Содержание:
Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
На рисунке 66 изображена трапеция
Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать
Свойства трапеции
Рассмотрим некоторые свойства трапеции.
1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
Так как то (как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично
2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.
Поскольку то Аналогично Следовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник.
Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.
Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 — высота трапеции
Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция Очевидно, что является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.
Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция
Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать
Свойства равнобокой трапеции
Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.
1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Доказательство:
1) Пусть в трапеции Проведем высоты трапеции и из вершин ее тупых углов и (рис. 70). Получили прямоугольник Поэтому
2) (по катету и гипотенузе). Поэтому
3) Также Но поэтому и Следовательно,
2. Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство:
Рассмотрим рисунок 71. (как углы при основании равнобокой трапеции), — общая сторона треугольников и Поэтому (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,
Пример:
— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции с основаниями и (рис. 71). Докажите, что
Доказательство:
(доказано выше). Поэтому По признаку равнобедренного треугольника — равнобедренный. Поэтому Поскольку и то (так как ).
Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.
Доказательство:
1) Пусть в углы при большем основании равны (рис. 70), то есть Проведем высоты и они равны.
2) Тогда (по катету и противолежащему углу). Следовательно, Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.
Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).
В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.
Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Видео:Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать
Свойство средней линии трапеции
Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Рассмотрим свойство средней линии трапеции.
Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство:
Пусть — данная трапеция, — ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что и
1) Проведем луч до его пересечения с лучом Пусть — точка их пересечения. Тогда (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей (как вертикальные), (по условию). Следовательно, (по стороне и двум прилежащим углам), откуда (как соответственные стороны равных треугольников).
2) Поскольку то — средняя линия треугольника Тогда, по свойству средней линии треугольника, а значит, Но так как то
3) Кроме того,
Пример:
Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.
Доказательство:
Пусть — средняя линия трапеции — точка пересечения и — точка пересечения и (рис. 110). Пусть Докажем, что
1) Так как и то, по теореме Фалеса, -середина — середина Поэтому — средняя линия треугольника — средняя линия треугольника
Тогда
2) — средняя линия трапеции, поэтому
3)
Пример:
В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции — 48 см.
Решение:
Пусть — данная трапеция, — ее средняя линия, (рис. 111).
1) Обозначим Тогда
2) (по условию). (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей Поэтому Следовательно, — равнобедренный, у которого (по признаку равнобедренного треугольника). Но (по условию), значит,
3) Учитывая, что получим уравнение: откуда
4) Тогда
То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).
О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Площадь трапеции
- Центральные и вписанные углы
- Углы и расстояния в пространстве
- Подобие треугольников
- Площадь параллелограмма
- Прямоугольник и его свойства
- Ромб и его свойства, определение и примеры
- Квадрат и его свойства
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать
Трапеция. Свойства трапеции
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия –
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Видео:Трапеция. 8 класс.Скачать
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№4 - Трапеция)Скачать
Площадь
или где – средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать
Трапеция
Трапеция — это четырехугольник, у которого только две стороны параллельны,
а две другие стороны нет.
Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать
Элементы трапеции
Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать
На рисунке 1 изображена трапеция MNPQ, с боковыми сторонами MN и PQ, с основаниями NP и MQ, а также со средней линией DF.
В трапеции две параллельные стороны называются основаниями. 0дна из параллельных сторон называется верхним основанием, а другая параллельная сторона называется нижним основанием. Но как определить, какая из параллельных сторон нижнее основание, а какая верхнее основание? Существует несколько способов это определить. Во-первых, как вы уже наверно догадались, нижнее основание расположено внизу трапеции, а верхнее основание расположено вверху трапеции. Во-вторых, верхнее основание меньше чем нижнее основание, и наоборот нижнее основание больше верхнего основания. C помощью этих двух способов вы можете
легко определить какое основание нижнее а какое верхнее. NP || MQ, NP — верхнее основание, MQ — нижнее основание.
Кроме оснований в трапеции, есть еще две не параллельные стороны. В трапеции эти две не параллельные стороны называются боковыми сторонами. Боковые стороны расположены сбоку от верхнего и нижнего оснований. MN и PQ — боковые стороны.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон называется средней линией трапеции. С средней линией трапеции связано несколько важных формул. Например, достаточно знать длину средней трапеции и одну из сторон основания, чтобы найти другое основание. Средняя линия делит две боковые стороны трапеции на две равных части. DF — средняя линия трапеции, MD = DN, QF = FP.
Центром симметрии трапеции называется середина средней линии трапеции. Центр симметрии
является центром вписанной, и центром описанной окружностей.
Видео:8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать
Виды трапеции
Также существует несколько видов трапеции. Это равнобедренная и прямоугольная трапеции.
На рисунке 2 изображена равнобедренная трапеция KLMN, с боковыми сторонами KL и MN, с основаниями LM и KN, а также со средней линией HF.
В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, углы при основаниях равны. KL = MN, ∠LKN = ∠MNK, ∠KLM = ∠NML.
Чтобы найти среднюю линию в равнобедренной трапеции достаточно знать только одну из боковых сторон.
На рисунке 3 изображена прямоугольная трапеция MNKP, с боковыми сторонами MN и KP, с основаниями NK и MP, а также с прямым углом ∠NMP .
В прямоугольной трапеции у одной из боковых сторон есть прямой угол, или же по другом сказать — только одна боковая сторона перпендикулярна одному из оснований.
∠NMP — прямой угол.
🌟 Видео
Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Геометрия 8. Урок 6 - ТрапецияСкачать
8 класс - Геометрия - Параллелограмм и трапеция, их свойства и признакиСкачать
КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать
Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать
Произвольный четырёхугольник | МатематикаСкачать
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 классСкачать