Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Задание 3. Найдите площадь четырёхугольника ABCD. Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Разобьем фигуру на три прямоугольных треугольника и один квадрат как это показано на рисунке ниже.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Из рисунка видно, что площади треугольников ABF, BCE и CDH соответственно равны:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

а площадь квадрата FECH равна

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см.

Таким образом, общая площадь фигуры, равна:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 смкв. см.

Видео:Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге. В статье « Нахождение площади треугольник а » я обещал рассмотреть задачи на вычисление площади четырёхугольника, построенного на листе в клетку. Как вы знаете, к четырёхугольникам относятся: прямоугольник , квадрат , параллелограмм , трапеция , ромб , а также произвольный четырёхугольник (выпуклый или вогнутый).

Мы с вами рассмотрим единый подход к решению всех типов таких заданий. Вот примеры рисунков из интересующих нас задач:

Фигуры построенные на листе в клетку (1×1 см)

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Фигуры построенные на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Запомните! Вокруг любого выпуклого четырёхугольника мы можем описать прямоугольник. А далее для решения необходимо воспользоваться всего двумя формулами: площади прямоугольника и площади треугольника.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Около данного четырёхугольника описываем прямоугольник:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх прямоугольных треугольников:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Рассмотрим пример вогнутого четырёхугольника:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Найдите площадь четырёхугольника , изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Также описываем прямоугольник, но здесь ещё строим дополнительный отрезок, соединяющий левый верхний угол прямоугольника с вогнутым углом данного четырёхугольника:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх треугольников:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Если четырёхугольник задан на координатной плоскости, то его легко можно построить на листе в клетку по заданным координатам вершин и применить изложенный выше подход к решению.

Конечно, данный способ нерационален абсолютно для всех задач. Но в вашем арсенале он быть должен, и им владеть необходимо, его удобно использовать во многих задачах

Например, для нахождения представленного четырёхугольника

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

целесообразно воспользоваться формулой площади параллелограмма, где основание будет равно 2, а высота 7. Но и представленным способом её также решать можно .

Напомню формулы площадей фигур, которые необходимо знать:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

На этом всё. Надеюсь, информация была полезной. В будущем рассмотрим с вами задачи на нахождение площади круга, площади части круга и другие, где используются формулы площади круга и окружности. Также есть ещё один интересный приём, который целесообразно использовать для нахождение площади четырёхугольников вида (взяты из прототипов задач):

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см , где и — диагонали.

Получим: Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

Как найти площадь четырехугольника если 1 клетка 1 см

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

💡 Видео

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1смСкачать

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1см

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!

САМОЕ ПОНЯТНОЕ РЕШЕНИЕ. Найдите площадь четырехугольникаСкачать

САМОЕ ПОНЯТНОЕ РЕШЕНИЕ. Найдите площадь четырехугольника

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 7Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 7

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 15Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 15

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 14Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 14

18 ЗАДАНИЕ ОГЭ НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИСкачать

18 ЗАДАНИЕ ОГЭ НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

Как найти площадь фигуры?Скачать

Как найти площадь фигуры?

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумагеСкачать

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге

Задача 3 ЕГЭ по математике. Урок 13Скачать

Задача 3 ЕГЭ по математике. Урок 13

ОГЭ по математике На клетчатой бумаге с размером 1х1 изображен параллелограммСкачать

ОГЭ по математике На клетчатой бумаге с размером 1х1 изображен параллелограмм

Задание 3 ЕГЭ профиль #115Скачать

Задание 3 ЕГЭ профиль #115

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Найдите площадь четырехугольника ... ✘ Школа ПифагораСкачать

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Найдите площадь четырехугольника ... ✘ Школа Пифагора

ОГЭ, математика, задание 18| Треугольник на клетчатой бумагеСкачать

ОГЭ, математика, задание 18| Треугольник на клетчатой бумаге

Площадь фигурыСкачать

Площадь фигуры

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Найдите площадь четырехугольника ... ✘ Школа ПифагораСкачать

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Найдите площадь четырехугольника ... ✘ Школа Пифагора
Поделиться или сохранить к себе: