Соотношение периметра и площади четырехугольника

Четырехугольник формулы

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Четырехугольник – это многоугольник, у которого четыре вершины и четыре стороны. Четырехугольниками являются ромб, прямоугольник, квадрат, параллелограмм и трапеция.

Любой четырехугольник характеризуется сторонами и диагоналями d1 и d2 (см. рисунок). Также при решении задач может понадобиться угол α между диагоналями. Именно эти характеристики используются в формулах четырехугольника при вычислении площади и периметра.

Видео:Соотношение площади и периметра прямоугольника и квадрата 1 часть.Скачать

Соотношение площади и периметра прямоугольника и квадрата 1 часть.

Формула периметра четырехугольника

Периметр P четырехугольника можно получить, зная его стороны:

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Формулы площади четырехугольника

Площадь четырехугольника S можно вычислить, зная его диагонали и угол α между ними:

Поделитесь статьей с одноклассниками «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК формулы площади и периметра».

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Видео:Найти площадь прямоугольника, зная его периметр и отношение соседних сторонСкачать

Найти площадь прямоугольника, зная его периметр и отношение соседних сторон

Изучение зависимостей площадей и периметров в четырехугольниках

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

С понятием периметр и площадь я познакомилась в 3 классе. Э ти важные понятия необходимы человеку на протяжении всей его жизни. Деятельность строителей, инженеров, земледельцев и представителей других профессий немыслима без прочных знаний по этой теме.

Актуальность темы . Понятия «площади» и «периметра» необходимы человеку в окружающей жизни постоянно, например – сделать ремонт в доме или красиво оформить клумбу на даче. И то и другое понятие связывают стороны многоугольников. Знание зависимостей между этими величинами очень важно для современного человека.

Цель проекта: установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практических ситуациях.

Задачи:повторить понятия по теме исследования, а именно: «площадь фигуры» и «периметр фигуры»; провести необходимые исследования и опыты; сделать выводы о зависимости площадей и периметров ; рассмотреть практическое применение полученных результатов.

Определение предмета исследования. Что нужно выяснить:

Как связаны периметры и площади прямоугольников?

Зависит ли площадь прямоугольника от его периметра?

Какой прямоугольник имеет наибольшую площадь при заданном периметре?

Если известен периметр прямоугольника, то нельзя ли однозначно установить его площадь?

Что можно сказать о зависимости площади квадрата от его периметра?

Проблема. Никаких зависимостей связывающих площади и периметры фигур мы пока не изучили.

Вот, самый простой пример, который задает проблему: «Есть два участка земли 80 м на 100 м и 50 м на 160 м. Вроде, площадь одинаковая – 8000 м 2 , а первый участок выгоднее купить, чем второй, забор то на 60 м короче строить». С точки зрения математики, все ясно, а вот логически – странно, периметр это замкнутая воображаемая нить, и то, что внутри нее не должно меняться, как ее не крути. Почему есть разница в периметрах? Так все-таки, есть ли какие-то зависимости, или площадь и периметр никак не зависят друг от друга?

Гипотеза. Предполагаем, что некоторые зависимости существуют. С изменением длины одной из сторон прямоугольника при заданном периметре изменится и площадь этого прямоугольника. Можно даже предположить, что если площадь больше, то периметр больше. Если у одной фигуры больше периметр, чем у второй, то её площадь больше, меньше или по-разному?

Периметр – величина, равная сумме длин всех сторон многоугольника.

Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости.

Свойства площадей нам тоже известны:

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку.

Исследования начнем с простой и хорошо знакомой нам фигуры – прямоугольника.

Заполним таблицу, считая площадь одной клеточки равной 1 см 2

Видео:Соотношение площади и периметра прямоугольника и квадрата 2 часть.Скачать

Соотношение площади и периметра прямоугольника и квадрата 2 часть.

Площади четырехугольников

Соотношение периметра и площади четырехугольникаФормулы для площадей четырехугольников
Соотношение периметра и площади четырехугольникаВывод формул для площадей четырехугольников
Соотношение периметра и площади четырехугольникаВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Как найти площадь и периметр прямоугольника?Скачать

Как найти площадь и периметр прямоугольника?

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Соотношение периметра и площади четырехугольника

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Соотношение периметра и площади четырехугольника

a и b – основания,
h – высота

Соотношение периметра и площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника,
Соотношение периметра и площади четырехугольника

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникСоотношение периметра и площади четырехугольникаS = ab
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
ПараллелограммСоотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
КвадратСоотношение периметра и площади четырехугольникаS = a 2
Соотношение периметра и площади четырехугольникаS = 4r 2
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
РомбСоотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
ТрапецияСоотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольникаS = m h
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
ДельтоидСоотношение периметра и площади четырехугольникаS = ab sin φ
Соотношение периметра и площади четырехугольникаСоотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольникСоотношение периметра и площади четырехугольника
Вписанный четырёхугольникСоотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Соотношение периметра и площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника,
Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Параллелограмм
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Квадрат
Соотношение периметра и площади четырехугольникаS = a 2

где
a – сторона квадрата

Соотношение периметра и площади четырехугольникаS = 4r 2

Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Ромб
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Трапеция
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Дельтоид
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольникаСоотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Соотношение периметра и площади четырехугольника
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Вписанный четырёхугольник
Соотношение периметра и площади четырехугольника
Прямоугольник
Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммСоотношение периметра и площади четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратСоотношение периметра и площади четырехугольника

где
a – сторона квадрата

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбСоотношение периметра и площади четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияСоотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Соотношение периметра и площади четырехугольника

ДельтоидСоотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Произвольный выпуклый четырёхугольникСоотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникСоотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Соотношение периметра и площади четырехугольника

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Соотношение периметра и площади четырехугольника,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Соотношение периметра и площади четырехугольника,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Соотношение периметра и площади четырехугольника

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Соотношение периметра и площади четырехугольника
(рис.6).

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Соотношение периметра и площади четырехугольника,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Соотношение периметра и площади четырехугольника

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

📺 Видео

Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункамСкачать

Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункам

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Как различать периметр и площадь?Скачать

Как различать периметр и площадь?

#2 - Нахождение сторон прямоугольника по известным площади и периметруСкачать

#2 - Нахождение сторон прямоугольника по известным площади и периметру

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)Скачать

№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 44Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 44

КАК БЫСТРО НАЙТИ ПЕРИМЕТР И ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА ?Скачать

КАК БЫСТРО НАЙТИ ПЕРИМЕТР И ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА ?

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика
Поделиться или сохранить к себе: