Ромб это четырехугольник у которого две стороны равны (6 видео)

Ромб это четырехугольник у которого две стороны равны

Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 1 изображен ромб ABCD.

Ромб это четырехугольник у которого две стороны равны

Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.

Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.

Содержание

Свойства ромба
Признаки ромба
Что такое ромб: определение, свойства, признаки
Определение ромба
Свойства ромба
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Признаки ромба
Ромб и его свойства, определение и примеры с решением
📹 Видео

Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Свойства ромба

Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:

1. У ромба противолежащие углы равны (( small angle A = angle C, ; angle B = angle D.) )
2. У ромба противолежащие стороны равны (( small AB = DC, ; BC=AD.) )
3. У ромба противолежащие стороны параллельны ( small( AB || DC, ; BC || AD).)
4. У ромба соседние углы дополняют друг друга до 180° ( small ( angle A +angle B=180°, ) ( small angle C + angle D=180°).)
5. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам ( small ( AO = OC, ) ( small BO=OD).)

Ромб имеет также и следующие свойства:

6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (( small AC perp BD.) )
7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (( small angle ABD = angle CBD, ) ( small angle ADB = angle CDB, ) ( small angle DAC = angle BAC, ) ( small angle BCA = angle DCA. ))
8. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
9. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженная на четыре ( small (AC^2+BD^2=4AB^2). )

Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:

Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство. По определению 1, ( small AD = DC ) (Рис.2). Следовательно треугольник ( small DAC ) равнобедренный. Тогда ( small angle DCO = angle DAO. ) Учитывая, что ( small AO = OC ) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники ( small DOA ) и ( small DOC ) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно ( small angle DOC= angle DOA=90°. ) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.

Из равенства треугольников ( small DOA ) и ( small DOC ) также следует, что ( small angle CDO= angle ADO,) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Признаки ромба

Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.

Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла BAD (Рис.4). Тогда ( small angle 1= angle 2 .) У параллелограмма ABCD ( small AB || DC .) Тогда для параллельных прямых AB и DC и секущей AC справедливо равенство ( small angle 1= angle 4 .) (см теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично, для параллельных прямых BC и AD и секущей AC справедливо равенство ( small angle 2= angle 3 .) Так как ( small angle 1= angle 2 ,) то ( small angle 1= angle 2=angle 3= angle 4 .) Из ( small angle 1= angle 3) следует, что треугольник ABC равнобедренный (Признак 2 статьи Равнобедренный треугольник). Тогда AB=BC. У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда AB=BC=CD=DA. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.

Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Видео:В четырехугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.Скачать

Что такое ромб: определение, свойства, признаки

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Определение ромба

Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).

Примечание: квадрат является частным случаем ромба.

Видео:Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Свойства ромба

Свойство 1

Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.

Свойство 2

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.

Свойство 3

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Свойство 4

Сторону ромба a можно найти через его диагонали d₁ и d₂ (согласно теореме Пифагора).

a – гипотенуза любого из 4 прямоугольных треугольников (например, ΔBEC );
половины диагоналей d₁ и d₂ – катеты треугольников.

Свойство 5

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:

Видео:Ромб. 8 класс.Скачать

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:

Его диагонали пересекаются под прямым углом.
Если его диагонали являются биссектрисами его углов.
Две смежные стороны равны (следовательно, все стороны равны).

Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.

Видео:Ромб, признаки. 8 класс.Скачать

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).

Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.

2. У ромба противолежащие углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Периметр ромба

Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:

Пусть и — диагонали ромба (рис. 49), — точка их пересечения. Поскольку и то — медиана равнобедренного треугольника проведенная к основанию Поэтому является также высотой и биссектрисой треугольника

Следовательно, и

Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол а диагональ делит пополам углы и

Пример:

Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть — диагональ ромба а — его высота (рис. 50), = 28°.

1) В

2) Так как делит угол пополам, то

3) Тогда

Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.

Рассмотрим признаки ромба.

Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

1) Пусть — параллелограмм (рис. 48). Так как (по условию) и (по свойству параллелограмма), то Следовательно, — ромб.

2) Пусть (рис. 49). Поскольку (по свойству параллелограмма), то (по двум катетам). Следовательно, По п. 1 этой теоремы — ромб.

3) Диагональ делит пополам угол параллелограмма (рис. 49), то есть Так как — секущая, то (как внутренние накрест лежащие). Следовательно, Поэтому по признаку равнобедренного треугольника — равнобедренный и По п. 1 этой теоремы — ромб.

Пример:

Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник — ромб.

Доказательство:

Пусть (рис. 48).

1) Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то — параллелограмм по признаку параллелограмма.

2) У параллелограмма соседние стороны равны. Поэтому — ромб (по признаку ромба).

Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.

В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Квадрат и его свойства
Трапеция и ее свойства
Площадь трапеции
Центральные и вписанные углы
Четырехугольники и окружность
Параллелограмм, его свойства и признаки
Площадь параллелограмма
Прямоугольник и его свойства

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.