Разложить вектора по базису в тетраэдре

Математический портал

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.
  • Вы здесь:
  • Home

Разложить вектора по базису в тетраэдреРазложить вектора по базису в тетраэдреРазложить вектора по базису в тетраэдреРазложить вектора по базису в тетраэдреРазложить вектора по базису в тетраэдре

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $e_1, e_2, e_3$ называется базисом в пространстве всех геометрических векторов. Всякий геометрический вектор $a$ может быть представлен единственным образом в виде $$a=X_1e_1+X_2e_2+X_3e_3.qquadqquadqquadqquadqquad (1)$$ Числа $X_1, X_2, X_3$ называются координатами вектора в базисе $B=.$ Запись (1) называют разложением вектора $a$ по базису $B.$

Аналогично, упорядоченная пара неколлинеарных векторов $e_1, e_2$ называется базисом $B=(e_1, e_2)$ в множестве геометрических векторов, компланарных некоторой плоскости.

Наконец, всякий ненулевой вектор $e$ образует базис $B=(e)$ в множестве геометрических векторов, коллинеарных некоторому направлению.

Если вектор $a$ есть линейная комбинация векторов $a_1, a_2, . a_n$ с коэффициентами $lambda_1, lambda_2, . lambda_n$, то есть $$a=sumlimits_^n lambda_ka_k$$ то каждая координата $X_i(a)$ вектора $a$ равна сумме произведений коэффициентов $lambda_1,lambda_2. lambda_n$ на одноименные координаты векторов $a_1, a_2, . a_n: $ $$X_i(a)=sumlimits_^nlambda_k X_i(a_k),qquad (i=1, 2, 3.)$$

Базис $B=(e_1, e_2, e_3)$ называется прямоугольным, если векторы $e_1, e_2$ и $e_3$ попрано перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения $$e_1=i;,, e_2-j;,, e_3=k.$$

Примеры.

2.26. Задан тетраэдр $OABC.$ В базисе из ребер $overline, overline$ и $overline$ найти координаты:

а) вектора $overline,$ где $D$ и $E$ середины ребер $OA$ и $BC.$

б) вектора $overline,$ где $F-$ точка пересечения медиан основания $ABC.$

Решение.

а)

Разложить вектора по базису в тетраэдре

Выразим вектор $overline$ через вектора $overline, overline, overline:$

Из треугольника $ODE$ имеем $overline=overline+overline.qquadqquadqquad (1)$

вектор $overline$ найдем из треугольника $OBE:$

здесь $overline=fracoverline,$ а вектор $overline$ находим из треугольника $OBC:$

Таким образом, из (2) получаем $overline=overline+frac(overline-overline).$

Наконец из (1) имеем $$overline=overline+overline=-fracoverline+overline+frac(overline-overline)=$$ $$=-fracoverline+fracoverline+fracoverline.$$

Таким образом, координаты вектора $overline$ в базисе из ребер $overline, overline, overline:$ $left(-frac,frac,fracright).$

Ответ: $left(-frac; frac; fracright).$

б)

Разложить вектора по базису в тетраэдре

Выразим вектор $overline$ через вектора $overline, overline, overline:$

Из треугольника $OFB$ имеем $overline=overline+overline.qquadqquadqquad (1)$

вектор $overline$ найдем из треугольника $BMC:$

здесь $overline=fracoverline,$ а вектор $overline$ находим из треугольника $OCA:$

Таким образом, из (2) получаем $$overline=overline+overline=overline-overline+fracoverline=$$ $$=overline-overline+frac(-overline+overline).$$

Наконец из (1) имеем $$overline=overline+overline=overline+fracoverline=$$ $$=overline+fracleft(overline-overline+frac(-overline+overline)right)=$$ $$=overline+fracoverline-fracoverline+frac(-overline+overline)=fracoverline+fracoverline+fracoverline.$$

Таким образом, координаты вектора $overline$ в базисе из ребер $overline, overline, overline:$ $left(frac; frac; fracright).$

Ответ: $left(frac; frac; fracright).$

2.27. В тетраэдре $OABC$ медиана $AL$ грани $ABC$ делится точкой $M$ в отношении $|overline|:|overline|=3:7.$ Найти координаты вектора $overline$ в базисе из ребер $overline, overline, overline.$

Решение.

Разложить вектора по базису в тетраэдре

Вектор $overline$ найдем из треугольника $AOM:$ $$overline=overline+overline.qquadqquadqquad (1)$$

Из условия $|overline|:|overline|=3:7$ имеем $overline=fracoverline.$ Из треугольника $ABL$ находим $overline=overline+overline=overline+fracoverline.$

Далее, из треугольников $AOB$ и $BOC$ получаем

Отсюда и из (1) получаем $$overline=overline+overline=overline+fracoverline+fracoverline+fracoverline=$$ $$=fracoverline-fracoverline+fracoverline.$$

Ответ: $left(frac; frac;fracright).$

2.29. В трапеции $ABCD$ известно отношение длин оснований $|overline|/|overline|=lambda$ Найти координаты вектора $overline$ в базисе из векторов $overline$ и $overline.$

Решение.

Разложить вектора по базису в тетраэдре

Вектор $overline$ можно найти из треугольника $ABC:$ $overline=overline+overline.$

$overline$ находим из треугольника $ACD:$ $overline=overline+overline=overline-overline.$

Из условия $|overline|/|overline|=lambda$ находим вектор $overline:$ $overline=-overline/lambda.$

Таким образом, $overline=-overline/lambda-overline;$

2.36. Заданы векторы $e(-1, 1, 1/2)$ и $a(2, -2, -1).$ Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение вектора $a$ по базису $B(e). $

Решение.

Векторы коллинеарны, если их направления совпадают или противоположны, т.е. тогда и только тогда когда их координаты пропорциональны. Проверим: $$frac=frac=frac=-frac,$$ то есть векторы $e$ и $a$ коллинеарны.

Найдем разложение вектора $a$ по базису $B(e),$ то есть найдем такое число $lambda$ что $a=lambda e:$

Ответ: $a=-2e.$

Домашнее задание.

2.28. Вне плоскости параллелограмма $ABCD$ взята точка $O.$ В базисе из векторов $overline, overline$ и $overline$ найти координаты:

а) вектора $overline$ , где $M$ точка пересечения диагоналей параллелограмма;

б) вектора $overline,$ где $K$- середина стороны $AD.$

Ответ: а) $(1/2; 0; 1/2);$ б) $(1, -1/2, 1/2).$

2.31. В треугольнике $ABC$ $overline=alphaoverline; overline=betaoverline;$ $overline=gammaoverline.$ Пусть $P, Q$ и $R -$ точки пересечения прямых $BF$ и $CK;$ $CK$ и $AM;$ $AM$ и $BF$ соответственно. В базисе из векторов $overline$ и $overline$ найти координаты векторов $overline,$ $overline$ и $overline.$

2.37. На плоскости заданы векторы $e_1(-1,2),$ $e_2(2,1)$ и $a(0,-2).$ Убедиться, что базис $B=e_1, e_2$ в множестве всех векторов на плоскости Построить заданные веткоры и найти разложение вектора $a$ по базису $B.$

Ответ: $a=-frace_1-frace_2.$

2.38. Показать, что тройка векторов $e_1(1,0,0), e_2(1,1,0)$ и $e_3(1,1,1)$ образуют базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора $a=-2i-k$ в базисе $B(e_1, e_2, e_3)$ и написать соответствующее разложение вектора по базису.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Разложение вектора по базису

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно разложить вектор по двум базисным векторам, а также разберем пример решения задачи по этой теме.

Видео:№362. Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторамСкачать

№362. Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторам

Принцип разложения вектора

Для того, чтобы разложить вектор b по базисным векторам , требуется определить такие коэффициенты , при которых линейная комбинация векторов равняется вектору b , то есть:

Видео:№369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОАСкачать

№369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОА

Пример задачи

Разложим вектор по двум базисным векторам и .

Решение:

1. Векторное уравнение выглядит так:

Разложить вектора по базису в тетраэдре

3. Теперь нужно решить систему. Из второго уравнения получаем:
.

Подставляем полученное выражение в первое уравнение:
2 · (1 + 3y) + y = 16
2 + 6y + y = 16
7y = 14
y = 2

Следовательно, x = 1 + 3y = 1 + 2 · 2 = 7 .

Видео:Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Видео:Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

  • Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
  • выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
  • введите значения базисных векторов;
  • введите значения вектора который нужно разложить по базису;
  • Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Видеоурок "Разложение вектора по базису"Скачать

Видеоурок "Разложение вектора по базису"

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1 , . an , необходимо найти коэффициенты x 1, . xn , при которых линейная комбинация векторов a1 , . an равна вектору b .

Коэффициенты x 1, . xn будут координатами вектора b в базисе a1 , . an .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🎦 Видео

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

#вектор Разложение вектора по ортам.  Направляющие косинусы

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Разложить вектор m по векторам a,b,cСкачать

Разложить вектор m по векторам a,b,c

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Написать разложение вектора x по векторам p, q, r. Разложение вектора по базису из трёх векторов.Скачать

Написать разложение вектора x по векторам p, q, r. Разложение вектора по базису из трёх векторов.

10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать

10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)
Поделиться или сохранить к себе: