Ротор вектора намагниченности в цилиндрических координатах (7 видео)

Запись ротора в виде векторного произведения.

Формально rot Я можно представить в виде векторного произведения оператора пространственного дифференцирования V на вектор Я, т. е. rot Я = = [V Я]. В этом нетрудно убедиться путем непосредственного умножения V на Я:

Содержание

Раскрытие rot Н в виде определителя в декартовой системе.
Выражение проекций ротора в цилиндрической и сферической системах координат.
Принцип непрерывности магнитного потока и запись его в дифференциальной форме.
Ротор вектора намагниченности в цилиндрических координатах
Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах
В цилиндрических координатах или в сферических координатах
Дивергенция в ортогональных координатах
🎦 Видео

Видео:Билет №16 "Теорема о циркуляции и теорема Гаусса для магнитного поля"Скачать

Раскрытие rot Н в виде определителя в декартовой системе.

Ротор любого вектора, используемого в теории электромагнитного поля, можно представить в виде определителя третьего порядка. Так, rot Я в декартовой системе записывают в виде следующего определителя:

Непосредственное раскрытие определителя показывает, что получается выражение (21.5).

Видео:Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Выражение проекций ротора в цилиндрической и сферической системах координат.

Без вывода приведем выражение проекций ротора Н:

в цилиндрической системе координат

в сферической системе координат

Видео:теорема о циркуляцииСкачать

Принцип непрерывности магнитного потока и запись его в дифференциальной форме.

Магнитный поток есть поток вектора магнитной индукции через некоторую поверхность: Ф = в dS.

Индекс S под знаком интеграла свидетельствует о том, что интеграл взят по поверхности S.

Если поверхность замкнута сама на себя (например, поверхность шара), то поток, пронизывающий замкнутую поверхность,

Опыт показывает, что вошедший внутрь любого объема магнитный поток равен магнитному потоку, вышедшему из того же объема. Следовательно. алгебраическая сумма вошедшего в объем и вышедшего из объема потока равна нулю:

Выражение (21.9) представляет собой математическую запись принципа непрерывности магнитного потока.

Разделим обе части (21.9) на объем V, находящийся внутри замкнутой поверхности S’, и найдем предел отношения, когда объем V стремится к нулю:

Соотношение (21.10) можно трактовать как дифференциальную форму принципа непрерывности магнитного потока. Оно пригодно для любой точки магнитного поля. Следовательно, в любой точке этого поля нет ни истока, ни стока линий вектора магнитной индукции. Линии вектора В нигде не прерываются, они представляют собой замкнутые сами на себя линии (окружность — пример замкнутой на себя линии).

Но линии Н в точках, где изменяется J (например, на границах сред с разными цД прерывны. Это следует из (21.10): divH*div(Н +У) = 0. Отсюда divtf*-divj. Сопоставьте с прерывностью линий Е и непрерывностью линий D в электрическом поле

Видео:РоторСкачать

Ротор вектора намагниченности в цилиндрических координатах

Привет. Прошу пояснить каким образом в Maxwell реализуетя постоянный магнит. Выяснил что направление вектора магнитной индукции совпадает с осью X. Создал магнит ввиде цилиндра , но его плоскость вытянута вдоль оси Z. Кроме как создания относительной системы координат верхней грани и последующим ее поворотом, так что бы ось X совпадала с необходимым направлением, ничего не придумал.

Может есть более оптимальный способ и объясните пожалуйста в чем заключается суть поворота оси, в последовательности действий, все сделал «методом тыка». Спасибо.

Цитата

Как вариант, можно ввести направление намагниченности в цилиндрической системе координат.

Не совсем понял ваше предложение, в свойствах материала я нашёл выбор системы координат, но вот как это применить к моему случаю так и не понял. Что бы более конкретно поставить задачу я нарисовал свой ротор.

Надо как то договориться, о чем идет речь. Я видимо чего то не понимаю в логике работы программы. На сколько я понимаю материал можно применить к одному цельному объекту. В данном случае для какого объекта или объектов я должен применять цилиндрическую систему координат?

Ротор сложный состоит из нескольких объектов. Непосредственно металлической болванки и магнитов. Если не привязывать материал к локальной системе координат например торцевой плоскости магнита, и оставить вектор намагниченности привязанным к глобальной системе, то при изменении параметра угла поворота полюс выходит из под вектора намагниченности и картинка не отвечает заданным условиям.

Что бы вектор намагниченности вращался вместе с магнитом, надо создавать для каждого магнита отдельно идентичный материал и привязывать каждый к локальной плоскости каждого магнита. Иного пути я пока не знаю.

Как я понимаю Вас. Создается две системы координат к каждой привязывается два идентичных материала с различным направлением намагниченности в цилиндрической системе координат — от центра к краю и наоборот, намагниченность радиальная. В соответствии с этим, магнитам, «через один», присваивается соответствующий материал с необходимым вектором намагниченности. Но опять же, не решается проблема создания параметра для всего ротора потому, что ротор составной из нескольких объектов. Что делать?

Спасибо, я понял, попробую.

Скажите пожалуйста, как быть с тем, что бы всему ротору присвоить изменяющуюся переменную angle и посчитать момент силы при его вращении- объектов то в составе ротора много? Спасибо.

Видео:Билет №17 "Магнитное поле в веществе"Скачать

Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Дифференциальные уравнения векторных линий Рассмотрим поле вектора Уравнения векторных линий в криволинейных координатах q, q2i g3 имеют вид В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.2. Градиент в ортогональных координатах Пусть скалярное поле. Тогда Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.3. Ротор в ортогональных координатах Рассмотрим векгорное поле и вычислим rot а. Имеем В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.4. Дивергенция в ортогональных координатах Дивергенция div а векторного поля вычисляется по формуле.

В цилиндрических координатах или в сферических координатах

Применяя формулу (7) к единичным векторам получим Вычисление потока в криволинейных координатах Пусть S — часть координатной поверхности , ограниченная координатными линиями Тогда поток вектора через поверхность 5 в направлении вектора ei вычисляется по формуле Аналогично вычисляется поток через часть поверхности д2 = с, а также через часть поверхности д3 = с, где с = const. Пример I.

Найти поток П векторного поля через внешнюю сторону верхней полусферы 5 радиуса R с центром в начале координат. Ч Полусфера S есть часть юординатной поверхности г = const, а именно г = R. На полусфере 5 имеем , причем Учитывая, что в сферических коорои патах по формуле (8) найдем 14.6. Вычисление потенциала в криволинейных координатах Пусть в некоторой области О задано потенциальное векторное поле в области Для нахождения потенциала ) этого векторного поля запишем равенство в следующем виде:

Отсюда следует, что Интегрируя систему дифференциальных уравнений с частными производными (9), найдем искомый потенциал произвольная постоянная. В цилиндрических координатах система (9) принимает вид В сферических координатах система (9) имеет вид Пример 2. Найти потенциал векторного поля, заданного в цилиндрических координа тех Убедимся, что По формуле (5) л о лучим данное поле потенциально.

Искомый потенциал и = и(р, у, г) является решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными производными (см. формулу (10)): Интегрированием по р из первого уравнения находим Дифференцируя соотношение (11) no р и используя второе уравнение, получим или откуда . Таким образом.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференцируя это соотношение no z и используя тре тье уравнение, получим Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Пусть векторное поле определено и непрерывно в области Q изменения ортогональных криволинейных координат 4i, 42, 4з • Так как дифференциал радиус-вектора г любой точки M(qb 42, 43) G П выражается формулой то криволинейный интеграл вектора а(М) по ориентированной гладкой или кусочно-гладкой кривой L СП будет равен В частности, для цилиндрических координат ) будем иметь.

Отсюда по формуле (13) получим Аналогично для сферических координат будем иметь Отсюда по формуле (13) получим Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах.

Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если кривая L замкнута (начальная и конечная точки кривой L совпадают), то циркуляция Ц векторного поля а(М) в криволинейных координатах 4,, q2, 43 вычисляется по формуле (13), а в случае цилиндрических или сферических координат — по формулам (14) или (15) соответственно. Пример 3. Вычислить циркуляцию векторного поля, заданного в цилиндрических координатах по замкнутой кривой L, Координаты данного вектора равны соответственно Контур L представляет собой замкнутую кривую, расположенную в плоскости z = 0 (рис. 43).

Подставляя координаты данного вектора в формулу.(14), получим На кривой L имеем . Искомая циркуляция будет равна 14.8. Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если скалярная функция, то Используя формулы (16) и (17), для оператора Лапласа Д получим следующее выражение В цилиндрических координатах получим В сферических координатах будем иметь Пример 4. Найти все решения уравнения Лапласа Аи = 0, зависящие только от расстояния г.

Так как искомое решение и должно зависеть только от расстояния точки М от начала координат г, т., то уравнение Лапласа Ди = 0 в сферических координатах будет иметь вид Отсюда так что где постоянные. Упражнения Найдите производную скалярного поля в точке по направлению кточке Найдите производную скалярного поля и(х, у, z) в точке Л#о(хо, Уо» *о) по направлению нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси О г: 6.

Найдите производную скалярного поля в точке эллипса + = 1 по направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке. 7. Найдите производную скалярного поля в точке по направлению окружности 8. Найдигеугол между градиентами функции и = arctg | в точках 9. Найдите производную плоского поля и вточке понаправле-нию, задаваемому вектором, лежащим в плоскости хОу и наклоненным под углом | коси Ох. Найдите векторные линии следующих векторных полей: 13.

Найдите векторную линию поля а , проходящую

через точку 14. Найдите векгорную линию поля а, проходящую через точку М(3,4, -1). 15. Вычислите поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом х2 4- у2 = г2 из плоскости 16. Вычислите поток векторного поля к через треугольник ABC с вершинами в точках (нормаль образует с осью Oz острый угол). 17. Вычислите поток векторного поля а = xi + zk через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченную плоскостями z 18.

Вычислите поток векторного поля а = yzi — xj — yk через полную поверхность конуса х2 + у2 = z2, ограниченную плоскостью z Методом введения криволинейных координат на поверхности вычислите поток заданного векгора а через заданную поверхность S: 19. — внешняя сторона цилиндрической поверхности х2 + у2 = 9, ограниченной сферой Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах.

Дивергенция в ортогональных координатах

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах 20. — внешняя сторона части сферы , вырезанная конической поверхностью Вычислите поток векгорного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя). Проверьте результат с помощью формулы Гаусса—Остроградского:

Достраивая подходящим образом заданные незамкнутые поверхности до замкнутых и пользуясь теоремой Гаусса—Остроградского, вычислите потоки векторных полей через указанные поверхности (к замкнутой поверхности берем внешнюю нормаль): Найдите работу силы F при перемещении вдольлинии L от точки М к точке N: Найдите циркуляцию векторного поля а вдоль замкнутого контура L (в направлении, соответствующем возрастанию параметра Вычислите циркуляцию векторного поля а по замкнутому контуру L.

Проверьте результат при помощи формулы Стокса: — линия пересечения плоскости с координатными плоскостями 38. Найдите дивергенцию векторного пол я а = (с, г), где с — постоянный вектор, . 39. При какой функции ip(z) дивергенция векгорного поля а =)k будет равна z? 40. Найдите , где г = 41. Найдите функцию tf>(r), для которой выполняется равенство 42. Какова должна быть функция /(х, z), чтобы ротор векгорного поля совпал с вектором Найдите ротор следующих векторов: Докажите, что следующие векторные поля являются потенциальными, и найдите их потенциалы: Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.