Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.
Как обычно, немного самой необходимой теории.
Вектор — это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:
Здесь точка А — начало вектора, а точка В — его конец.
У вектора есть два параметра: его длина и направление.
Длина вектора — это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора 
обозначается 
Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.
Два вектора называются сонаправленными , если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора 
и 
сонаправлены:
Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и 
, а также и направлены в противоположные стороны:
Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными : вектора , и — коллинеарны.
Произведением вектора на число 
называется вектор, сонаправленный вектору , если 
0″ title=»k>0″/>
, и направленный в противоположную сторону, если 
, и длина которого равна длине вектора , умноженной на :
=k:
Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника .
Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма , нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:
Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :
: 
Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов : чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора ( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):
Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: 
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:
1 . Задание 4 (№ 27709)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и 
.
2 . Задание 4 (№ 27710)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
3 . Задание 4 (№ 27711)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов 
и 
.
4 . Задание 4 (№ 27712)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
5 . Задание 4 (№ 27713)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .
6 . Задание 4 (№ 27714)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
7 .Задание 4 (№ 27715)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .(чертеж из предыдущей задачи).
8 .Задание 4 (№ 27716)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора — 
.
9 . Задание 4 (№ 27717)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
10 . Задание 4 (№ 27718)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .(чертеж из предыдущей задачи).
11 .Задание 4 (№ 27719)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).
12 . Задание 4 (№ 27720)
Стороны правильного треугольника ABC равны 
Найдите длину вектора +.
13 . Задание 4 (№ 27721)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора —.(чертеж из предыдущей задачи).
14 . Задание 4 (№ 27722)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Сумма векторов. Длина вектора. Задачи!
Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, в составе типов задний экзамена присутствует группа задач с векторами. Задания довольно широкого спектра (важно знать теоретические основы). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же много заданий, при решении которых необходимо осуществить действия с координатами векторов.
Теория касающаяся темы векторов несложная, и её необходимо хорошо усвоить. В этой статье разберём задачи связанные с нахождением длины вектора, также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:
Вектор — это направленный отрезок.
Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине являются равными.
*Все представленные выше четыре вектора равны!
То есть, если мы будем при помощи параллельного переноса перемещать данный нам вектор, то всегда получим вектор равный исходному. Таким образом, равных векторов может быть бесчисленное множество.
Вектор может быть обозначен латинскими заглавными буквами, например:
При данной форме записи сначала записывается буква обозначающая начало вектора, затем буква обозначающая конец вектора.
Ещё вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (прописной):
Возможно также обозначение без стрелок:
Суммой двух векторов АВ и ВС будет являться вектор АС .
Записывается как АВ + ВС = АС .
Это правило называется – правилом треугольника.
То есть, если мы имеем два вектора – назовём их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).
Вывод: если мы имеем на плоскости два вектора, то всегда сможем найти их сумму. При помощи параллельного переноса можно переместить любой из данных векторов и соединить его начало с концом другого. Например:
Перенесём вектор b, или по-другому – построим равный ему:
Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:
Это правило является следствием изложенного выше.
Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
Построим вектор равный вектору b так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a, и мы можем построить вектор, который будет являться их суммой:
Ещё немного важной информации, необходимой для решения задач.
Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, обозначается также но имеет противоположный знак:
Эта информация крайне полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов это та же сумма в изменнёном виде.
Пусть даны два вектора, найдём их разность:
Мы построили вектор противоположный вектору b, и нашли разность.
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:
То есть, координаты вектора представляют собой пару чисел.
И координаты векторов имеют вид:
Модулем вектора называется его длина, определяется по формуле:
Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО и ВО .
Найдём вектор, который будет являться результатом АО – ВО:
АО – ВО = АО +(– ВО )= АВ
То есть разность векторов АО и ВО будет являться вектор АВ. А его длина равна восьми.
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ + AD .
Найдём вектор, который будет являться суммой векторов AD и AB . Вектор BC равен вектору AD . Значит AB + AD = AB + BC = AC
Длина вектора AC это длина диагонали ромба АС, она равна 16.
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО + ВО .
Найдём вектор, который будет являться суммой векторов АО и ВО . Вектор ВО равен вектору OD, з начит
Длина вектора AD это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AOD. Вычислим катеты:
По теореме Пифагора:
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО – ВО .
Найдём вектор, который будет являться результатом АО – ВО :
Длина вектора АВ это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике AOB. вычислим катеты:
По теореме Пифагора:
Стороны правильного треугольника ABC равны 3.
Найдите длину вектора АВ – АС .
Найдём результат разности векторов:
Длина вектора СВ равна трём, так как в условии сказано, что треугольник равносторонний и его стороны равны 3.
27663. Найдите длину вектора а (6;8).
27664. Найдите квадрат длины вектора АВ .
27707. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину вектора АС .
27708. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов AB и AD .
27709. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов AB и AD .
27711. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов АО и ВО .
27713. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ .
27715. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.
Найдите длину вектора АВ – AD .
27716. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.
Найдите длину вектора АВ – АС .
Стороны правильного треугольника ABC равны 2√3. Найдите длину вектора АВ + АС .
В будущем мы продолжим рассматривать задачи с векторами, не пропустите! Задания будут связаны с координатами векторов, скалярным произведением.
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр
Вступительный экзамен по математике. Преподаватели приглашают первого абитуриента:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Пять! — Нет! — Шесть!
— Неправильно! Да… дурак, но ищущий… берем!
Заходит второй абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Три! — Нет! — Три!
— Неправильно! Да… дурак, но настырный… берем!
Заходит третий абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Четыре, конечно!
— Да… умный. Но мест уже нет!
Видео:ПРОФИЛЬ 2024. Задание 2. Векторы. Все задачи с ромбом.Скачать
Нахождение координат вектора
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
Видео:№1040. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба.Скачать
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
<table data-id="254" data-view-id="254_31110" data-title="Координаты вектора" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <Bx — Ax; By — Ay> » data-order=» AB = <Bx — Ax; By — Ay> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> AB = <Bx — Ax; By — Ay>
<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az> » data-order=» AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az> «> AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az>
<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An> » data-order=» AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An> «> AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An>
Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать
Примеры задач
Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .
Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .
Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = AB x + Ax = 6 + 2 = 8.
By = AB y + Ay = 14 + 5 = 19.
📹 Видео
Угол между векторами. 9 класс.Скачать
Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать
Задание 3 (№27717) ЕГЭ по математике. Урок 80Скачать
№493. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.Скачать
Вычитание векторов. 9 класс.Скачать
Площадь ромба. Легче понять...Скачать
№477. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромбаСкачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать
Задание 17 ОГЭ по математике. Ромб. Найти высоту ромба.Скачать
Найти площадь ромба.Скачать
№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать
егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать
Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать
Ромб. Свойства ромба. Решение задач.Скачать
Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать
