Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Точка, равноудаленная от всех вершин многоугольникаСкачать

Точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Видео:Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать

Центр окружности описанной вокруг треугольника

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

558. Периметр треугольника ABC , описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины A . Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 6 см. Найдите стороны треугольника.

559. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN ‖ AC .

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности562. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M , BС = a . Докажите, что AM = p — a , где p — полупериметр треугольника ABC .

563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a , провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

564. В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK , BEF и CMN . Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

565. В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD .

566. Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что ∠ AMN = ∠ CMN .

567. Пусть вершина угла B недоступна (рис. 309). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла B .

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

568. Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC . Найдите углы треугольника ABC .

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Упражнения для повторения

569. Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом ABC . Найдите угол ABC .

570. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании — биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.

571. На рисунке 311 BC ‖ AD , AB = 3 см, BC = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок BC в точке K . Найдите отрезки BK и KC .

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

572. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , AM и CK — медианы этого треугольника. Докажите, что MK ‖ AC .

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

573. В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.

Видео:✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис ТрушинСкачать

✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис Трушин

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАВС.

Доказать: около Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Точка О равноудалена от вершин Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВ = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАDС, Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиD = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАВС, откуда следует Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВ + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиD = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАDС + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАВС = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности(Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАDС + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАDС + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиАВС = 360 0 , тогда Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВ + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиD = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBАD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВСDвнешний угол Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиСFD, следовательно, Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBСD = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВFD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВFD = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD и Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиFDE = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBСD = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиЕF = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности(Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиЕF), следовательно, Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВСDТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD.

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBАD = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВЕD, тогда Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBАD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBСDТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности(Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВЕD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВЕD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD = 360 0 , тогда Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBАD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBСDТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBАD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBСDТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности180 0 . Но это противоречит условию Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBАD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности

По теореме о сумме углов треугольника в Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВСF: Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиС + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВ + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиF = 180 0 , откуда Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиС = 180 0 — ( Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВ + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиF). (2)

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВ = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиЕF. (3)

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиF и Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВFD смежные, поэтому Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиF + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВFD = 180 0 , откуда Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиF = 180 0 — Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВFD = 180 0 — Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиС = 180 0 — (Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиЕF + 180 0 — Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD) = 180 0 — Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиЕF — 180 0 + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности(Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАDТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиЕF), следовательно, Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиСТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD.

Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиА = Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВЕD, тогда Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиА + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиСТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиТочка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружности(Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВЕD + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиВАD). Но это противоречит условию Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиА + Точка равноудаленная от всех вершин треугольника является центром окружностиС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🔍 Видео

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 смСкачать

№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

№199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этогоСкачать

№199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

Пирамиды,  в которых высота проходит через центр описанной около основания окружности

Три точки, задающие окружностьСкачать

Три точки, задающие окружность

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Задача 3 ЕГЭ по математике. Урок 84Скачать

Задача 3 ЕГЭ по математике. Урок 84

9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать

9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

№204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр ОСкачать

№204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мноСкачать

№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мно

Вторая замечательная точка треугольникаСкачать

Вторая замечательная точка треугольника

Построение окружности по трём точкам.Скачать

Построение окружности по трём точкам.
Поделиться или сохранить к себе: