Найдите периметр криволинейного треугольника

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Длина дуги, угол между линиями, площадь области на поверхности

Краткие теоретические сведения

Зная первую квадратичную форму поверхности, мы можем решить три задачи:

2. Найти угол между двумя линиями на поверхности в точке их пересечения:
Если две линии, лежащие на поверхности с первой квадратичной формой $I_1=E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2$, пересекаются в некоторой точке $P$ поверхности и имеют в этой точке направления $(du:dv)$ и $(delta u:delta v)$, то косинус угла между ними определяется по формуле: begin mbox,varphi = displaystylefrac<sqrtcdotsqrt> \ mbox,varphi = displaystylefrac<sqrtcdotsqrt>. end Говорим, что кривая на поверхности $vec=vec(u,v)$ в точке $(u,v)$ имеет направление $(du:dv)$, если вектор $dvec=vec_udu+vec_vdv$ является касательным вектором кривой в этой точке.

3. Найти площадь области $Omega$ на поверхности: begin S = iintlimits_sqrtdu,dv, end где $D$ — прообраз $Omega$ на плоскости $(u,v)$.

Решение задач

Задача 1 (почти Феденко 684)

Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями $v=3u$ на поверхности с первой квадратичной формой begin I_1=du^2+frac19,mbox^2u,dv^2 end между точками $M_1(u_1,v_1)$ и $M_2(u_2,v_2)$.

Решение задачи 1

Задача 2 (почти Феденко 682)

Под каким углом пересекаются линии $$ u+v=a, ,, u-v=a,$$ лежащие на поверхности: begin x=u,mboxv, ,, y=u,mbox,v, ,, z=au. end

Решение задачи 2

Первая квадратичная форма данной поверхности: begin I_1=(1+a^2),du^2+u^2,dv^2. end

Данные линии пересекаются в точке: begin left < beginu+v&=a,\ u-v&=a. end right. quad Rightarrow quad P(u=a,v=0). end

Направления данных линий: begin du+dv=0, ,, delta u-delta v=0,, Rightarrow end begin du = -dv, ,, delta u = delta v. end

Задача 3

Дана поверхность: $$z=axy.$$ Найти углы между координатными линиями.

Решение задачи 3

Координатные линии на данной поверхности задаются уравнениями: $x=x_0$, $y=y_0$. Запишем коэффициенты первой квадратичной формы: begin &E=1+(z_x)^2=1+a^2y^2,\ &F=z_xz_y=a^2xy, \ &G=1+(z_y)^2=1+a^2x^2. end

Направления координатных линий: begin &x=x_0 ,, Rightarrow dx=0,\ &y=y_0 ,, Rightarrow delta y=0. end

Задача 4 (Дополнение к Задаче 3)

Как мы вывели в примере выше, угол между координатными линиями равен

Из формулы следует, что координатная сеть поверхности ортогональна (координатные линии пересекаются под прямым углом), тогда и только тогда, когда $F$=0.

Задача 5 (Феденко 683)

Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника $$ u=pm av^2/2,,, v=1,$$ расположенного на поверхности $$I_1=du^2+(u^2+a^2)dv^2.$$

Вершины треугольника: begin &A(u=0,, v=0),\ &B(u=-frac,, v=1), \ &C(u=frac,, v=1). end

Зная координаты вершин и уравнения сторон, найдем длины дуг, составляющих стороны треугольника $ABC$, и углы между линиями в точках их пересечения, то есть в вершинах треугольника: begin &s_1 = |BC| = a,\ &s_2 = |AC| = frac76 a,\ &s_3 = |BC| = frac76 a,\ &P_=s_1+s_2+s_3=fraca. end begin &mbox,A = 1, ,, mbox,B=mbox,C=frac23. end

Задание №4. Начала интегрального исчисления, простейшие дифференциальные уравнения, основы теории числовых и функциональных рядов

Задание №4. Начала интегрального исчисления, простейшие дифференциальные уравнения, основы теории числовых и функциональных рядов.

I. Вычисление неопределенных интегралов

I.1. Применение основной таблицы интегралов. Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. 8. ;

9. ; 10.

I.2. Замена переменных в неопределенном интеграле. Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ;

14. ; 15. ; 16. .

I.3. Интегрирование по частям. Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10.

I.4. Интегрирование рациональных функций:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12)

I.5. Интегрирование иррациональных функций:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6)

I.6. Интегрирование тригонометрических функций:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10)

I.7. Интегрирование показательных и логарифмических функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

6) ; 7) ; 8)

II. Вычисление определенных интегралов.

II.1. Применение формулы Ньютона-Лейбница:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12)

II.2. Замена переменной в определенном интеграле:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8)

II.3. Средние значения функций.

Вычислить среднее значение функций в заданном сегменте:

1) в сегменте [1;4].

2) в сегменте [1;1,5].

3) и в сегменте [0;π].

4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в сегменте [-1;1]

II.4. Вычисление площадей плоских фигур.

1). Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

2). Окружность разделена параболой на две части. Найти площади обеих частей.

3). Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы и ее хордой, проведенной из фокуса перпендикулярно к действительной оси.

4). Вычислить площадь криволинейной трапеции с основанием [a;b], ограниченной линией .

5) Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией .

II.5. Вычисление длины дуги кривой.

1) Найти длину дуги линии от до .

2) Найти периметр одного из криволинейных треугольников, ограниченных осью абсцисс и линиями и .

3) На циклоиде найти точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отношении 1:3.

II.6. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения.

1) Вычислить площадь поверхности вращения параболы вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абсциссой .

2) Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки синусоиды (от 0 до π) вокруг оси абсцисс.

3) Фигура, ограниченная гиперболой и прямой (h>0), вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.

4) Симметричный параболический сегмент с основанием а и высотой h вращается вокруг основания. Вычислить объем тела вращения, которое при этом получается («лимон Кавальери»).

III. Решение простейших дифференциальных уравнений.

III.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Найти общие решения уравнений:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6)

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

7) ; 8)

III.2. Однородные уравнения.

Найти общие решения уравнений:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) $

6)

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

7) ; 8)

Ш.3. Линейные уравнения 1-го порядка.

Найти общие решения уравнений:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5)

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

6) ; 7)

Ш.4. Уравнения 2-го порядка.

Найти общие решения уравнений:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6)

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

7) ; 8)

Ш.5. Уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Найти общие решения уравнений:

1) ; 2)

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

3) ; 4)

IV. Числовые и функциональные ряды

1) ; 2)

IV.2. Исследовать на сходимость ряды:

1) ; 2) ; 3)

IV.3. Доказать сходимость рядов с помощью признака Даламбера:

1) ; 2) ; 3)

IV.4. Доказать сходимость рядов с помощью признака Коши:

1) ; 2)

IV.5. Абсолютная и условная сходимость рядов. Выяснить, какие из рядов сходятся абсолютно, какие — условно, какие — расходятся:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

IV.6. Определить области сходимости функциональных рядов:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

IV.7. Убедиться, что данные ряды равномерно сходятся на всей оси ОХ:

1) 1+; 2) ; 3)

IV.8. Разложить функции в ряд Тейлора в окрестности указанных точек:

1) в окрестности точки х = 1;

2) в окрестности точки х = 2;

3) в окрестности точки х = 0;

4) в окрестности точки х = 0;

5) в окрестности точки х = 0;

6) в окрестности точки х = 0

Нахождение периметра треугольника: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр треугольника и разберем примеры решения задач.

Формула вычисления периметра

Периметр (P) любого треугольника равняется сумме длин всех его сторон.

P = a + b + c

Периметр равнобедренного треугольника

Равнобедренным называют треугольник, у которого две боковые стороны равны (примем их за b). Сторона a, имеющая отличную от боковых длину, является основанием. Таким образом, периметр можно считать так:

P = a + 2b

Периметр равностороннего треугольника

Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все стороны равны (примем ее за a). Периметр такой фигуры вычисляется так:

P = 3a

Примеры задач

Задание 1
Найдите периметр треугольника, если его стороны равны: 3, 4 и 5 см.

Решение:
Подставляем в формулу известные по условиям задачи величины и получаем:
P = 3 см + 4 см + 5 см = 12 см.

Задание 2
Найдите периметр равнобедренного треугольника, если его основание равняется 10 см, а боковая сторона- 8 см.

Решение:
Как мы знаем, боковые стороны равнобедренного треугольника равны, следовательно:
P = 10 см + 2 ⋅ 8 см = 26 см.