Как доказать теорему описанной окружности

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Как доказать теорему описанной окружности

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Как доказать теорему описанной окружностиАВС.

Доказать: около Как доказать теорему описанной окружностиАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Как доказать теорему описанной окружностиАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Как доказать теорему описанной окружности

Точка О равноудалена от вершин Как доказать теорему описанной окружностиАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Как доказать теорему описанной окружностиАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Как доказать теорему описанной окружности

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Как доказать теорему описанной окружности

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Как доказать теорему описанной окружностиВ = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиАDС, Как доказать теорему описанной окружностиD = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиАВС, откуда следует Как доказать теорему описанной окружностиВ + Как доказать теорему описанной окружностиD = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиАDС + Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиАВС = Как доказать теорему описанной окружности(Как доказать теорему описанной окружностиАDС + Как доказать теорему описанной окружностиАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Как доказать теорему описанной окружностиАDС + Как доказать теорему описанной окружностиАВС = 360 0 , тогда Как доказать теорему описанной окружностиВ + Как доказать теорему описанной окружностиD = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружности360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Как доказать теорему описанной окружностиBАD + Как доказать теорему описанной окружностиBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Как доказать теорему описанной окружности

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Как доказать теорему описанной окружности

Как доказать теорему описанной окружностиВСDвнешний угол Как доказать теорему описанной окружностиСFD, следовательно, Как доказать теорему описанной окружностиBСD = Как доказать теорему описанной окружностиВFD + Как доказать теорему описанной окружностиFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Как доказать теорему описанной окружностиВFD = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиВАD и Как доказать теорему описанной окружностиFDE = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Как доказать теорему описанной окружностиBСD = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиВАD + Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиЕF = Как доказать теорему описанной окружности(Как доказать теорему описанной окружностиВАD + Как доказать теорему описанной окружностиЕF), следовательно, Как доказать теорему описанной окружностиВСDКак доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиВАD.

Как доказать теорему описанной окружностиBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Как доказать теорему описанной окружностиBАD = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиВЕD, тогда Как доказать теорему описанной окружностиBАD + Как доказать теорему описанной окружностиBСDКак доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружности(Как доказать теорему описанной окружностиВЕD + Как доказать теорему описанной окружностиВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Как доказать теорему описанной окружностиВЕD + Как доказать теорему описанной окружностиВАD = 360 0 , тогда Как доказать теорему описанной окружностиBАD + Как доказать теорему описанной окружностиBСDКак доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружности360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Как доказать теорему описанной окружностиBАD + Как доказать теорему описанной окружностиBСDКак доказать теорему описанной окружности180 0 . Но это противоречит условию Как доказать теорему описанной окружностиBАD + Как доказать теорему описанной окружностиBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Как доказать теорему описанной окружности

По теореме о сумме углов треугольника в Как доказать теорему описанной окружностиВСF: Как доказать теорему описанной окружностиС + Как доказать теорему описанной окружностиВ + Как доказать теорему описанной окружностиF = 180 0 , откуда Как доказать теорему описанной окружностиС = 180 0 — ( Как доказать теорему описанной окружностиВ + Как доказать теорему описанной окружностиF). (2)

Как доказать теорему описанной окружностиВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Как доказать теорему описанной окружностиВ = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиЕF. (3)

Как доказать теорему описанной окружностиF и Как доказать теорему описанной окружностиВFD смежные, поэтому Как доказать теорему описанной окружностиF + Как доказать теорему описанной окружностиВFD = 180 0 , откуда Как доказать теорему описанной окружностиF = 180 0 — Как доказать теорему описанной окружностиВFD = 180 0 — Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Как доказать теорему описанной окружностиС = 180 0 — (Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиЕF + 180 0 — Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиВАD) = 180 0 — Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиЕF — 180 0 + Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиВАD = Как доказать теорему описанной окружности(Как доказать теорему описанной окружностиВАDКак доказать теорему описанной окружностиЕF), следовательно, Как доказать теорему описанной окружностиСКак доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиВАD.

Как доказать теорему описанной окружностиА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Как доказать теорему описанной окружностиА = Как доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружностиВЕD, тогда Как доказать теорему описанной окружностиА + Как доказать теорему описанной окружностиСКак доказать теорему описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружности(Как доказать теорему описанной окружностиВЕD + Как доказать теорему описанной окружностиВАD). Но это противоречит условию Как доказать теорему описанной окружностиА + Как доказать теорему описанной окружностиС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов. Доказательство.Скачать

Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов.  Доказательство.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Как доказать теорему описанной окружностиСерединный перпендикуляр к отрезку
Как доказать теорему описанной окружностиОкружность описанная около треугольника
Как доказать теорему описанной окружностиСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Как доказать теорему описанной окружностиДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Как доказать теорему описанной окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Как доказать теорему описанной окружности

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Как доказать теорему описанной окружности

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Как доказать теорему описанной окружности

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Как доказать теорему описанной окружности

Как доказать теорему описанной окружности

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Как доказать теорему описанной окружности

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Как доказать теорему описанной окружности

Как доказать теорему описанной окружности

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Как доказать теорему описанной окружности

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как доказать теорему описанной окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как доказать теорему описанной окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Как доказать теорему описанной окружностиВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаКак доказать теорему описанной окружностиОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак доказать теорему описанной окружностиЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак доказать теорему описанной окружностиЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовКак доказать теорему описанной окружности
Площадь треугольникаКак доказать теорему описанной окружности
Радиус описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружности
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Как доказать теорему описанной окружности

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаКак доказать теорему описанной окружности

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиКак доказать теорему описанной окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак доказать теорему описанной окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак доказать теорему описанной окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовКак доказать теорему описанной окружности

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как доказать теорему описанной окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаКак доказать теорему описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиКак доказать теорему описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как доказать теорему описанной окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Edu: Сколькими способами можно доказать теорему Пифагора?Скачать

Edu: Сколькими способами можно доказать теорему Пифагора?

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Как доказать теорему описанной окружности

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Как доказать теорему описанной окружности

Как доказать теорему описанной окружности.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Как доказать теорему описанной окружности

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, описанная около треугольника

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Как доказать теорему описанной окружности

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Как доказать теорему описанной окружности

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Как доказать теорему описанной окружности

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Как доказать теорему описанной окружности

🎥 Видео

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока!Скачать

Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока!

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

#233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать

#233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностей

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Наглядное доказательство теоремы ПифагораСкачать

Наглядное доказательство теоремы Пифагора

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #Shorts

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)
Поделиться или сохранить к себе: