Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, обязательно посмотрите . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.
Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.
*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:
Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.
То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.
27870. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Треугольник BОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть
Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла
Сумма смежных углов равна 180 0 , значит
27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен
Построим ОВ и OD.
По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна
Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна
360 0 – 116 0 = 244 0
По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .
27872. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Построим радиусы АО, OD, OC:
Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .
По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть
27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём
На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».
Далее используя теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:
Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть
27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно
В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:
Далее воспользуемся свойством – известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 0 , значит
27869. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38 0 . Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 0 , угол ABD равен 70 0 . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.
Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких
Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!
- Решение вписанные и описанные четырехугольники для ОГЭ и ЕГЭ методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- Практикум по решению задач по теме»Описанные и вписанные окружности четырехугольника»
- «Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Оставьте свой комментарий
- Подарочные сертификаты
- 💡 Видео
Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
Решение вписанные и описанные четырехугольники для ОГЭ и ЕГЭ
методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему
Предложены решения задач из баннка данных для ОГЭ и ЕГЭ. Удобно использовать для коррекции знаний или для учащихся, пропустивших занятия по подготовке к итоговой атттестации
Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| reshenie_vpis_i_opis_chetyrehugolniki_ege_i_oge_.doc | 386 КБ |
Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах
Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.
Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Предварительный просмотр:
Окружность, вписанная в многоугольни к http://egemaximum.ru/zadachi-7-mnogougolnik-i-okruzhnost/
Задача 1 . Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.
Решение: Радиус вписанной окружности в квадрат – есть половина стороны квадрата. Поэтому r = 8
Задача 2 . Сторона ромба равна 58, острый угол равен 30˚. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
Решение: Пусть точки касания окружности противоположных сторон ромба – E и T. Тогда ET– диаметр окружности (точка пересечения диагоналей О – центр симметрии параллелограмма, значит и ромба).
ET – есть расстояние между противоположными сторонами ромба так же, как и высота ромба (DH).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. Так как угол А равен 30°по условию, то катет HD, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы AD. То есть HD=ET=29. Значит, радиус вписанной окружности есть ET: 2, то есть 14,5. Ответ: 14,5.
Задача 3 . Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.
Решение: Высота трапеции – есть диаметр вписанной окружности в трапецию.
h=2r=2·14, h = 28. Ответ:28
Задача 4. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение: в трапецию вписана окружность, значит BC+AD=AB+CD, что хорошо видно на картинке (равные отрезки помечены согласно свойству отрезков касательных).Итак, BC+AD=32, средняя линия l – есть полусумма оснований, то l =16.
Задача 5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности
Решение: в трапецию вписана окружность, значит BC+AD=AB+CD и P ABCD =80, то AB+CD= P:2 = 40. CD=30 по условию, то AB=10.
Далее, AB=NQ=2r. r =5. Ответ:5
Задача 6. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB=52, CD=53. Найдите периметр четырехугольника.
Решение: Раз в выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность, то AB+CD=BC+AD. P ABCD =2(AB+CD)=2(52+53)=210
Задача 7 . Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84.
Решение: В выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность, значит AB+CD=BC+AD. По условию три стороны четырехугольника относятся как 1:17:23, пусть тогда AD=x;AB=17x; BC=23x. Итого, 24x=17x+CD; 7x=CD;
Наконец, так как по условию периметр четырехугольника равен 84, то 24x=42;
x= 7/4.Очевидно, большая сторона – это BC=23x. BC=23·(7/4) = 40,25.
Задача 8 . Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Решение: Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равна . Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть . Ответ: 6.
Задача 9 . Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен
Решение: Шестиугольник составлен из 6 правильных треугольников. Рассмотрим правильный треугольник AOF: В нем OH = r – медиана и высота, , , тогда , АО=66 Ответ: 66.
Окружность, описанная около многоугольни к http://egemaximum.ru/zadachi-7-mnogougolnik-i-okruzhnost/
Задача 1 . Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 26˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение: Вписанный в окружность угол A опирается на дугу BCD, значит дуга BCD=52° по свойству вписанного угла. Дуга BAD, дополняющая дугу BCD до окружности, равна 360°-52°=308°. Тогда угол Cравен 308°: 2 = 154°. Ответ: 154.
Задача 2. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение: Вписанный угол C опирается на дугу BAD, равную 78˚+136˚=214˚.
Значит сам угол равен 214 : 2 = 107˚. Ответ: 107.
Задача 3 . Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
Решение: Дуги AB,BC,CD,AD в сумме составляют 360˚. Так как градусные меры дуг AB, BC, CD и AD относятся соответственно как 1:2:7:26, то пусть AB=x, BC=2x, CD=7x,AD=26x градусов. Имеем, x+2x+7x+26x=360;36x=360;x=10. Угол A опирается на дугу BD=9x градусов, значит угол A равен 90˚: 2 = 45˚. Ответ: 45 .
Задача 4 . Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38˚, угол CAD равен 33˚. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение : ABC=38˚, значит дуга ADC равна 76˚. CAD=33°, значит дуга DC равна 66°. Тогда дуга AD равна 10°. Стало быть, ABD=5°. Ответ: 5 .
Задача 5 . Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и .
Решение : Радиус R описанной окружности около прямоугольника – половина диагонали. По т. Пифагора: AC= ; тогда R=9. Ответ: 9.
Задача 6 . Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса
Решение : Диагональ BD квадрата – диаметр окружности. Обозначим сторону квадрата за x. Из треугольника ABD по т. Пифагора x 2 +x 2 =( 
) 2 ; 2x 2 =90 2 ·2;
x 2 =90 2 ; x=90; Ответ: 90.
Задача 7 . Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.
Решение : Диагонали прямоугольника – диаметры окружности.
Треугольник ABO – равносторонний, так как O=60°, AO=BO=R. Значит, R=16. Ответ: 16.
Задача 8 . Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение : Раз трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная (AB=CD).
Средняя линия трапеции l есть полусумма оснований (BC+AD)/ 2, при этом l =25. P=2AB+(BC+AD); 60=2AB+50; AB=5; Ответ: 5.
Задача 9 . Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60˚, большее основание равно 82. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Решение : 1) Трапеция, вписанная в окружность, – равнобедренная.
HQ=BC=AB=CD, AH=QD (где H,D – основания высот, опущенных к большему основанию).Из прямоугольного треугольника ABH с углом B в 30˚ AH=0,5AB по свойству катета
против угла в 30˚. Значит, AD=2AH+HQ=AB+HQ=2AB; 2AB=82; AB=41.
2) Окружность описана и вокруг треугольника ABC.Треугольник равнобедренный с углом при вершине в 120˚. Значит, BAC= BCA=30°. Применяем теорему синусов: AB/sin30° =2R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC (и около трапеции ABCD). 41/=2R; R=41; Ответ: 41.
Задача 10 . Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
Решение : Длина высоты трапеции HQ есть сумма длин высот OQ,OH треугольников OBC и OAD.
OQ= =4 (по т. Пифагора из треугольника OQC);
OH= = 3 (по т. Пифагора из треугольника OHD);
Задача 11 . Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 56˚ и 99˚. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение : Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть 180˚ (так как они опираются на дополняющие друг друга дуги до окружности).Если A=99°, то C=180°-99°=81°. Если B=56°, то D=180°-56°=124°. Угол D и есть наибольший. Ответ: 124.
Задача 12 .Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.
Решение: Диаметр описанной окружности около прямоугольника – диагональ прямоугольника. R = BD: 2=2,5. Ответ: 2,5.
Задача 13 . Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.
Решение: AB=BC=. =EF= P: 6 = 108 : 6 =18. Рассмотрим треугольник AOF. Он равносторонний, т.к. AO=OF=R и AOF=60°. Значит, диаметр окружности D есть 2 ·18=36. Ответ: 36.
Задача 14. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72˚. Найдите n.
Решение: Рассмотрим треугольник AОB. Он равнобедренный, так как AO=BO=R.
Значит, A= B и AOB=180°-2 · 72°=36°.Таких равных равнобедренных треугольников у нас n штук, в сумме углы при вершине O этих треугольников дают 360˚.Тогда n=360°/=10. Ответ: 10.
Задача 15 . Около окружности, радиус которой равен ,описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
Решение: Треугольники AOB,BOC и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности.
Из прямоугольного треугольника AOP, (где OP=R, R – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник): sinA=OP/AO; , АО=3 Ответ: 3
Видео:ОГЭ Задание 25 Вписанный четырёхугольникСкачать
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Рабочая программа по элективному курсу по геометрии «Решение планиметрических задач на вписанные и описанные окружности» 9 класс
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в.
ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 классов
Древние греки считали окружность совершеннейшейи «самой круглой» фигурой, И в наше время в некоторыхситуациях, когда хотят дать особую оценку, используют слово «кругл.
Методическая разработка элективного курса «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 класса
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в.
Решение задач на вписанные и описанные многогранники
Решение задач на вписанные и описанные многогранники.
Презентация «Вписанные и описанные конусы». Решение задач
презентация по теме: «Решение задач на вписанные и описанные многогранники (пирамида)
Данная презентация позволяет организавать устную работу на уроке в 11 классе по готовым чертежам.
Презентация «Вписанная и описанная окружности четырехугольника» Геометрия 8 класс Мерзляк
Презентация «Решение задач на тему «Вписанная и описанная окружности четырехугольника» Геометрия 8 класс Мерзляк.
Видео:16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольникиСкачать
Практикум по решению задач по теме»Описанные и вписанные окружности четырехугольника»
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описанные и вписанные окружности четырехугольника
Около трапеции описана окружность.
Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 12, средняя линия равна 2.
Найдите боковую сторону трапеции.
Найдите высоту трапеции, в которою вписана окружность радиуса 20.
Найдите высоту трапеции, в которою вписана окружность радиуса 32.
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 60.
Найдите длину её средней линии.
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 44.
Найдите длину её средней линии.
В четырёхугольнике ABCD вписана окружность, AB = 12, CD = 50.
Найдите периметр четырёхугольника ABCD.
В четырёхугольнике ABCD вписана окружность, AB = 5, CD = 15.
Найдите периметр четырёхугольника ABCD.
В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 56, вписана окружность, AB = 12. Найдите CD.
В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 26, вписана окружность, AB = 5. Найдите CD.
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 8, BC = 10 и CD = 37.
Найдите четвертую сторону четырёхугольника
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 7, BC = 13 и CD = 11.
Найдите четвертую сторону четырёхугольника
Описанные и вписанные окружности четырехугольника
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 953 человека из 79 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 330 человек из 69 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 679 человек из 74 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
- Илюшечкина Елена ВасильевнаНаписать 605 29.12.2020
Номер материала: ДБ-1609881
- 29.12.2020 0
- 29.12.2020 0
- 29.12.2020 0
- 29.12.2020 0
- 29.12.2020 0
- 29.12.2020 0
- 29.12.2020 0
- 29.12.2020 0
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Рособрнадзор не намерен упрощать ЕГЭ в 2022 году из-за пандемии
Время чтения: 1 минута
Во всех педвузах страны появятся технопарки
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
В Липецкой области начинающие педагоги получат 120 тысяч рублей
Время чтения: 0 минут
Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
💡 Видео
Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать
Вписанный четырехугольник.Inscribed quadrilateral.Скачать
Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8Скачать
Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 28-34 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8Скачать
Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 35-40 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8Скачать
#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать
Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8Скачать
8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать
ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕСкачать
Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать
