В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):
Примеры: базовые понятия теории поля
Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.
Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline=(3x-y) overline+(6z+5x) overline$
Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля
Поток поля через поверхность
Циркуляция векторного поля
с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).
Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$. $$ overline = (3x-1) overline+ (y-x+z)overline+4z overline, $$ $L$ — контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.
Работа векторного поля
Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.
Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline = xz overline -overline+y overline$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.
Типовой расчет по теории поля
Задание 15. А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского. Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Поток вектора напряженности поля точечного заряда
Напряженность электрического поля точечного заряда Q, находящегося в начале декартовой системы координат, описывается формулой (1.50):
Рис. 1.12. К вычислению потока напряженности поля точечного заряда через сферу
Вычислим поток этого вектора через поверхность сферы радиуса г с центром в начале координат (рис. 1.12). Единичный вектор
перпендикулярен к поверхности сферы в точке Р(г) и направлен наружу. При этом векторный элемент поверхности (1.53) принимает вид
Подставим выражения (1.57) и (1.58) в формулу (1.56). После несложных преобразований получим
Можно доказать, что поток вектора напряженности электрическою поля точечного заряда Q через произвольную замкнутую поверхность S, охватывающую заряд, также равен Q/е0— Если же заряд Q находится
вне поверхности 5, то поток вектора Е через такую поверхность равен нулю. Таким образом, приходим к формуле
Теорема Гаусса
Рассмотрим произвольную систему зарядов Q, и произвольную воображаемую замкнутую поверхность S. Часть зарядов может оказаться вне этой поверхности, а другая часть — внутри. Вычислим поток вектора Е напряженности поля, создаваемого всеми зарядами системы, через поверхность S в направлении внешней нормали. Согласно принципу
суперпозиции полей вектор Е равен сумме напряженностей Е, полей
точечных зарядов Q,. Поэтому поток вектора Е можно представить в виде суммы:
На основании формулы (1.60) можно утверждать, что из всех интегралов, стоящих под знаком суммы в этом выражении, не равны нулю только те, для которых соответствующий заряд Q, расположен внутри S. Каждый из этих интегралов равен Qi/e0• Заменив не равные нулю интегралы на Qi /е0> придем к теореме Гаусса
Согласно этой теореме поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность 5 в направлении внешней нормали равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную е0—
В случае, когда заряд распределен в пространстве непрерывно с объемной плотностью 6 = ?(г), сумма в правой части равенства (1.61) должна быть заменена интегралом (1.40). При этом теорема Гаусса будет иметь вид
где V — часть пространства, заключенная внутри поверхности S.
Теорему Гаусса целесообразно применять только тогда, когда известны направления векторов напряженности электрического поля в исследуемой области пространства.
