Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. СВЯЗЬ С УРАВНЕНИЯМИ n-ГО ПОРЯДКА. МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ

Дадим основные определения, связанные с системами линейных дифференциальных уравнений.

1. Если система к дифференциальных уравнений, связывающая независимую переменную х и к функций уДх), . уА(х), разрешена относительно старших производных этих функций yf A) (x), . у[ Рк х), т.е. имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

то она называется канонической, причем число п = р1 + р2 +. + рк называется порядком системы.

Каноническая система (17.33) при рх = р2 = . = pk = 1, т.е. система дифференциальных уравнений 1-го порядка

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

называется нормальной системой порядка п.

  • 2. Решением системы (17.34) на интервале а ^

Пример 17.35. Решить систему уравнений У У7 сведя

ее к одному уравнению второго порядка.

? Выразим у2 из первого уравнения: у2 = 4у <— у[. Подставим это выражение во второе уравнение: (4уху[)’ = -6ух + 3(4^ — у[), откуда получаем для функции у, уравнение второго порядка: у»- 7у[ + 6ух = = 0. Его характеристическое уравнение имеет корни = 1, Х2 = 6. Следовательно, ух = С<е х + С2е 6х .

Теперь находим функцию у2:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Таким образом, общее решение системы имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Задача Коши для системы (17.34) ставится следующим образом: найти решение у^х), . уя(х) системы (17.34), удовлетворяющее начальным условиям

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Определение. Общим решением системы (17.34) называется совокупность функций

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

зависящих от п произвольных постоянных, которые при любых допустимых значениях постоянных Сх, С2, . Сп обращают уравнения системы (17.34) в тождества, и в области, в которой выполнены условия теоремы Коши, из совокупности функции (17.36) можно получить решение любой задачи Коши.

Рассмотрим некоторые методы интегрирования нормальных систем.

Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений является метод исключения неизвестных, который сводит систему уравнений к одному или нескольким дифференциальным уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом. Поясним это на примерах.

Пример 17.36. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(1) = 1, z <1) = -1.

  • ? Выражаем z из первого уравнения системы z = — — + у
  • 2 Vdx )

и подставляем во второе уравнение:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Дифференцируя по х выражения, стоящие в скобках, получаем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение X 2 + 1 = О имеет корни = Х2 = 1. Записываем общее решение у(х) = Схе х + + С2хе х , СХ2 е R. Тогда

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

образует общее решение заданной системы дифференциальных уравнений.

Для нахождения частного решения используем начальные условия у(1) = 1, z(l) = -1. Получаем: 1 = Схе + С2е, -1 = Схе + -С2е. 7 4

Итак, система функций у(х) = Q — jxle* -1 , z(x) = ^

и есть искомое частное решение. ?

Не всякую систему дифференциальных уравнений можно свести к одному уравнению.

Пример 17.37. Показать, что систему дифференциальных уравнений Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

нельзя свести к одному уравнению и найти общее решение этой системы.

  • ? Действительно, подставив во второе уравнение вместо у’ его значение ху, получим два не связанных между собой дифференциальных уравнения, каждое из которых содержит только одну функцию: у’ = ху, z’ = z.
  • 2 /2

Отсюда легко получить общее решение системы, у = Схе и z = С2е х , где Cl5 С2 g R. ?

Другим методом интегрирования систем дифференциальных уравнений является метод выделения интегрируемых комбинаций, т.е. получение из системы (17.34) такого уравнения, которое можно проинтегрировать и получить первый интеграл. Если найдены п независимых первых интегралов системы (17.34), то их совокупность дает общий интеграл.

Пример 17.38. Найти общий интеграл системы дифференциальных уравнений Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

? Умножим обе части второго уравнения системы на е

х и сложим их с соответствующими частями первого уравнения и с тождеством -e

x zY + у’ = 0, откуда e

x z + у = С<. Это первый интеграл системы.

Теперь умножим обе части второго уравнения системы на е

и сложим с равенствами -e

y z— и х’ = 1, получим

y zY + х’ = 0, откуда e

y z + х = С2. Это тоже первый интеграл системы. Так как якобиан системы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

отличен от нуля (проверьте!), то оба первых интеграла независимы между собой, поэтому их совокупность неявно определяет общее решение заданной системы уравнений. ?

Для выделения интегрируемых комбинаций из системы (17.34) удобнее записать ее в так называемой симметрической форме: Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

и использовать следующие свойства равных дробей: если —- = — =

= . = — = у, то при любых ocj, ос2, ап имеет место соотношение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Числа оц, ос2, . аи подбираются обычно таким образом, чтобы числитель в (17.38) был полным дифференциалом знаменателя или же был равен нулю.

В соотношении (17.38) независимая переменная и искомая функции равноправны.

Пример 17.39. Найти общее решение системы уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

? Запишем систему в симметрической форме:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

и воспользуемся соотношением (17.38). Выбираем ocj = т, а2 = п и а3 = /, тогда

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

т.е. d(mx + пу + lz) = 0, откуда

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Аналогичным образом, выбирая = 2х, а2 = 2у и а3 = 2z, приходим к равенству d(x 2 + у 2 + z 2 ) = 0, откуда

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Соотношения (17.39) и (17.40) образуют два первых интеграла системы, неявно определяющих общее решение. ?

Рассмотрим подробнее линейные однородные системы дифференциальных уравнений.

Нормальная линейная однородная система п -го порядка имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

или в матричной форме Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыгде

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

В области непрерывности коэффициентов a^t), (i,j = 1, 2,п), система (17.42) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Фундаментальной системой решений системы (17.41) называется совокупность произвольных п линейно независимых решений

Если Xk(t), (к = 1,2. п), — фундаментальная система решений

системы (17.41), то общее решение имеет вид X(t) = ^CkXk(t), где

Интегрирование системы (17.41) обычно проводится методом исключения.

В частном случае систем с постоянными коэффициентами, когда матрица A(t) в правой части (17.42) не зависит от t, для отыскания фундаментальной системы решений системы Xk(t), (к = 1, 2, . п) могут быть использованы методы линейной алгебры.

Из характеристического уравнения

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

находятся различные корни Х2, ks и для всякого числа А, (с учетом его кратности) определяются соответствующие ему частные линейно независимые решения X^ ). Общее решение системы (17.42) имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

При этом возможны следующие случаи.

Случай 1.Х — действительный корень кратности 1. Тогда ему соответствует решение Сме х ‘, где С — произвольная постоянная, о — собственный вектор матрицы А, соответствующий числу X.

Пример 17.40. Найти общее решение системы 1 = , соответствующий Х <= 5, определя-

ется из условия Ах>, = или = .Получаем

собственный вектор = f^l и соответствующее корню Х <= 5

частное решение имеет вид X^ l ) = 1 e 5t .

Аналогично для Х2 = -1 находим собственный вектор п2 = J

и соответствующее частное решение X^(t) = е ч . Общее решение исходной системы имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Случай 2.Х — комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характеристического уравнения (17.42) является также и сопряженное с X число X. Вместо комплексных частных решений X^ )

и X^ x ) следует взять действительные частные решения X[ x *(t) = = ReX (X) (t) иХ$ Х) (0 = lmX (X) (t).

Пример 17.41. Найти общее решение системы ,

  • 1-Х 1 2
  • ? Характеристическое уравнение = 0, или X -4Х +
  • —2 3 — Л,

+ 5 = 0, имеет комплексно сопряженные корни Хх2 = 2 ± /.

Для нахождения собственного вектора v = , соответству-

ющего корню X = 2 +i, получаем систему 1 «i

Используя равенство е (2+,)/ = e 2t+lt = e 2t (cost + /sin/), запишем Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыОтсюда пара действительных решений имеет вид:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Окончательно получаем общее решение: Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Случай 3. Если для кратного корня X кратности к имеется столько линейно независимых собственных векторов )1? . г»*, какова его кратность, то ему соответствует решение +. + Скх>ке ь .

Если же для кратного корня X кратности к имеется только т линейно независимых собственных векторов, и т 2t :

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /, получаем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Итак, общее решение исходной системы имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Описанный метод нахождения решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений (17.41) носит название метод собственных векторов.

Пример 17.43. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

удовлетворяющее начальному условию х(0) = 0, у(0) = 1, z(0) = -2.

  • -Х -1 1
  • ? Характеристическое уравнение 1 1 — X -1=0 имеет
  • 2 -1 -X

Для корня Х <= 1 из матричного уравнения (А — Xl?)vl = О нахо-

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

Решение систем дифференциальных уравнений

К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторывыражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.

Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыаргумента t, назовем канонической систему вида

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Если Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыв (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыуравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.

Например, одно уравнение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

является мастным случаем канонической системы. Положив Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыв силу исходного уравнения будем иметь

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

В результате получаем нормальную систему уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

эквивалентную исходному уравнению.

Определение:

Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

дифференцируемых на интервале а Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

и пусть функции Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыопределены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыЕсли существует окрестность Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыточки Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыв которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыто найдется интервал Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыизменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Определение:

Система n функций

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

зависящих от t и n произвольных постоянных Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыназывается общим решением нормальной системы (3) в некоторой области Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторысуществования и единственности решения задачи Коши, если

1) при любых допустимых значениях Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторысистема функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,

2) в области Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыфункции (6) решают любую задачу Коши.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыназываются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыРешение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

системы (7), принимающее при Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторызначения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыопределяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыЭта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы(рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыЭту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторысистемы (7), принимающее при t = to начальные значения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыизображается кривой АВ, проходящей через точку Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы(рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.

Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Метод исключения

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Введя новые функции Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторызаменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Делается это так. Пусть имеем нормальную систему

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Заменяя в правой части производные Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыих выражениями Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыполучим

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Продолжая этот процесс, найдем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Предположим, что определитель

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

(якобиан системы функций Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыотличен от нуля при рассматриваемых значениях Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

будет разрешима относительно неизвестных Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыПри этом Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторывыразятся через Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Внося найденные выражения в уравнение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

получим одно уравнение n-го порядка

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Из самого способа его построения следует, что если Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыесть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).

Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыи подставим найденные значения как известные функции

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

от t в систему уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

По предположению эту систему можно разрешить относительно Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыт. е найти Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыкак функции от t.

Можно показать, что так построенная система функций

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:

Требуется проинтегрировать систему

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Дифференцируя первое уравнение системы, имеем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

откуда, используя второе уравнение, получаем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

В силу первого уравнения системы находим функцию

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.

Функции x(t), y(t) можно представить в виде

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыи с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.

При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.

Замечание:

Может оказаться, что функции Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторынельзя выразить через Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыТогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.

Пример:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Мы нашли два конечных уравнения

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

из которых легко определяется общее решение системы:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыТакое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыне равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.

Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыотличен от нуля:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

определяются все неизвестные функции Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

или, в матричной форме,

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Теорема:

Если все функции Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторынепрерывны на отрезке Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыто в достаточно малой окрестности каждой точки Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыгде Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторывыполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).

Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыи их частные производные по Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Введем линейный оператор

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Тогда система (2) запишется в виде

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Если матрица F — нулевая, т. е. Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторына интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема:

Если X(t) является решением линейной однородной системы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

двух решений Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыоднородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Следствие:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

с произвольными постоянными коэффициентами сi решений Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторылинейной однородной системы дифференциальных уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

является решением той же системы.

Теорема:

Если Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыесть решение линейной неоднородной системы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

будет решением неоднородной системы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Действительно, по условию,

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Пользуясь свойством аддитивности оператора Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыполучаем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Это означает, что сумма Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыесть решение неоднородной системы уравнений Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Определение:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

называются линейно зависимыми на интервале a Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

при Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыпричем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыто векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыназываются линейно независимыми на (а, b).

Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

называется определителем Вронского системы векторов Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Определение:

Пусть имеем линейную однородную систему

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыматрица с элементами Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыСистема n решений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

с непрерывными на отрезке Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыкоэффициентами Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыявляется линейная комбинация п линейно независимых на интервале а Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

(Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы) — произвольные постоянные числа).

Пример:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

имеет, как нетрудно проверить, решения

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Общее решение системы имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

(с1, с2 — произвольные постоянные).

Фундаментальная матрица

Квадратная матрица

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

столбцами которой являются линейно независимые решения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторысистемы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Матрица Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыназывается матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Теорема:

О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторылинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

с непрерывными на отрезке Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыкоэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторынеоднородной системы (2):

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Метод вариации постоянных

Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

есть общее решение однородной системы (6), тогда

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

причем решения Xk(t) линейно независимы.

Будем искать частное решение неоднородной системы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторынеизвестные функции от t. Дифференцируя Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыпо t, имеем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Подставляя Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыв (2), получаем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

то для определения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыполучаем систему

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

или, в развернутом виде,

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыопределителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы. Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы— известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Подставляя эти значения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыв (9), находим частное решение системы (2)

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

(здесь под символом Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыпонимается одна из первообразных для функции Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

в которой все коэффициенты Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы— постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.

Метод Эйлера

Будем искать решение системы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы— постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыи перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыимела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыстепени n. Из этого уравнения определяются те значения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы, при которых система (3) имеет нетривиальные решения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы. Если все корни Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыхарактеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыэтой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыпроизвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Ищем решение в виде

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

имеет корни Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Подставляя в (*) Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыполучаем

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

откуда а21 = а11. Следовательно,

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Полагая в Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторынаходим a22 = — a12, поэтому

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Общее решение данной системы:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Матричный метод

Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыматрица с постоянными действительными элементами Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыназывается собственным вектором матрицы А, если

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Число Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыназывается собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где I — единичная матрица.

Будем предполагать, что все собственные значения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыматрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыматрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.

Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыматрица, элементы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыкоторой суть функции аргумента t, определенные на множестве Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы. Матрица В(t) называется непрерывной на Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы, если непрерывны на Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторывсе ее элементы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы. Матрица В(t) называется дифференцируемой на Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы, если дифференцируемы на Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторывсе элементы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыэтой матрицы. При этом производной матрицы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыназывается матрица, элементами которой являются производные Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыу соответствующих элементов матрицы В(t).

Пусть B(t) — n х n-матрица,

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

В частности, если В — постоянная матрица, то

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

так как Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыесть нуль-матрица.

Теорема:

Если собственные значения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыматрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыпроизвольные постоянные числа.

Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Умножая обе части последнего соотношения слева на Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыи учитывая, что Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыпридем к системе

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Здесь Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы— произвольные постоянные числа.

Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

решение Y(t) можно представить в виде

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторысобственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:

1) находим собственные значения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыматрицы как корни алгебраического уравнения

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;

3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).

Пример:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Матрица А системы имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

1) Составляем характеристическое уравнение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Корни характеристического уравнения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

2) Находим собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Для Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы= 4 получаем систему

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

откуда g11 = g12, так что

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Аналогично для Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы= 1 находим

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторысистемы (7) действительные, то характеристическое уравнение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыоно будет иметь и корень Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы*, комплексно сопряженный с Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы. Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы, то Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы* — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.

При комплексном Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторырешение

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

системы (7) также будет комплексным. Действительная часть

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы* будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы. Таким образом, паре Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы, Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы* комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.

Пусть Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы— действительные собственные значения, Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторыРешение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы— комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где сi — произвольные постоянные.

Пример:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

1) Характеристическое уравнение системы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Его корни Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

2) Собственные векторы матриц

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

3) Решение системы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где а1, а2 — произвольные комплексные постоянные.

Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Следовательно, всякое действительное решение системы имеет

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

где с1, с2 — произвольные действительные числа.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Понятие о системах дифференциальных уравнений

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы Решение системы дифференциальных уравнений через собственные векторы

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Системы дифференциальных уравнений

Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 — некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x ( t ) и y ( t ) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x ( t ) из 1 -го уравнения:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t — b 2 y — c 2

Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t :

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 — b 2 d y d t

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 — b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t — b 2 y — c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 — ( a 1 + b 2 ) · d y d t + ( a 1 · b 2 — a 2 · b 1 ) · y = a 2 · c 1 — a 1 · c 2

Так мы исключили неизвестную функцию x ( t ) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y ( t ) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x ( t ) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x — 1 d y d t = x + 2 y — 3

Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x :

x = d y d t — 2 y + 3

Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t : d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 — 2 d y d t

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:

d x d t = x — 1 d 2 y d t 2 — 2 d y d t = d y d t — 2 y + 3 — 1 d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y ( t ) .

Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 — 3 k + 2 = 0 :

D = 3 2 — 4 · 2 = 1 k 1 = 3 — 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y

d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y

= A , где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y

= 2 :
d 2 ( A ) d t 2 — 3 d ( A ) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Таким образом, y

= 1 и y ( t ) = y 0 + y

= C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x ( t ) :
d ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) d t = x + 2 · ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) — 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t — 1 x = — C 1 · e t + 1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x ( t ) = — C 1 · e t + 1 .

Ответ: x ( t ) = — C 1 · e t + 1 y ( t ) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1

🌟 Видео

ОДУ. 4 Системы дифференциальных уравненийСкачать

ОДУ. 4 Системы дифференциальных уравнений

ДУ Линейные системыСкачать

ДУ Линейные системы

Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные значения и собственные векторы

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"

Видеоурок "Системы диф. уравнений. Метод Эйлера"Скачать

Видеоурок "Системы диф. уравнений. Метод Эйлера"

Денисов А. М. - Дифференциальные уравнения. Лекции - Лекция 14Скачать

Денисов А. М. - Дифференциальные уравнения. Лекции - Лекция 14

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Системы дифференциальных уравненийСкачать

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Системы дифференциальных уравнений

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Решение систем уравненийСкачать

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Решение систем уравнений

Система дифференциальных уравнений. Операционный методСкачать

Система дифференциальных уравнений. Операционный метод

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Лекция 4Скачать

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Лекция 4

Система дифференциальных уравнений векторная формаСкачать

Система дифференциальных уравнений векторная форма

Системы дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

Системы дифференциальных уравнений. Часть 2
Поделиться или сохранить к себе: