- Методы решения задач о собственных значениях и векторах матриц
- Постановка задачи
- Метод непосредственного развертывания
- Алгоритм метода непосредственного развертывания
- Метод итераций для нахождения собственных значений и векторов
- Алгоритм метода итераций
- Метод вращений для нахождения собственных значений
- Алгоритм метода вращений
- Математический портал
- Nav view search
- Navigation
- Search
- Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения.
- Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.
- Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.
- Свойства собственных значений
- Степенной метод
- ( QR )-алгоритм
- Задачи
- Задача 1: Нахождение максимального собственного значения степенным методом
- Задача 2: Решение полной задачи на собственные значения
- 🔍 Видео
Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать
Методы решения задач о собственных
значениях и векторах матриц
Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать
Постановка задачи
Пусть [math]A[/math] — действительная числовая квадратная матрица размера [math](ntimes n)[/math] . Ненулевой вектор [math]X= bigl(x_1,ldots,x_nbigr)^T[/math] размера [math](ntimes1)[/math] , удовлетворяющий условию
называется собственным вектором матрицы [math]A[/math] . Число [math]lambda[/math] в равенстве (2.1) называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор [math]X[/math] соответствует (принадлежит) собственному значению [math]lambda[/math] .
Равенство (2.1) равносильно однородной относительно [math]X[/math] системе:
Система (2.2) имеет ненулевое решение для вектора [math]X[/math] (при известном [math]lambda[/math] ) при условии [math]|A-lambda E|=0[/math] . Это равенство есть характеристическое уравнение:
где [math]P_n(lambda)[/math] — характеристический многочлен n-й степени. Корни [math]lambda_1, lambda_2,ldots,lambda_n[/math] характеристического уравнения (2.3) являются собственными (характеристическими) значениями матрицы [math]A[/math] , а соответствующие каждому собственному значению [math]lambda_i,
i=1,ldots,n[/math] , ненулевые векторы [math]X^i[/math] , удовлетворяющие системе
являются собственными векторами.
Требуется найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Поставленная задача часто именуется второй задачей линейной алгебры.
Проблема собственных значений (частот) возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов и других конструкций, характеризующихся малыми смещениями от положения равновесия, а также при анализе устойчивости численных схем. Характеристическое уравнение вместе с его собственными значениями и собственными векторами является основным в теории механических или электрических колебаний на макроскопическом или микроскопическом
уровнях.
Различают полную и частичную проблему собственных значений, когда необходимо найти весь спектр (все собственные значения) и собственные векторы либо часть спектра, например: [math]rho(A)= max_|lambda_i(A)|[/math] и [math]min_|lambda_i(A)|[/math] . Величина [math]rho(A)[/math] называется спектральным радиусом .
1. Если для собственного значения [math]lambda_i[/math] — найден собственный вектор [math]X^i[/math] , то вектор [math]mu X^i[/math] , где [math]mu[/math] — произвольное число, также является собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению [math]lambda_i[/math] .
2. Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; k-кратному корню характеристического уравнения соответствует не более [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.
3. Симметрическая матрица имеет полный спектр [math]lambda_i,
i=overline[/math] , действительных собственных значений; k-кратному корню характеристического уравнения симметрической матрицы соответствует ровно [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.
4. Положительно определенная симметрическая матрица имеет полный спектр действительных положительных собственных значений.
Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать
Метод непосредственного развертывания
Полную проблему собственных значений для матриц невысокого порядка [math](nleqslant10)[/math] можно решить методом непосредственного развертывания. В этом случае будем иметь
Уравнение [math]P_n(lambda)=0[/math] является нелинейным (методы его решения изложены в следующем разделе). Его решение дает [math]n[/math] , вообще говоря, комплексных собственных значений [math]lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n[/math] , при которых [math]P_n(lambda_i)=0
(i=overline)[/math] . Для каждого [math]lambda_i[/math] может быть найдено решение однородной системы [math](A-lambda_iE)X^i=0,
i=overline[/math] . Эти решения [math]X^i[/math] , определенные с точностью до произвольной константы, образуют систему [math]n[/math] , вообще говоря, различных векторов n-мерного пространства. В некоторых задачах несколько этих векторов (или все) могут совпадать.
Видео:Собственные значения и собственные векторыСкачать
Алгоритм метода непосредственного развертывания
1. Для заданной матрицы [math]A[/math] составить характеристическое уравнение (2.5): [math]|A-lambda E|=0[/math] . Для развертывания детерминанта [math]|A-lambda E|[/math] можно использовать различные методы, например метод Крылова, метод Данилевского или другие методы.
2. Решить характеристическое уравнение и найти собственные значения [math]lambda_1, lambda_2, ldots,lambda_n[/math] . Для этого можно применить методы, изложенные далее.
3. Для каждого собственного значения составить систему (2.4):
и найти собственные векторы [math]X^i[/math] .
Замечание. Каждому собственному значению соответствует один или несколько векторов. Поскольку определитель [math]|A-lambda_iE|[/math] системы равен нулю, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: [math]operatorname(A-lambda_iE)=r и в системе имеется ровно [math]r[/math] независимых уравнений, а [math](n-r)[/math] уравнений являются зависимыми. Для нахождения решения системы следует выбрать [math]r[/math] уравнений с [math]r[/math] неизвестными так, чтобы определитель составленной системы был отличен от нуля. Остальные [math](n-r)[/math] неизвестных следует перенести в правую часть и считать параметрами. Придавая параметрам различные значения, можно получить различные решения системы. Для простоты, как правило, попеременно полагают значение одного параметра равным 1, а остальные равными 0.
Пример 2.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]Ain mathbb^[/math] , где [math]A=begin3&-2\-4&1end[/math] .
1. Запишем уравнение (2.5): [math]|A-lambda E|= begin3-lambda&-2\-4& 1-lambda end= lambda^2-4 lambda-5=0[/math] , отсюда получаем характеристическое уравнение [math]P_2(lambda)equiv lambda^2-4 lambda-5=0[/math] .
2. Находим его корни (собственные значения): [math]lambda_1=5,
3. Составим систему [math](A-lambda_iE)X^i=0,
i=1,2[/math] , для каждого собственного
значения и найдем собственные векторы:
Отсюда [math]x_1^1=-x_2^1[/math] . Если [math]x_2^1=mu[/math] , то [math]x_1^1=-mu[/math] . В результате получаем [math]X^1= bigl^T= bigl^T[/math] .
Для [math]lambda_2=-1[/math] имеем
Отсюда [math]x_2^2=2x_1^2[/math] . Если [math]x_1^2=mu[/math] , то [math]x_2^2=2mu[/math] . В результате получаем [math]X^2= bigl^T= bigl^T[/math] , где [math]mu[/math] — произвольное действительное число.
Пример 2.2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A= begin2&-1&1\-1&2&-1\0&0&1end[/math] .
1. Запишем характеристическое уравнение (2.5):
2. Корни характеристического уравнения: [math]lambda_=1[/math] (кратный корень), [math]lambda_3=3[/math] — собственные значения матрицы.
3. Найдем собственные векторы.
Для [math]lambda_=1[/math] запишем систему [math](A-lambda_E)cdot X^=0colon[/math]
Поскольку [math]operatorname(A-lambda_E)=1[/math] , в системе имеется одно независимое уравнение
x_3^=3[/math] , получаем [math]x_1^=1[/math] и собственный вектор [math]X^1= begin1&1&0end^T[/math] .
x_3^=1[/math] , получаем [math]x_1^=-1[/math] и другой собственный вектор [math]X^2= begin-1&0&1end^T[/math] . Заметим, что оба собственных вектора линейно независимы.
Для собственного значения [math]lambda_3=3[/math] запишем систему [math](A-lambda_3E)cdot X^3=0colon[/math]
Поскольку [math]operatorname(A-lambda_3E)=2[/math] , то выбираем два уравнения:
x_1^3=-x_2^3[/math] . Полагая [math]x_2^3=1[/math] , получаем [math]x_1^3=-1[/math] и собственный вектор [math]X^3=begin-1&1&0 end^T[/math] .
Видео:Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать
Метод итераций для нахождения собственных значений и векторов
Для решения частичной проблемы собственных значений и собственных векторов в практических расчетах часто используется метод итераций (степенной метод). На его основе можно определить приближенно собственные значения матрицы [math]A[/math] и спектральный радиус [math]rho(A)= max_bigl|lambda_i(A)bigr|[/math] .
Пусть матрица [math]A[/math] имеет [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов [math]X^i,
i=1,ldots,n[/math] , и собственные значения матрицы [math]A[/math] таковы, что
Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать
Алгоритм метода итераций
1. Выбрать произвольное начальное (нулевое) приближение собственного вектора [math]X^[/math] (второй индекс в скобках здесь и ниже указывает номер приближения, а первый индекс без скобок соответствует номеру собственного значения). Положить [math]k=0[/math] .
lambda_1^= frac<x_i^><x_i^>[/math] , где [math]i[/math] — любой номер [math]1leqslant ileqslant n[/math] , и положить [math]k=1[/math] .
4. Найти [math]lambda_1^= frac<x_i^><x_i^>[/math] , где [math]x_i^, x_i^[/math] — соответствующие координаты векторов [math]X^[/math] и [math]X^[/math] . При этом может быть использована любая координата с номером [math]i,
1leqslant ileqslant n[/math] .
5. Если [math]Delta= bigl|lambda_1^- lambda_1^bigr|leqslant varepsilon[/math] , процесс завершить и положить [math]lambda_1cong lambda_1^[/math] . Если varepsilon»>[math]Delta>varepsilon[/math] , положить [math]k=k+1[/math] и перейти к пункту 3.
1. Процесс последовательных приближений
сходится, т.е. при [math]xtoinfty[/math] вектор [math]X^[/math] стремится к собственному вектору [math]X^1[/math] . Действительно, разложим [math]X^[/math] по всем собственным векторам: [math]textstyle<X^= sumlimits_^ c_iX^i>[/math] . Так как, согласно (2.4), [math]AX^i= lambda_iX^i[/math] , то
При большом [math]k[/math] дроби [math]<left(fracright)!>^k, ldots, <left(fracright)!>^k[/math] малы и поэтому [math]A^kX^= c_1lambda_1^kX^1[/math] , то есть [math]X^to X^1[/math] при [math]ktoinfty[/math] . Одновременно [math]lambda_1= limlimits_ frac<x_^><x_^>[/math] .
2. Вместо применяемой в пункте 4 алгоритма формулы для [math]lambda_1^[/math] можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для разных координат.
3. Метод может использоваться и в случае, если наибольшее по модулю собственное значение матрицы [math]A[/math] является кратным, т.е.
4. При неудачном выборе начального приближения [math]X^[/math] предел отношения [math]frac<x_i^><x_i^>[/math] может не существовать. В этом случае следует задать другое начальное приближение.
5. Рассмотренный итерационный процесс для [math]lambda_1[/math] сходится линейно, с параметром [math]c=frac[/math] и может быть очень медленным. Для его ускорения используется алгоритм Эйткена.
6. Если [math]A=A^T[/math] (матрица [math]A[/math] симметрическая), то сходимость процесса при определении [math]rho(A)[/math] может быть ускорена.
7. Используя [math]lambda_1[/math] , можно определить следующее значение [math]lambda_2[/math] по формуле [math]lambda_2= frac<x_i^- lambda_1 x_i^><x_i^- lambda_1 x_i^>
(i=1,2,ldots,n)[/math] . Эта формула дает грубые значения для [math]lambda_2[/math] , так как значение [math]lambda_1[/math] является приближенным. Если модули всех собственных значений различны, то на основе последней формулы можно вычислять и остальные [math]lambda_j
8. После проведения нескольких итераций рекомендуется «гасить» растущие компоненты получающегося собственного вектора. Это осуществляется нормировкой вектора, например, по формуле [math]frac<X^><|X^|_1>[/math] .
Пример 2.3. Для матрицы [math]A=begin5&1&2\ 1&4&1\ 2&1&3 end[/math] найти спектральный радиус степенным методом с точностью [math]varepsilon=0,,1[/math] .
1. Выбирается начальное приближение собственного вектора [math]X^= begin 1&1&1 end^T[/math] . Положим [math]k=0[/math] .
5. Так как varepsilon»>[math]bigl|lambda_1^- lambda_1^bigr|= 0,!75> varepsilon[/math] , то процесс необходимо продолжить. Результаты вычислений удобно представить в виде табл. 10.10.
Точность по достигнута на четвертой итерации. Таким образом, в качестве приближенного значения [math]lambda_1[/math] берется 6,9559, а в качестве собственного вектора принимается [math]X^1= begin 2838& 1682& 1888end^T[/math] .
Так как собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, то [math]X^1[/math] лучше пронормировать, т.е. поделить все его компоненты на величину нормы. Для рассматриваемого примера получим
Согласно замечаниям, в качестве собственного значения [math]lambda_1[/math] матрицы можно взять не только отношение
а также их среднее арифметическое [math]fracapprox 6,!8581[/math] .
Пример 2.4. Найти максимальное по модулю собственное значение матрицы [math]A=begin2&-1&1\ -1&2&-1\ 0&0&3 end[/math] и соответствующий собственный вектор.
1. Зададим начальное приближение [math]X^= begin1&-1&1 end^T[/math] и [math]varepsilon=0,!0001[/math] .
Выполним расчеты согласно методике (табл. 10.11).
В результате получено собственное значение [math]lambda_1cong 3,!00003[/math] и собственный вектор [math]X^1= begin 88573&-88573&1end^T[/math] или после нормировки
Видео:7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать
Метод вращений для нахождения собственных значений
Метод используется для решения полной проблемы собственных значений симметрической матрицы и основан на преобразовании подобия исходной матрицы [math]Ainmathbb^[/math] с помощью ортогональной матрицы [math]H[/math] .
Напомним, что две матрицы [math]A[/math] и [math]A^[/math] называются подобными ( [math]Asim A^[/math] или [math]A^sim A[/math] ), если [math]A^=H^AH[/math] или [math]A=HA^H^[/math] , где [math]H[/math] — невырожденная матрица.
В методе вращений в качестве [math]H[/math] берется ортогональная матрица, такая, что [math]HH^=H^H=E[/math] , т.е. [math]H^=H^[/math] . В силу свойства ортогонального преобразования евклидова норма исходной матрицы [math]A[/math] не меняется. Для преобразованной матрицы [math]A^[/math] сохраняется ее след и собственные значения [math]lambda_icolon[/math]
[math]operatorname
При реализации метода вращений преобразование подобия применяется к исходной матрице [math]A[/math] многократно:
Формула (2.6) определяет итерационный процесс, где начальное приближение [math]A^=A[/math] . На k-й итерации для некоторого выбираемого при решении задачи недиагонального элемента [math]a_^,
ine j[/math] , определяется ортогональная матрица [math]H^[/math] , приводящая этот элемент [math]a_^[/math] (а также и [math]a_^[/math] ) к нулю. При этом на каждой итерации в качестве [math]a_^[/math] выбирается наибольший по модулю. Матрица [math]H^[/math] называемая матрицей вращения Якоби, зависит от угла [math]varphi^[/math] и имеет вид
В данной ортогональной матрице элементы на главной диагонали единичные, кроме [math]h_^= cosvarphi^[/math] и [math]h_^=cosvarphi^[/math] , а остальные элементы нулевые, за исключением [math]h_^=-sinvarphi^[/math] , [math]h_^=sinvarphi^[/math] ( [math]h_[/math] -элементы матрицы [math]H[/math] ).
Угол поворота [math]varphi^[/math] определяется по формуле
где [math]|2varphi^|leqslant frac,
i ( [math]a_[/math] выбирается в верхней треугольной наддиагональной части матрицы [math]A[/math] ).
В процессе итераций сумма квадратов всех недиагональных элементов [math]sigms(A^)[/math] при возрастании [math]k[/math] уменьшается, так что [math]sigms(A^) . Однако элементы [math]a_^[/math] приведенные к нулю на k-й итерации, на последующей итерации немного возрастают. При [math]ktoinfty[/math] получается монотонно убывающая ограниченная снизу нулем последовательность sigma(A^)> ldots> sigma(A^)>ldots»>[math]sigma(A^)> sigma(A^)> ldots> sigma(A^)>ldots[/math] . Поэтому [math]sigma(A^)to0[/math] при [math]ktoinfty[/math] . Это и означает сходимость метода. При этом [math]A^to Lambda= operatorname(lambda_1,ldots,lambda_n)[/math] .
Замечание. В двумерном пространстве с введенной в нем системой координат [math]Oxy[/math] с ортонормированным базисом [math]<vec,vec>[/math] матрица вращения легко получается из рис. 2.1, где система координат [math]Ox’y'[/math] повернута на угол [math]varphicolon[/math]
Таким образом, для компонент [math]vec,’,, vec,'[/math] будем иметь [math]bigl(vec,’,vec,’bigr)= bigl(vec,vecbigr)cdot! begin cos varphi&-sin varphi\ sin varphi& cos varphiend[/math] . Отсюда следует, что в двумерном пространстве матрица вращения имеет вид [math]H= begin cos varphi&-sin varphi\ sin varphi& cos varphiend[/math] . Отметим, что при [math]n=2[/math] для решения задачи требуется одна итерация.
Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать
Алгоритм метода вращений
1. Положить [math]k=0,
A^=A[/math] и задать 0″>[math]varepsilon>0[/math] .
2. Выделить в верхней треугольной наддиагональной части матрицы [math]A^[/math] максимальный по модулю элемент [math]a_^,
Если [math]|a_^|leqslant varepsilon[/math] для всех [math]ine j[/math] , процесс завершить. Собственные значения определяются по формуле [math]lambda_i(A^)=a_^,
Собственные векторы [math]X^i[/math] находятся как i-e столбцы матрицы, получающейся в результате перемножения:
Если varepsilon»>[math]bigl|a_^bigr|>varepsilon[/math] , процесс продолжается.
3. Найти угол поворота по формуле [math]varphi^= frac operatorname frac<2a_^><a_^-a_^>[/math] .
4. Составить матрицу вращения [math]H^[/math] .
5. Вычислить очередное приближение [math]A^= bigl(H^bigr)^T A^ H^[/math] .Положить [math]k=k+1[/math] и перейти к пункту 2.
1. Используя обозначение [math]overline
_k= frac<2a_^><a_^-a_^>[/math] , можно в пункте 3 алгоритма вычислять элементы матрицы вращения по формулам
2. Контроль правильности выполнения действий по каждому повороту осуществляется путем проверки сохранения следа преобразуемой матрицы.
3. При [math]n=2[/math] для решения задачи требуется одна итерация.
Пример 2.5. Для матрицы [math]A=begin 2&1\1&3 end[/math] методом вращений найти собственные значения и собственные векторы.
1. Положим [math]k=0,
2°. Выше главной диагонали имеется только один элемент [math]a_=a_=1[/math] .
3°. Находим угол поворота матрицы по формуле (2.7), используя в расчетах 11 цифр после запятой в соответствии с заданной точностью:
4°. Сформируем матрицу вращения:
5°. Выполним первую итерацию:
Очевидно, след матрицы с заданной точностью сохраняется, т.е. [math]sum_^a_^= sum_^a_^=5[/math] . Положим [math]k=1[/math] и перейдем к пункту 2.
2. Максимальный по модулю наддиагональный элемент [math]|a_|= 4,!04620781325cdot10^ . Для решения задачи (подчеркнем, что [math]n=2[/math] ) с принятой точностью потребовалась одна итерация, полученную матрицу можно считать диагональной. Найдены следующие собственные значения и собственные векторы:
Пример 2.6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A=begin5&1&2\ 1&4&1\ 2&1&3 end[/math] .
1. Положим [math]k=0,
2°. Выделим максимальный по модулю элемент в наддиагональнои части: [math]a_^=2[/math] . Так как varepsilon=0,!001″>[math]a_=2> varepsilon=0,!001[/math] , то процесс продолжается.
3°. Находим угол поворота:
4°. Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin0,!85065&0&-0,!52573\ 0&1&0\ 0,!52573&0&0,!85065 end[/math] .
5°. Выполним первую итерацию: [math]A^= bigl(H^bigr)^T A^H^= begin 6,!236&1,!376&2,!33cdot10^\ 1,!376&4&0,!325\ 2,!33cdot10^&0,!325&1,!764 end[/math] . Положим [math]k=1[/math] и перейдем к пункту 2.
2(1). Максимальный по модулю наддиагональный элемент [math]a_^=1,!376[/math] . Так как varepsilon=0,!001″>[math]a_^> varepsilon=0,!001[/math] , процесс продолжается.
3(1). Найдем угол поворота:
4(1). Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin 0,!902937&-0,!429770&0\ 0,!429770&0,!902937&0\ 0&0&1 end[/math] .
5(1). Выполним вторую итерацию: [math]A^= bigl(H^bigr)^T A^H^= begin 6,!891& 2,!238cdot10^&0,!14\ 2,!238cdot10^& 3,!345&0,!293\ 0,!14&0,!293&1,!764 end[/math] . Положим [math]k=2[/math] и перейдем к пункту 2.
2(2). Максимальный по модулю наддиагональный элемент varepsilon=0,!001″>[math]a_^=0,!293> varepsilon=0,!001[/math] .
3(2). Найдем угол поворота:
4(2). Сформируем матрицу вращения [math]H^= begin1&0&0\ 0&0,!9842924& -0,!1765460\ 0& 0,!1765460& 0,!9842924end[/math] .
5(2). Выполним третью итерацию и положим [math]k=3[/math] и перейдем к пункту 2:
2(3). Максимальный по модулю наддиагональный элемент varepsilon»>[math]a_^= 0,!138>varepsilon[/math] .
3(3). Найдем угол поворота:
4(3). Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin 0,!999646&0&-0,!026611\ 0&1&0\ 0,!026611&0&0,!999646 end[/math] .
5(3). Выполним четвертую итерацию и положим [math]k=4[/math] и перейдем к пункту 2:
2(4). Так как varepsilon»>[math]a_^=0,!025>varepsilon[/math] , процесс повторяется
3(4). Найдем угол поворота
4(4). Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin 0,!9999744&-0,!0071483&0\ 0,!0071483&0,!9999744&0\ 0&0&1 end[/math] .
5(4). Выполним пятую итерацию и положим [math]k=5[/math] и перейдем к пункту 2:
2(5). Так как наибольший по модулю наддиагональный элемент удовлетворяет условию [math]bigl|-6,!649cdot10^bigr| , процесс завершается.
Собственные значения: [math]lambda_1cong a_^= 6,!895,,
lambda_3cong a_^=1,!707,,[/math] . Для нахождения собственных векторов вычислим
X^3=begin-0,!473\-0,!171\0,!864 end[/math] или после нормировки
Видео:Собственные значения и собственные векторы. ПримерСкачать
Математический портал
Видео:Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператораСкачать
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Векторная алгебра.
- Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения
Видео:Собственные значения матрицыСкачать
Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Пусть число $lambda$ и вектор $xin L, xneq 0$ таковы, что $$Ax=lambda x.qquadqquadqquadqquadqquad(1)$$ Тогда число $lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $lambda.$
В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-lambda E)X=0,,,,, Xneq 0.qquadqquadquadquad (2)$$
Отсюда следует, что число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-lambda E)=0,$ т. е. $lambda$ есть корень многочлена $p(lambda)=det(A-lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).
Примеры.
Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.
Решение.
Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:
$$det(A-lambda E)=begin2-lambda&-1&2\5&-3-lambda&3\-1&0&-2-lambdaend=$$ $$=(2-lambda)(-3-lambda)(-2-lambda)+3+2(-3-lambda)+5(-2-lambda)=$$ $$=-lambda^3-3lambda^2+4lambda+12+3-6-2lambda-10-5lambda=-lambda^3-3lambda^2-3lambda-1=0.$$
Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.
$$lambda^3+3lambda^2+3lambda+1=(lambda^3+1)+3lambda(lambda+1)=$$ $$=(lambda+1)(lambda^2-lambda+1)+3lambda(lambda+1)=(lambda+1)(lambda^2-lambda+1+3lambda)=$$ $$=(lambda+1)(lambda^2+2lambda+1)=(lambda+1)^3=0Rightarrow lambda=-1.$$
Собственный вектор для собственного числа $lambda=-1$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A+E)X=0, Xneq 0$$
Решим однородную систему уравнений:
Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin3&-1&2\5&-2&3\-1&0&-1end$ методом окаймляющих миноров:
Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin3&-1\5&-2end=-6+5=-1neq 0.$
Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.
Выберем в качестве базисного минор $M=begin3&-1\5&-2end=-1neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin3x_1-x_2+2с=0\ 5x_1-2x_2+3с=0endright.Rightarrowleft<begin3x_1-x_2=-2c\5x_1-2x_2=-3cendright.$$
По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$
Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin-c\-c\cend.$
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin-1\-1\1end.$
С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$
Ответ: $lambda=-1;$ $X=cbegin-1\-1\1end, cneq 0.$
Решение.
Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:
$$det(A-lambda E)=begin-lambda&-1&0\1&1-lambda&-2\1&-1&-lambdaend=$$ $$=-lambda(1-lambda)(-lambda)+2-lambda+2lambda=$$ $$=-lambda^3+lambda^2+lambda+2=0.$$
Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.
Собственный вектор для собственного числа $lambda=2$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-2E)X=0, Xneq 0$$
Решим однородную систему уравнений:
Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin-2&-1&0\1&-1&-2\1&-1&-2end$ методом окаймляющих миноров:
Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin-2&-1\1&-1end=2+1=3neq 0.$
Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.
Выберем в качестве базисного минор $M=begin-2&-1\1&-1end=3neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin-2x_1-x_2=0\ x_1-x_2-2с=0endright.Rightarrowleft<begin-2x_1-x_2=0\x_1-x_2=2cendright.$$
По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$
Таким образом, общее решение системы $X(c)=beginfrac\-frac\cend.$
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=beginfrac\-frac\1end.$
С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$ Переобозначив постоянную, $alpha=3c,$ получаем собственный вектор $X=alphabegin2\-4\3end, alphaneq 0.$
Домашнее задание.
Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.
Ответ: $lambda=2;$ $X=c_1begin1\2\0end+c_2begin0\0\1end, $c_1$ и $ c_2$ не равны одновременно нулю.
Видео:Диагональный вид матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. Собственные векторыСкачать
Свойства собственных значений
Рассматриваются проблемы нахождения собственных значений и собственных векторов квадратной вещественной матрицы ( A ). Собственным числом называется число ( lambda ) такое, что для некоторого ненулевого вектора (собственного вектора) ( x ) имеет место равенство: $$ begin tag A x = lambda x end $$
С учетом того, что ищется нетривиальное решение уравнения (1), то $$ begin tag det (A — lambda I) = 0. end $$ Тем самым собственные значения ( lambda ) матрицы ( A ) являются корнями характеристического многочлена ( n )-ой степени (2). Задача отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы сводится к построению характеристического многочлена, отысканию его корней и последующему нахождению нетривиальных решений уравнения (1) для найденных собственных значений.
Квадратная вещественная матрица порядка ( n ) имеет ( n ) собственных значений, при этом каждое собственное значение считается столько раз, какова его кратность как корня характеристического многочлена. Для симметричной матрицы ( A ) собственные значения вещественны, а собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, т.е. ( (x^i , x^j) = 0 ), если ( i ne j ). Отметим также некоторые свойства собственных значений и собственных векторов для сопряженной матрицы ( A^T ): $$ begin tag A^T y = mu y end $$
Для задач (1) и (3) имеем $$ lambda_i = mu_i, quad i = 1, 2, ldots, n, $$ $$ (x^i, y^i) = 0, quad i ne j. $$
Две квадратные матрицы ( A ) и ( B ) одинаковых размеров называются подобными, если существует такая невырожденная матрица ( P ), что ( A = P^ B P ).
Подобные матрицы имеют одни и те же собственные значения, так как из (1) непосредственно следует $$ Bx = lambda z, quad z = P x. $$
Ряд стандартных программ вычисления собственных значений выполняют последовательность преобразования подобия ( P_к ), обладающих тем свойством, что матрицы ( P_k^А P_к ) становятся «более диагональными». Возникает, естественно, вопрос: «Насколько хорошо диагональные элементы матрицы аппроксимируют ее собственные значения?» Любое собственное значение матрицы ( A ) лежит по крайней мере в одном из кругов (круги Гершгорина) $$ |lambda — a_| leq sum_^n |a_|, quad i = 1, 2, ldots, n. $$
Приведем теперь некоторые сведения о возмущении собственных значений при возму- щении элементов матрицы. Помимо (1) рассмотрим задачу $$ begin tag tilde tilde = tilde tilde. end $$
В частности, для симметричной матрицы все коэффициенты перекоса равны единице и оценки устойчивости вычисления собственных значений оптимальны.
Видео:Собственные векторы и собственные значенияСкачать
Степенной метод
Пусть матрица ( A ) диагонализуема, ( P^AP = mathrm(lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n) ), все ее собственные значения простые и $$ |lambda_1| > |lambda_2| > ldots |lambda_n|. $$ Для заданного вектора ( q^ ), имеющего единичную евклидову норму, степенной метод генерирует последовательность векторов ( q^ ) следующим образом
Тем самым при использовании степенного метода находится максимальное по модулю собственное значение матрицы ( A ).
Учитывая, что собственные значения матрицы ( A^ ) есть ( 1/lambda_i ), ( i = 1, 2, ldots, n ), используя последовательности (обратные итерации) $$ y^ = A^ y^k, quad k = 0, 1, ldots $$ находится минимальное по модулю собственное значение матрицы ( A ).
Видео:Квантовая механика 8 - Операторы. Собственные векторы и собственные значения.Скачать
( QR )-алгоритм
Видео:Собственные числа, собственные, присоединенные векторы. Матрица оператора в базисе...Скачать
Задачи
Видео:Собственные значения и собственные вектора матричного оператораСкачать
Задача 1: Нахождение максимального собственного значения степенным методом
Написать программу для нахождения максимального по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора симметричной матрицы с помощью степенного метода. С ее помощью найдите максимальное по модулю собственное значение матрицы Гильберта ( A ), когда $$ a_ = frac , quad i = 1, 2, ldots, n, quad j = 1, 2, ldots, n. $$ при значениях ( n ) от 2 до 10.
Видео:Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10Скачать
Задача 2: Решение полной задачи на собственные значения
Написать программу для вычисления собственных значений трехдиагональной вещественной матрицы ( A ) с использованием метода вращения. Найти собственные числа трехдиагональной матрицы ( A ), для которой $$ a_ = 2,quad a_ = -1-alpha, quad a_ = -1+alpha, quad i = 1,2 ldots, n — 1, $$ $$ a_ = 2, quad a_ = -1 — alpha, quad a_ = -1 + alpha, quad a_ = 2, $$ при различных значениях ( n ) и параметра ( alpha ) (( 0 leq alpha leq 1 )). Сравнить найденные собственные значения с точными.
🔍 Видео
Собственные числа и собственные векторыСкачать
Собственные числа и собственные векторы линейного оператораСкачать
А.7.40 Метод Якоби поиска собственных векторов и значений симметричных матрицСкачать
