В треугольнике abc a 60 радиус окружности вписанной (3 видео)

В треугольнике ABC ∠A = 60°. Радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 1 см. Найдите расстояние от точки касания окружности

Содержание

Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
Треугольник вписанный в окружность
Определение
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус описанной окружности около треугольника
Площадь треугольника
Периметр треугольника
Сторона треугольника
Средняя линия треугольника
Высота треугольника
Свойства
Доказательство
16. Планиметрия
📹 Видео

Видео:Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружностиСкачать

Ваш ответ

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

решение вопроса

Видео:Геометрия В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касаетсяСкачать

Треугольник вписанный в окружность

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Видео:Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147Скачать

16. Планиметрия

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

В треугольнике ABC угол ABC равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

а) Проведем радиусы $OHperp BC$ и $OMperp AC$ с длинной $R.$ Так как центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис, то $angle OBH=30^.$ Катет, лежащий против угла в $30^$ равен половине гипотенузы $Rightarrow OB=2OH=2R.$ По неравенству треугольника для $OBM$ имеем $BM &lt OM+OB=3R.$

б) Запишем теорему косинусов для треугольника $OBM:$

$OB^=OM^-2OMcdot BMcos angle BMO,$

cos$angle BMO=displaystyle frac=0,65.$

Так как $angle OMC=90^,$ то $sin angle BMC=sin (90^+angle BMO)=cos angle BMO=0,65.$

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=3 и MK=12.

а) Треугольники $ABD$ и $BMC$ — прямоугольные, так как опираются на диаметры окружностей. Тогда $AD$ и $CM$ перпендикулярны одной и той же прямой $DM$. Следовательно, $ADparallel MC.$

б) Пусть $O$ — центр окружности с диаметром $AB.$ Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен $AM.$

Так как угол $AKB$ — вписанный, опирающийся на диаметр, то отрезок $KB$ перпендикулярен $AM.$ Значит, $ KBparallel OM $ и треугольники $AKB$ и $AOM$ подобны по двум углам:

$displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac,$

Проведем высоту $BP$ в треугольнике $BOP:$

Рассмотрим треугольники $ACM$ и $DCM.$ Они имеют одинаковые основания $MC$ и высоту $DM,$ а, значит, и равные площадию

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45∘, В₁С₁ = 6 и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

a) В треугольниках $ABC$ и $AB_C_$ $angle A$ — общий. $AC$ и $AB$ — секущие, проведениные из одной точки, следовательно, $displaystyle frac<AB_>=displaystyle frac<AC_>.$ Тогда треугольники $ABC$ и $ AB_C_$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату линейного отношения соответсвенных элементов данных фигур:

$displaystyle frac<S_<AB_C_>><S_>=left( displaystyle frac<B_C_>right)^=left( displaystyle frac<AC_>right) ^=left( displaystyle frac<AB_>right)^=displaystyle fracRightarrow BC=3B_C_=18.$

По теореме косинусов в треугольнике $ACC_:$

По теореме синусов $ACC_:$

Искомый радиус совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $BCC_.$ по теореме синусов из треугольника $BCC_:$

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что $displaystyle frac=sin angle D$.

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $displaystyle frac$ и $displaystyle frac$ .

а) Продолжим стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точки $R$. Окружности вписаны в угол, следовательно, их центры лежат на биссектрисе этого угла. Точка $P$ лежит на одной прямой с центрами окружности, значит, $RP$ — биссектриса треугольника $ARP.$

По теореме о биссектрисе угла треугольника $displaystyle frac=displaystyle frac=sin angle D.$

б) Введем обозначения. Пусть окружность с центром $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $AD$ в точках $E$ и $M,$ а окружность в цетре $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $F$ и $N.$ Проведем перпендикуляр $O_H$ к отрезку $O_E.$ Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $HO_FE$ — прямоугольник, а $AEO_M$ и $BNO_F$ — квадраты. Получим:

$O_H=O_E-HE=O_E-O_F=displaystyle frac-displaystyle frac=1,$

$O_O_=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

По теореме Пифагора из трегугольника $O_O_H:$

Прямые $O_H$ и $EF$ параллельны, значит треугольники $O_O_H$ и $O_RE$ подобны по признаку подобия по двум углам ($angle REO_=angle O_HO_=90^,$ $angle RO_E$ — общий). Тогда обозначим $angle O_O_H=angle O_RE=alpha .$

Из прямоугольного треугольника $O_O_H:$

$tg alpha =displaystyle frac<O_H><O_H>=displaystyle frac.$

Тогда $angle BRC=2alpha ,$ $angle BCD=angle CRB+angle RBC=90^+2alpha $ как внешний угол треугольника и $angle O_CN=displaystyle fracangle BCD=45^+2alpha $ так как центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла.

Из треугольника $O_CN$ находим:

Значит, $BC=BN+NC=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

Аналоично, $angle O_DM=tg(45^-alpha )$ и

$AD=AM+MD=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

Так как $AB=AE+EF+FB=displaystyle frac+displaystyle frac+displaystyle frac=3,$ то $S_=displaystyle fraccdot AB=displaystyle frac<displaystyle frac+displaystyle frac>cdot 3=displaystyle frac.$

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.

а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 23.

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Так как $AD$ и $CD$ — диаметры окружностей, то $angle AMD=angle CND=90^.$ По условию $ACperp BDRightarrow ACperp BO,$ следовательно , $CN,$ $AM$ и $DO$ — высоты треугольноки $ACD.$ Они пересекаются в одной точке $P.$

Трапеция равнобедренная, а ее диагонали перпендикулярны, поэтому треугольник $BOC$ и $AOD$ — равнобедренные и прямоугольные, следовательно, $angle CBD=angle CAD=45^.$ Так как $ADperp CN,$ то $BCperp CN.$ Значит, в прямоугольных треугольниках $BCP$ и $CAN$ углы при основании равны $45^$ и треугольники являются равнобедренными, поэтому $BC=CP$ и $AN=CN.$

Прямая $CO$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. Точка $A$ принадлежит этой прямой, поэтому $AB=AP.$

Тогда верно, что $BC+AP=AB+CP$ (то есть суммы противоположных сторон равны), следовательно, в четырехугольнике $ABCP$ можно вписать окружностью.

б) Так как $N$ — основание высоты в равнобедренной трапеции, то

$DN=displaystyle frac=displaystyle frac=8,$

По теореме Пифагора из треугольника $ACN$ $AC=sqrt<CN^+AN^>=23sqrt.$

Аналогично из треугольника $BCP$ $BP=7sqrt,$ из треугольника $CND$

Выразим площадь четырехугольника $ABCP$ двумя способами:

$S_=displaystyle fracACcdot BPcdot sin 90^=displaystyle fracP_cdot r,$

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что $displaystyle frac=displaystyle frac$.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 5, а BC = 5√2.

а) Вписанные углы $BAC$ и $DAC$ равны, как опирающиеся на равные хорды, значит, $AC$ — биссектриса угла $BAD. $

Вписанные углы $ADB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому они тоже равны. Значит, треугольники $ADP$ и $ACB$ подобные по двум углам. Следовательно, $displaystyle frac=displaystyle frac.$

б) Точки $A$ и $C$ принадлежит окружности с диаметром $BD$, значит, треугольники $ABD$ и $BCD$ прямоугольные. По условию треугольник $BCD$ равнобедренный, поэтому $BD=BCsqrt=10$ и углы при основании равны $45^.$

Катет $AB$ прямоугольного треугольника $ABD$ равен половине гипотенузы $BD,$ следовательно, $angle ADB=30^,angle ABD=60^.$

Так ка центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, то точка $O$ лежит на биссектрисе $AC$ угла $BAD$ и на биссектрисе угла $ADB.$ Тогда $angle ACD=angle ABD=60^$ (как опирающиеся на одну хорду) и $angle ODB=displaystyle fracangle ADB=15^. $ Получаем, что $angle ODC=angle ODB+angle BDC=15^+45^=60^.$

Значит, треугольник $COD$ — равностронний со стороной $5sqrt.$

В ответе необходимо записать полученное значение пункта б), умноженное на √3, то есть 37,5.