значит, что координаты начала координат, т. е. (О; 0) удовлетворяют уравнению. Следовательно, данная прямая пересекает обе координатные оси в их общей точке. 4) В данном уравнении а. 0, Ь. 0, с. 0. Следовательно, данная прямая параллельна оси . и пересекает ось . 5) . 205 «/ii Т 1— н—I—I—h О Постройте в декартовой системе координат прямую, которая задана уравнением: 1) х + 2у
у-0; 3) 2л:-6 = 0; 4) Зг/ + 6 = 0; 5) 2х + у-2 = 0. Решение. 1) Данная прямая пересекает оси координат в двух точках (так как а^О, Ь^О, ci^O). Найдем координаты этих точек. Пусть лг = 0, тогда 2у-4 = 0, . , у=. Значит, первая точка — А ( Найдем координаты второй точки. Пусть у = — . , х =. Значит, вторая точка — В ( Отметим эти точки на рисунке и проведем через них прямую т^. 2) Данная прямая проходит через начало координат (так как..). Найдем координаты второй точки прямой. Пусть . . )• тогда . ). Отметим на рисунке указанную точку и проведем прямую т.^. 3) Данная прямая . оси . (так как о . 0, Ь. о, с.. 0). Найдем координаты одной точки этой прямой, на- пример точки, в которой прямая пересекает ось абсцисс. Ее ордината равна нулю. Вычислим теперь ее абсциссу, используя данное уравнение: . , х=. Отметим на рисунке точку с координатами (. ; 0) и проведем через нее прямую т^, параллельную оси . 4) 87 5) 206!——————————— ____I Составьте уравнение прямых m,, т^, т^, т^, которые изображены на рисунке: 1n^\Ox, то^ЦОл:, mJOy, mjOy. Решение. 1) Все точки прямой имеют равные ординаты: у =. Значит, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению 0-х + г/-2 = 0. (Отметим, что в этом уравнении а = 0, Ь^О, с^О.) Всякое решение этого уравнения, например л: = 5, у —2, задает точку, которая лежит на прямой т,. 2) . У1 1 тз 2 ‘ ‘ -2 О -2- 2 X 3) Все точки прямой имеют равные абсциссы: х=. Значит, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению X—. =0. Значит, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению . (Отметим, что в этом урав- нении 0 5^0, 6 = 0, с 5^0.) Всякое решение этого уравнения, например х=. , у =. , задает точку, которая принадлежит прямой т^. 4) . 88 Ответ. 1) wi,: у-. = О; 2) т^: 3) т^: X-. = 0; 4) т^: О Уравнение прямой с угловым коэффициентом k — это уравнение прямой, записанное в виде y = kx + l. Если прямая проходит через точки А (Xj; г/j) и В (х^; у^), то k = ^’
х^-х, • 1^1 равен тангенсу острого угла, образованного прямой с осью абсцисс; I — ордината точки пересечения прямой с осью ординат. j/i) 1 1 ^ ! 1 1 |ft|= i ‘ 1 = tga . ах + by + с = 0,by — -ах — с При а о У=-^х+(-^) y=kx+l Найдите значения k и I в уравнении y = kx + l, если прямая задана уравнением: 1) Зл:-1-у-4 = 0; 2) Зх-у-5 = 0; 3) 4х + 2у-3 = 0; 4) х-Зу + 6 — 0; 5) л:-г/-1-4 = 0. Решение. 1) Преобразуем данное уравнение так, чтобы в левой его части получить переменную у: у=. В этом уравнении к —.. , 1 =. 2) -г/ = -Здг-4- 5, у=. В этом уравнении к =.. , 1 =.. 3) 2у = — 4х-¥3, у=. В этом уравнении к =.. , 1 =.. 4) . 5) 89 Найдите градусную меру острого угла, который образует с осью абсцисс прямая, заданная уравнением: 1) Вх-у + 2 = 0; 2) -»3л: + 3у-3 = 0; 3) -д:-1-//-4 = 0; 4) 5х
5у + 4 = 0; 5) -2jc + 2’3i/-3 = 0; 6) -х + у = 0. Решение. 1) Преобразуем данное уравнение: -у =
Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
тест по теме «Многоугольники»
тест по геометрии (9 класс) по теме
Тест по теме «Многоугольники» для уроков повторения в 9 классе. Содержит 15 вариантов, 10 — базового уровня, 5 — повышенного. Есть ответы.
Видео:№91. Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другиеСкачать
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| test_mnogougolniki.doc | 281 КБ |
Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах
Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.
Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ
Видео:№366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 смСкачать
Предварительный просмотр:
Из одной вершины десятиугольника провели все возможные диагонали. На какое количество треугольников они разбили данный многоугольник?
1) 9 2) 6 3) 8 4) 10
В равностороннем треугольнике с длиной стороны, равной 18 см, через середину одной из них проведены прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника. Тогда периметр образовавшегося четырехугольника будет равен:
1) 18 см 2) 36 см 3) 48 см 4) 72 см
В ромбе перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.
1) 90°, 90°, 90° и 90° 2) 60°, 60°, 120° и 120°
3) 45°, 45°, 135° и 135° 4) 30°, 30°, 150° и 150°.
В трапеции ABCD (основания АD и ВС) диагональ острого угла А является биссектрисой данного угла. Тогда треугольник ABC является:
1) равнобедренным тупоугольным
2) равнобедренным прямоугольным
Вычислите внешний угол правильного восьмиугольника.
1) 55° 2) 60° 3) 45° 4) 35°
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Сумма градусных мер двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 260°. Найдите градусную меру меньшего из двух других углов этого четырехугольника, если градусная мера большего из них равна 60°.
1) 40° 2) 140° 3) 85° 4) 95°
Углы в параллелограмме ABCD .
Найдите градусную меру угла D.
Периметр прямоугольника равен 28 см, а одна из его сторон меньше другой на 4 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
Из вершины N параллелограмма MNKL провели высоту
NP. Тогда четырехугольник NPLK является
2) равнобедренной трапецией
3) прямоугольной трапецией
Найдите число сторон правильного многоугольника, если его угол равен 140°.
1) 8 2) 9 3) 10 4) 12
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Градусная мера одного из углов выпуклого четырехугольника составляет 25% суммы градусных мер трех других его углов. Найдите градусную меру этого угла данного четырехугольника.
1) 96° 2) 75° 3) 85° 4) 72°
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. С вершинами в данных точках можно построить параллелограммов:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Прямоугольник имеет осей симметрии:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
В прямоугольной трапеции один из углов равен 45°, средняя линия равна 24 см, основания относятся как 3 : 5. Тогда длина меньшей боковой стороны трапеции будет равна:
1) 12 см 2) 6 см 3) 24 см 4) 32 см
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если величина одного из его углов равна 144°?
1) 9 2) 10 3) 12 4) 8
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Все углы выпуклого десятиугольника равны между собой. В этом случае градусная мера каждого из углов десятиугольника равна
1) 80° 2) 144° 3) 60° 4) 105°
Даны 3 точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Параллелограммов с вершинами в этих точках, таких, чтобы отрезок АС был диагональю, можно построить:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Квадрат можно сложить из двух равных треугольников, которые являются:
1) равносторонними 2) прямоугольными
3) равнобедренными 4) равнобедренными прямоугольными
Углы при основании трапеции равны 71° и 34°. Тогда остальные углы трапеции будут равны:
1) 34° и 71° 2) 56°, 19°
3) 105°, 75°; 4) 109°, 146°.
Найдите число сторон правильного многоугольника, если его внешний угол равен 24°
1) 15 2) 10 3) 12 4) 16
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
В выпуклом девятиугольнике соединили отрезками середины каждых двух соседних сторон. Образовался выпуклый многоугольник. Найдите сумму величин его внутренних углов.
1) 720° 2) 360° 3) 1800° 4) 1260°
Укажите неверное высказывание.
- Если в выпуклом четырехугольнике диагональ делит его на два равных треугольника, то он является параллелограммом.
- В параллелограмме диагональ делит его на два равных треугольника.
- Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он является параллелограммом.
- Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Четырехугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является:
4) параллелограммом, не являющимся ромбом, квадратом пли прямоугольником
В равнобедренной трапеции МКРТ из вершины М верхнего основания МК проведена высота МН, при этом точка Н делит нижнее основание TP в отношении ТН : HP = 3 : 8. Найдите длину основания МК, если длина основания TP равна 22 м.
Определите величину каждого угла правильного многоугольника с восемнадцатью сторонами.
1) 156° 2) 164° 3) 150° 4) 160°
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Точку О, лежащую во внутренней области выпуклого девятиугольника, соединили отрезками со всеми его вершинами. Найдите сумму величин внутренних углов всех образовавшихся треугольников с вершиной в точке О.
1) 720° 2) 1620° 3) 1800° 4) 1540°
Укажите верное высказывание.
- В любом параллелограмме диагонали равны.
- В параллелограмме высоты, проведенные из вершины одного угла, равны.
- Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
- Четырехугольник, у которого противоположные углы равны, – параллелограмм.
Периметр квадрата ABCD равен 24 см. Найдите сторону квадрата CD (в сантиметрах).
Прямая, проходящая через вершину тупого угла трапеции, разбивает ее на равносторонний треугольник и ромб. Найдите длину боковой стороны трапеции, если длина ее большего основания равна 16.
Укажите верное утверждение:
- Любой правильный многоугольник является выпуклым.
- Любой выпуклый многоугольник является правильным.
- Многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны.
- Многоугольник является правильным, если все его углы равны.
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Величины углов выпуклого пятиугольника пропорциональны числам 2; 3; 4; 4; 5. Найдите величину большего из углов этого пятиугольника.
1) 80° 2) 145° 3) 235° 4) 150°
Разность двух углов параллелограмма равна 20°. Найдите больший угол параллелограмма.
1) 80 0 2) 100 0 3) 120 0 4) 110 0
Периметр ромба ABCD равен 20 см. Найдите сторону ромба ВС (в сантиметрах).
Больший угол прямоугольной трапеции равен 135 0 . Найдите длину меньшей боковой стороны трапеции, если одно из ее оснований на 8 больше другого.
В окружность радиуса 3 см вписан правильный 12-угольник. Найдите его площадь (в см 2 ).
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Диагональ АC четырехугольника АBCD разбивает его на два равных треугольника так, что углы BАC и DAC равны по 23°, а углы АDC и АBC — по 49°. Определите, какой в этом случае будет четырехугольник АBCD.
1) выпуклый 2) невыпуклый
3) не существует 4) имеет параллельные стороны
Периметр параллелограмма равен 70 см, а стороны относятся как 3 : 4. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
1) 7 см 2) 18 см 3) 15 см 4) 20 см
Ромб, не являющийся квадратом, имеет осей симметрии:
1) 0 2) 1 3) 2 4) 4
В трапеции три стороны равны по 5 см, а большее основание 10 см. Найдите градусную меру наибольшего угла трапеции.
Найдите периметр правильного многоугольника, если длина его стороны равна 2, а градусная мера его внутреннего угла равна 150°.
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Точку О, лежащую во внутренней области выпуклого одиннадцатиугольника, соединили отрезками со всеми его вершинами. Найдите сумму величин внутренних углов всех образовавшихся треугольников с вершиной в точке О.
1) 1080° 2) 1800° 3) 1980° 4) 1540°
Длина одной из сторон параллелограмма составляет 70% от длины другой стороны. Найдите длину меньшей стороны этого параллелограмма, если его полупериметр равен 34 см.
1) 7 см 2) 20 см 3) 12 см 4) 14 см
В прямоугольнике перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей к его сторонам, равны соответственно 3 см и 5 см. Тогда периметр прямоугольника будет равен:
1) 16 см 2) 24 см 3) 48 см 4) 32 см
В трапеции три стороны по 8 см, а больший угол 120 0 . Найдите длину большего основания (в см).
Укажите правильный четырехугольник.
1) Ромб 2) Прямоугольник
3) Квадрат 4) Равнобедренная трапеция
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Величины углов выпуклого шестиугольника пропорциональны числам 1; 2; 3; 4; 4; 4. Найдите величину меньшего из углов этого шестиугольника.
1) 80° 2) 145° 3) 40° 4) 235°
Сумма градусных мер трех углов параллелограмма равна 260 0 . Найдите величину острого угла этого параллелограмма.
1) 50 0 2) 40 0 3) 80 0 4) 60 0
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба ABCD до прямой АВ равно 6,5 см. Найдите длину высоты ромба, проведенной к стороне ВС.
1) 15 см 2) 6,5 см 3) 18 см 4) 13 см
В прямоугольной трапеции АВСD ( ∠ A = 90 0 ) боковая сторона CD в два раза больше стороны АВ. Найдите градусную меру угла С ( ∠ С > ∠ D ).
Найдите периметр правильного многоугольника, если длина его стороны равна 1, а градусная мера его внутреннего угла равна 156°.
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Диагональ MP выпуклого четырехугольника МКРТ перпендикулярна сторонам TP и МК. Острые углы этого четырехугольника равны 32° и 48°. Найдите градусную меру наибольшего угла четырехугольника МКРТ.
В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 10 см. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О и соответственно равны 14 см и 10 см. Найдите периметр треугольника АОВ.
Точка С лежит на стороне КР квадрата КРМТ. Высоты треугольников СКМ и СРТ, проведенные из точки С, равны соответственно 3 и 5. Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
Диагональ BD трапеции АBCD делит трапецию на два равнобедренных треугольника (АВ = AD, CD = BD). Найдите градусную меру угла BAD, если величина угла BDC равна 120°
В окружность вписан правильный 50-угольник. Сумма длин всех его диагоналей, имеющих наименьшую длину, равна 50.
Найдите сторону правильного 25-угольника, вписанного в эту же окружность.
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
В выпуклом пятиугольнике АВСКМ стороны АВ, ВС, AM и МК равны между собой, а сторона СК равна диагоналям АС и АК этого пятиугольника. Найдите градусную меру угла МКС, если величина угла МАВ равна 150°.
В параллелограмме ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Сторона ВС равна 18 см, а диагональ BD — 16 см. Периметр треугольника ВОС равен 38 см. Найдите длину диагонали АС.
Точка М расположена во внутренней области квадрата ABCD так, что расстояния от нее до сторон АВ, ВС и CD пропорциональны соответственно числам 7, 3 и 4, а расстояние от М до прямой AD равно 8 м. Найдите периметр (в м) этого квадрата.
Длины оснований равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Найдите периметр трапеции, если ее диагонали являются биссектрисами ее тупых углов.
Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна . Найдите его большую диагональ.
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Сколько прямых углов может быть в выпуклом четырехугольнике?
1) 0;1;2;4 2) 1; 2; 3; 4 3) 2; 3; 4 4) 0;1;2;3;4
Биссектриса СК угла BCD параллелограмма ABCD делит сторону AD на отрезки АК = 3 и KD = 5. Найдите периметр этого параллелограмма.
Периметр прямоугольника равен 12 см. Найдите сумму расстояний от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон.
Диагонали трапеции АВСD являются биссектрисами ее углов при основании АD. Найдите периметр трапеции (в см), если ее основания равны 12 см и 8 см.
Отношение сторон правильного вписанного шестиугольника и описанного около той же окружности правильного четырехугольника равно.
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Точка М лежит во внутренней области угла ВАС, градусная мера которого равна 64°. Прямая MB перпендикулярна АВ, прямая МС перпендикулярна АС. Найдите градусную меру большего угла четырехугольника АВМС.
О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Периметр треугольника ВОС на 5 больше периметра треугольника COD. Найдите разность длин сторон AD и АВ.
Диагональ квадрата со стороной 2 см служит стороной другого квадрата. Вычислите диагональ второго квадрата (в см).
Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит ее на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Какова площадь этой трапеции, если ее боковая сторона, прилежащая к прямому углу, равна 4?
В окружность вписан правильный 60-угольник. Сумма длин всех его диагоналей, имеющих наименьшую длину, равна 60.
Найдите сторону правильного 30-угольника, вписанного в эту же окружность.
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Укажите число диагоналей выпуклого девятиугольника.
Диагональ АС параллелограмма АВСD перпендикулярна стороне АВ и равна стороне СD. Найдите градусную меру тупого угла этого параллелограмма.
В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно в точках М и N. Найдите градусную меру угла ANB, если угол АМС равен 120 0 .
Средняя линия KN трапеции ABCD пересекает ее диагонали в точках L и М. Найдите длину отрезка ML ( в см), если основания AD и ВС соответственно равны 23 см и 15 см.
Какое наибольшее число общих вершин могут иметь вписанные в одну и ту же окружность правильные 12-угольник и 20-угольник?
Выполнил (а)__________________________ Класс: _____________
Дата: ____ _________201__г.
Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Тесты по русскому языку, итоговый тест для 5 класса, тест «Выразительные средства», уроки по произведениям Воронковой и Чивилихина
Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ. Можно использовать в качестве контрольной работыТест для отработки знаний задания В8Итоговый тест для 5 классаМетодические разработки уроков по произведениям .
Мастер класс «Создание тестов с помощью конструктора тестов RomeXoftMultiTesterSystem 3.3»
Мастер класс «Создание тестов с помощью конструктора тестов RomeXoftMultiTesterSystem 3.3» Ознакомиться педагогов с программой «RomeXoftMultiTesterSystem 3.3” и дать им первоначальные.
Тест по физике_Итоговый тест. Законы электрического тока
Тест по физике для учащихся 8 класса, обучающихся по учебнику А. В. Перышкина. Тема: итоговый — Законы электрического тока. Работа выполнена в программе MyTest.
Тесты. Виды тестов
Важнейший элемент рейтиноговой системы — тестирование. Тесты позволяют в кротчайший срок проверить знания больших групп учащихся, выявить пробелы при изложении учебного материала, применить методы мет.
ЕГЭ английский Тест toefl Тест ielts CAE tests Тесты по аудированию Тесты по чтению Словарный запас Что нужно знать для успешной сдачи ЕГЭ
Тест toeflТест ieltsCAE testsТесты по аудированиюТесты по чтениюСловарный запас Что нужно знать для успешной сдачи ЕГЭЧему бы ни учился человек на протяжении всей своей жизни, его всегда бу.
Тест по повести А.С.Пушкина «Капитанская дочка»,тест по лирике поэтов ХХ века о Великой Отечественной войне и итоговый тест по курсу литературы 8 класса.
Тесты рекомендуются как итоговый контроль.
Урок по технологии. «Блюда из теста. Понятие о разных видах теста. Песочное тесто»
Разработка урока по теме «Блюда из теста. Понятие о разных видах теста. Песочное тесто».
🎬 Видео
3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018Скачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать
Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139Скачать
Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать
35. Геометрия на ЕГЭ по математике. Трапеция.Скачать
Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать
Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать
Задача 6 №27827 ЕГЭ по математике. Урок 96Скачать
Задача, которую боятсяСкачать
Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать
ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать
8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать
