Разложение векторы на составляющие векторы (2 видео)

Разложение вектора

Разложение вектора а на составляющие — операция замены вектора а несколькими другими векторами а_ь а₂, а₃ и т. д., которые при их сложении образуют начальный вектор а; в этом случае векторы d_b а₂, а₃ и т. д. называются составляющими вектора а. Иными словами, разложение любого вектора на составляющие — действие, обратное сложению векторов.

Из рис. 1.5 следует, что сумма векторов а_х и а_у равна начальному вектору а, т. е. d = а_х + а_у; здесь а_х и а_у являются составляющими вектора а_у вдоль осей Ох и Оу соответственно.

Проекция вектора d на ось Ох — длина вектора а_х (величина алгебраическая), взятая со знаком «минус» или «плюс». Аналогично вводится понятие проекций вектора d на заданную координатную ось Оу.

При нахождении проекций вектора а предварительно находят его составляющие а_х и а_у по осям; если составляющая (а_х, а_у) совпадает с положительным направлением оси, проекцию берут со знаком «плюс», если же нет, то со знаком «минус». Величина проекций определяются по формулам

где а — модуль вектора а_у; а и р — углы между положительным направлением соответствующей оси и вектора а_у (рис. 1.5).

Длина (модуль) вектора а равна а = ^а 2 _х + а 2 _у, а угол а равен а = arctg а_у/а_х. Следует отметить, что составляющая вектора есть вектор, проекция вектора — число, которое может принимать положительное или отрицательное значения.

Содержание

Разложение векторы на составляющие векторы
жПТНХМЩ ДМС ТЕЫЕОЙС:
бМЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС ФЙРПЧПК ЪБДБЮЙ:
чПЪНПЦОЩЕ ПУПВЕООПУФЙ ЪБДБЮ:
рТЙНЕТЩ ТЕЫЕОЙС:
Тема: «Введение. Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами. Разложение вектора на составляющие. Полярная и декартовая система координат. Действие над векторами, заданными своими координатами.»
«Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
💥 Видео

Видео:РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕСкачать

Разложение векторы на составляющие векторы

1. дЧБ ЧЕЛФПТБ ДМЙОПК 5 Й 7 ЕДЙОЙГ ОБРТБЧМЕОЩ РПД ХЗМПН 90 ЗТБДХУПЧ ДТХЗ Л ДТХЗХ. оБКФЙ ЙИ УХННХ.

2. пРТЕДЕМЙФШ УПУФБЧМСАЭЙЕ ЧЕЛФПТБ ДМЙОПК 10 ЕДЙОЙГ РП ЪБДБООЩН ОБРТБЧМЕОЙСН: РПД ХЗМПН НЙОХУ 30 (РП ЮБУПЧПК УФТЕМЛЕ) Й 60 (РТПФЙЧ ЮБУПЧПК УФТЕМЛЙ) ЗТБДХУПЧ Л ЙУИПДОПНХ ОБРТБЧМЕОЙА ДМС РЕТЧПЗП Й ЧФПТПЗП УПУФБЧМСАЭЕЗП ЧЕЛФПТБ УППФЧЕФУФЧЕООП.

3. дЧБ ЧЕЛФПТБ ДМЙОПК 11 Й 5 ЕДЙОЙГ ОБРТБЧМЕОЩ РПД ХЗМПН 45 ЗТБДХУПЧ ДТХЗ Л ДТХЗХ. оБКФЙ ЙИ ТБЪОПУФШ.

4. пРТЕДЕМЙФШ РТПЕЛГЙЙ ЧЕЛФПТБ ДМЙОПК 50 ЕДЙОЙГ, ОБРТБЧМЕООПЗП РПД ХЗМПН 40 ЗТБДХУПЧ Л ЗПТЙЪПОФХ ОБ ЛППТДЙОБФОЩЕ ПУЙ РТСНПХЗПМШОПК УЙУФЕНЩ У ЗПТЙЪПОФБМШОПК ПУША БВУГЙУУ.

чЕЛФПТБ — ЬФП НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ ПВЯЕЛФЩ, ЛПФПТЩЕ ИБТБЛФЕТЙЪХАФУС УЧПЕК ЧЕМЙЮЙОПК (ДМЙОПК) Й ОБРТБЧМЕОЙЕН. оБРТЙНЕТ, РЕТЕНЕЭЕОЙЕ, УЛПТПУФШ, ХУЛПТЕОЙЕ. дЕКУФЧЙС У ЧЕЛФПТБНЙ УМПЦОЕЕ, ЮЕН У ПВЩЮОЩНЙ ЧЕМЙЮЙОБНЙ. пДОБЛП ЙИ У ХУРЕИПН НПЦОП УЛМБДЩЧБФШ Й ЧЩЮЙФБФШ. йИ УХННБ Й ТБЪОПУФШ РПДЮЙОСЕФУС ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙН ЪБЛПОБН.

уМПЦЕОЙЕ. рХУФШ ОБН ОБДП ОБКФЙ УХННХ ДЧХИ ЧЕЛФПТПЧ, ТБУРПМПЦЕООЩИ РПД ОЕЛПФПТЩН ХЗМПН ДТХЗ Л ДТХЗХ. фПЗДБ ОБДП РХФЕН РБТБММЕМШОПЗП РЕТЕОПУБ РПНЕУФЙФШ ОБЮБМП ЧФПТПЗП ЧЕЛФПТБ Ч ЛПОЕГ РЕТЧПЗП Й РПУФТПЙФШ ОПЧЩК ЧЕЛФПТ, УПЕДЙОЙЧ ОБЮБМП РЕТЧПЗП ЧЕЛФПТБ У ЛПОГПН ЧФПТПЗП: ПФ РЕТЧПЗП ЛП ЧФПТПНХ. рПМХЮЕООЩК ЧЕЛФПТ Й ВХДЕФ ЙИ УХННПК. рХУФШ ДБОЩ ЧЕЛФПТБ «a» Й «b».

оБКДЕН ЙИ УХННХ. рЕТЕОЕУЕН ЧЕЛФПТ «b».

рПУФТПЙН ОПЧЩК ЧЕЛФПТ ЙЪ ОБЮБМБ РЕТЧПЗП ЧЕЛФПТБ Ч ЛПОЕГ ЧФПТПЗП.

чЕЛФПТ «c» — УХННБ ЧЕЛФПТПЧ «a» Й «b».

чЩЮЙФБОЙЕ. рХУФШ ОБН ОБДП ОБКФЙ ТБЪОПУФШ ДЧХИ ЧЕЛФПТПЧ, ТБУРПМПЦЕООЩИ РПД ОЕЛПФПТЩН ХЗМПН ДТХЗ Л ДТХЗХ. фПЗДБ ОБДП РХФЕН РБТБММЕМШОПЗП РЕТЕОПУБ РПНЕУФЙФШ ОБЮБМП ЧФПТПЗП ЧЕЛФПТБ Ч ОБЮБМП РЕТЧПЗП Й РПУФТПЙФШ ОПЧЩК ЧЕЛФПТ, УПЕДЙОЙЧ ЛПОЕГ ЧФПТПЗП ЧЕЛФПТБ У ЛПОГПН РЕТЧПЗП: ПФ ЧФПТПЗП Л РЕТЧПНХ. рПМХЮЕООЩК ЧЕЛФПТ Й ВХДЕФ ЙИ ТБЪОПУФША.

оБКДЕН ЙИ ТБЪОПУФШ. рЕТЕОЕУЕН ЧЕЛФПТ «b».

чЕЛФПТ «c» — ТБЪОПУФШ ЧЕЛФПТПЧ «a» Й «b».

тБЪМПЦЕОЙЕ ОБ УПУФБЧМСАЭЙЕ. мАВПК ЧЕЛФПТ НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ ОБ УПУФБЧМСАЭЙЕ, ФП ЕУФШ ОБКФЙ ДЧБ ФБЛЙИ ЧЕЛФПТБ, ЛПФПТЩЕ Ч УХННЕ ДБАФ ЙУИПДОЩК. еУМЙ ОЕ ПРТЕДЕМЕОП ОЙ ПДОПК ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ УПУФБЧМСАЭЙИ ЧЕЛФПТПЧ, ФП ФБЛЙИ ТБЪМПЦЕОЙК УХЭЕУФЧХЕФ ВЕУЛПОЕЮОП НОПЗП, ЕУМЙ ПРТЕДЕМЕО ИПФС ВЩ ПДЙО ЧЕЛФПТ (ДМЙОБ, ОБРТБЧМЕОЙЕ) ЙМЙ РП ПДОПК ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЕ ЛБЦДПЗП ЧЕЛФПТБ, ФП ФБЛПЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ УФБОПЧЙФУС ЕДЙОУФЧЕООЩН.

оБКДЕН ЕЗП РТПЙЪЧПМШОЩЕ УПУФБЧМСАЭЙЕ. рПУФТПЙН ЧЕЛФПТ, ОБЮЙОБАЭЙКУС Ч ЕЗП ОБЮБМЕ.

дПУФТПЙН ЕЭЕ ПДЙО ЧЕЛФПТ ФБЛ, ЮФПВЩ УХННБ ДЧХИ ОПЧЩИ ЧЕЛФПТПЧ ДБЧБМБ ЙУИПДОЩК ЧЕЛФПТ.

чЕЛФПТБ «a» Й «b» — УПУФБЧМСАЭЙЕ ЧЕЛФПТБ «C» .

рТПЕЛГЙЙ ЧЕЛФПТБ ОБ ЛППТДЙОБФОЩЕ ПУЙ. юФПВЩ ОБКФЙ РТПЕЛГЙА, ОБДП ЙЪ ОБЮБМБ Й ЛПОГБ ЧЕЛФПТБ ПРХУФЙФШ РЕТРЕОДЙЛХМСТЩ ОБ ЛППТДЙОБФОХА ПУШ. дМЙОБ ПФТЕЪЛБ ОБ ЛППТДЙОБФОПК ПУЙ, ЪБЛМАЮЕООПЗП НЕЦДХ ПУОПЧБОЙСНЙ РЕТРЕОДЙЛХМСТПЧ — ЬФП РТПЕЛГЙС. уБНБ РТПЕЛГЙС ОБРТБЧМЕОЙС ОЕ ЙНЕЕФ, ЬФП УЛБМСТОБС ЧЕМЙЮЙОБ. пОБ ЙНЕЕФ ЪОБЛ. рПМПЦЙФЕМШОЩК, ЕУМЙ РТПЕЛГЙС ЛПОГБ ЧЕЛФПТБ УПЧРБДБЕФ У РПМПЦЙФЕМШОЩН ОБРТБЧМЕОЙЕН ПУЙ Й ПФТЙГБФЕМШОЩК, ЕУМЙ ОБПВПТПФ.

жПТНХМЩ ДМС ТЕЫЕОЙС:

ч РТПУФЩИ УМХЮБСИ, ЛПЗДБ ЧЕЛФПТБ ПВТБЪХАФ РТСНПХЗПМШОЩК ФТЕХЗПМШОЙЛ, ЙУРПМШЪХЕФУС ЙЪЧЕУФОПЕ УППФОПЫЕОЙЕ

еУМЙ ФТЕХЗПМШОЙЛ РТПЙЪЧПМШОЩК, ФП ЙУРПМШЪХЕФУС ФЕПТЕНБ ЛПУЙОХУПЧ.

бМЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС ФЙРПЧПК ЪБДБЮЙ:

1. лТБФЛП ЪБРЙУБФШ ХУМПЧЙЕ ЪБДБЮЙ.

2. йЪПВТБЪЙФШ ХУМПЧЙЕ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ Ч ПУСИ ЛППТДЙОБФ.

3. рЕТЕНЕУФЙФШ ЧЕЛФПТБ Ч УППФЧЕФУФЧЙЙ У ЧПРТПУПН ЪБДБЮЙ: ДМС УХННЩ, ТБЪОПУФЙ, РТПЕЛГЙК.

4. рПУФТПЙФШ ЙУЛПНЩК ЧЕЛФПТ ЙМЙ РТПЕЛГЙЙ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ.

5. рТПЧЕУФЙ БОБМЙФЙЮЕУЛЙК ТБУЮЕФ.

6. ъБРЙУБФШ ПФЧЕФ.

чПЪНПЦОЩЕ ПУПВЕООПУФЙ ЪБДБЮ:

ч ОЕЛПФПТЩИ РТПУФЩИ ЪБДБЮБИ ЧУЕ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙЕ РПУФТПЕОЙС НПЗХФ ВЩФШ ЧЩРПМОЕОЩ УТБЪХ.

рТЙНЕТЩ ТЕЫЕОЙС:

ъБДБЮБ 1.

дЧБ ЧЕЛФПТБ ДМЙОПК 5 Й 7 ЕДЙОЙГ ОБРТБЧМЕОЩ РПД ХЗМПН 90 ЗТБДХУПЧ ДТХЗ Л ДТХЗХ. оБКФЙ ЙИ УХННХ.

лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ ЪБДБЮЙ.

йЪПВТБЦБЕН ХУМПЧЙЕ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ.

рЕТЕНЕЭБЕН ЧЕЛФПТ «B» ФБЛ, ЮФПВЩ ЕЗП ОБЮБМП УПЧРБМП У ЛПОГПН ЧЕЛФПТБ «A».

уФТПЙН ЙУЛПНЩК ЧЕЛФПТ «C».

рТПЧПДЙН БОБМЙФЙЮЕУЛЙК ТБУЮЕФ РП ФЕПТЕНЕ рЙЖБЗПТБ.

пФЧЕФ: уХННБ ЧЕЛФПТПЧ ТБЧОБ 8,6 ЕДЙОЙГЩ, ОБРТБЧМЕОЙЕ — РПД ХЗМПН 54,5 ЗТБДХУБ Л ОБРТБЧМЕОЙА РЕТЧПЗП ЧЕЛФПТБ.

ъБДБЮБ 2.

пРТЕДЕМЙФШ УПУФБЧМСАЭЙЕ ЧЕЛФПТБ ДМЙОПК 10 ЕДЙОЙГ РП ЪБДБООЩН ОБРТБЧМЕОЙСН: РПД ХЗМПН НЙОХУ 30 (РП ЮБУПЧПК УФТЕМЛЕ) Й 60 (РТПФЙЧ ЮБУПЧПК УФТЕМЛЙ) ЗТБДХУПЧ Л ЙУИПДОПНХ ОБРТБЧМЕОЙА ДМС РЕТЧПЗП Й ЧФПТПЗП УПУФБЧМСАЭЕЗП ЧЕЛФПТБ УППФЧЕФУФЧЕООП.

лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ ЪБДБЮЙ.

йЪПВТБЦБЕН ХУМПЧЙЕ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ.

уФТПЙН УПУФБЧМСАЭЙЕ ЧЕЛФПТБ Ч ЪБДБООЩИ ОБРТБЧМЕОЙСИ (ОЕ ПВСЪБФЕМШОП РТСНП ОБ ПУСИ).

рТПЧПДЙН БОБМЙФЙЮЕУЛЙК ТБУЮЕФ ЙИ ДМЙО.

пФЧЕФ: уПУФБЧМСАЭЙЕ ЧЕЛФПТБ ОБРТБЧМЕОЩ РПД ЪБДБООЩНЙ ХЗМБНЙ Й ЙНЕАФ ДМЙОЩ 8,7 Й 5 ЕДЙОЙГ.

ъБДБЮБ 3.

дЧБ ЧЕЛФПТБ ДМЙОПК 11 Й 5 ЕДЙОЙГ ОБРТБЧМЕОЩ РПД ХЗМПН 45 ЗТБДХУПЧ ДТХЗ Л ДТХЗХ. оБКФЙ ЙИ ТБЪОПУФШ.

лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ ЪБДБЮЙ.

йЪПВТБЦБЕН ХУМПЧЙЕ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ.

рЕТЕНЕЭБЕН ЧЕЛФПТБ Ч УППФЧЕФУФЧЙЙ У РТБЧЙМПН ОБИПЦДЕОЙС ТБЪОПУФЙ.

уФТПЙН ЙУЛПНЩК ЧЕЛФПТ.

рТПЧПДЙН БОБМЙФЙЮЕУЛЙК ТБУЮЕФ РП ФЕПТЕНЕ ЛПУЙОХУПЧ.

пФЧЕФ: чЕЛФПТ ТБЪОПУФЙ ДМЙОПК 8,2 ЕДЙОЙГЩ ОБРТБЧМЕО РПД ХЗМПН 33,3 ЗТБДХУБ Л РЕТЧПНХ ЧЕЛФПТХ.

ъБДБЮБ 4.

лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ ЪБДБЮЙ.

йЪПВТБЦБЕН ХУМПЧЙЕ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ.

рЕТЕНЕЭБЕН ЧЕЛФПТ Ч ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ.

уФТПЙН РТПЕЛГЙЙ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ.

рТПЧПДЙН БОБМЙФЙЮЕУЛЙК ТБУЮЕФ.

пФЧЕФ: рТПЕЛГЙС ОБ ПУШ БВУГЙУУ 38,3 ЕДЙОЙГЩ, ОБ ПУШ ПТДЙОБФ — 32,3 ЕДЙОЙГЩ.

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Тема: «Введение. Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами. Разложение вектора на составляющие. Полярная и декартовая система координат. Действие над векторами, заданными своими координатами.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Тема: Введение. Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами. Разложение вектора на составляющие. Полярная и декартовая система координат. Действие над векторами, заданными своими координатами .

Цель урока: Рассмотреть основные понятия векторной алгебры, правила действий над векторами, заданными своими координатами. Ввести понятие полярной системы координат.

Объяснение нового материала.

Закрепление нового материала.

Провести краткий обзор по данной дисциплине.

Начнём рассмотрение нового материала.

Определение : Отрезок называется направленным , если один из его концов считается началом отрезка, а другой—его концом.

Определение : Вектором называется направленный отрезок.

Вектор, заданный парой (А, В) несовпадающих точек, обозначается символом . Точка А называется началом , а точка В— концом вектора.

Определение : Расстояние называется длиной <модулем ) вектора .

Для обозначения векторов употребляются также строчные латинские буквы со стрелкой наверху: а, b, . х, у.

Определение : Вектор А А, концы которого совпадают, называется нулевым вектором.

Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие направления для нулевого вектора не вводится.

Каждый вектор, отличный от нулевого, вполне характеризуется своим направлением и длиной.

Определение : Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение : Если два ненулевых вектора а и b коллинеарные, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы а и b называются сонаправленными ( а b ), во втором— противоположно направленными ( а b ).

Определение : Два вектора называются равными , если они:

б) равны по модулю.

Т. е. если а= b то а b и = и, обратно, если векторы сонаправлены и равны по модулю, то они равны, т. е. если а b и = , то а= b.

Любой вектор равен самому себе: а=а. Если а= b и b =с, то а=с.

Откладывание вектора от данной точки.

Из любой точки плоскости а но отложить единственный вектор, равный данному вектору. Построение вектора MN, равного вектору а, называют откладыванием вектора а от точки М.

Чтобы построить вектор MN = a, проведем из точки М луч, сонаправленный с вектором а, и отложим на нем отрезок MN такой, что MN =

Задачи для самостоятельного решения:

Сколько векторов задают всевозможные упорядоченные пары точек, составленные из вершин: 1) треугольника; 2) параллелограмма?

Даны пары точек: 1) (-2; -3); (5; 4); 2) (6; -2), (13; 5); 3) (—8;—5), (—1; 1). Укажите, какие пары определяют равные векторы.

Ответ: пары 1) и 2).

3 * . Дан параллелограмм ABCD; О— точка пересечения его диагоналей. Какие пары, составленные из точек А, В, С, D и О определяют один и тот же вектор?

Действия над векторами.

а). Сложение векторов. Для того чтобы построить сумму двух данные векторов а и b, нужно выбрать произвольную точку А и отложить от неё вектор АВ=а, а затем от точки В отложить вектор ВС = b. Тогда вектор АС является искомой суммой: а+b=АВ+ ВС=АС=а.

Вектор с = а + b называют замыкающим вектором, а векторы а и b— составляющими векторами. Этот способ построения называется правилом треугольника .

Правило треугольника можно сформулировать и так: если А, В и С произвольные точки плоскости, то АВ +ВС=АС.

Это равенство называют правилом трех точек.

Сумму двух данных векторов а и b можно построить и следующим образом:

откладывая от произвольной точки О векторы ОА= а и ОВ = b, построим параллелограмм ОАСВ. Тогда вектор ОС (где [ОС>— диагональ параллелограмма) является искомой суммой: а+b=ОА+ОВ=ОА+АС=ОС=с. Этот способ построения называется правилом параллелограмма .

Для того чтобы построить сумму п данных векторов а _1, а ₂ , . а _n , нужно от произвольной точки О отложить вектор a ₁ , затем от конца вектора а ₁ отложить вектор а ₂ . наконец, от конца вектора а _n-1 отложить вектор а _n . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а _1, а конец — с концом вектора а _n , является искомой суммой: с= а _{1 +} а _{2 + … +} а _n .

б) Вычитание векторов.

Определение : Два вектора называются противоположными , если их сумма равна нулевому вектору.

Вектор, противоположный вектору а обозначают — а . Таким образом, а +(- а )=0. Ненулевые противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления.

Чтобы вычесть из вектора а вектор b, достаточно прибавить к вектору вектор, противоположный вектору b, т. е. a — b =a+ (- b) .

Другой способ построения разности векторов а и b состоит в следующем. Откладывая от произвольной точки О векторы ОА=а и ОС =-b (вектор, противоположный вектору b), получим ОВ==а— b.

в) Умножение вектора на число.

Определение : Произведением ненулевого вектора а на число т называется вектор, имеющий направление вектора а, если т>0 , и противоположное направление, если т . Длина этого вектора равна произведению длины вектора а на модуль числа т.

Произведение вектора а на число т обозначается та. При любых т и а векторы та и а коллинеарные и = * .

г) Угол между двумя векторами.

Определение : Углом между двумя ненулевыми векторами а и b называется угол между направлениями этих векторов:

(а, =φ, где 0 ≤ φ ≤ 180°.

Частные случаи: 1) если а b то φ =0; 2) если а b, то φ =180°.

Прямоугольная система координат.

Определение : Прямая, на которой выбрано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью .

Определение : Вектор е , имеющий длину =1 и направление, совпадающее с направлением оси, называется единичным вектором (ортом) этой оси.

Пусть на плоскости задана пара взаимно перпендикулярных векторов i и j ., отложенных от некоторого начала — точки О . Такую пару векторов называют прямоугольным базисом на плоскости.

Определение : Совокупность начала О и прямоугольного базиса ( i; j ) называют прямоугольной системой координат на плоскости. Точку О называют началом координат, а вектора i и j – координатными векторами .

Определение : Вектор, направленный из начала координат в произвольную точку М плоскости хОу , называется радиусом-вектором точки М и обозначается r : ОМ = r .

Определение : Проекции вектора r на координатные оси называются координатами вектора .

Координаты радиуса-вектора r =ОМ являются одновременно координатами точки М, т. е. конца радиуса-вектора r.

Если начало вектора а=АВ не совпадает с началом координат, то координаты вектора а и координаты его конца различны. В этом случае проекции вектора а=АВ на оси координат соответственно равны х=Хв-Ха и у=Ув-Уа, т.е.

Разложение вектора по координатным осям.

Разложение вектора а в базисе ( i; j ) имеет вид

где i — единичный вектор на оси Ох, а j — единичный вектор на оси Оу . Числа х и у называются координатами вектора а в базисе (i , j).

Векторы xi и yj называются составляющими (или компонентами ) вектора а по осям координат.

Если начало вектора а находится в точке А(Ха; Уа), а конец—в точке В (Хb; Ув), то разложение вектора а записывается в виде

Правила действий над векторами, заданными своими координатами.

координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат данного вектора на это число, т. е. ma = (mx ₁ ; my ₂ ).

8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками на плоскости.

Длина радиус – вектора а = (х;у) находится по формуле

(1)

Длина вектора а = АВ = (Хв-Ха; Ув-Уа) находится по формуле

(2)

С помощью формулы (2) вычисляется также расстояние между двумя точками на плоскости.

9. Деление отрезка в данном отношении.

Если отрезок АВ разделён точкой С в отношении АС:СВ =λ , то координаты точки с находятся по формулам

Хс=

Ус=

Если λ =1, то получаются формулы для нахождения координат середины отрезка

Хс=

Ус=

10. Скалярное произведение двух векторов.

Определение : Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(5)

Скалярное произведение векторов а=(х ₁ ; у ₁ ) и b=( х ₂ ; у ₂ ) находится по формуле:

(6)

11. Полярные координаты.

Элементами полярной системы координат являются:

луч, выходящий из точки О,— полярная ось Ор;

единица измерения длины /.

Положение точки М на плоскости задается расстоянием этой точки от полюса—длиной радиуса-вектора, выраженной в принятых единицах измерения, и углом между радиусом-вектором и полярной осью. Числа φ и г называются полярными координатами точки М, r— полярным радиусом , а φ — полярным углом . Полярные координаты точки записываются так: М( r ; φ) .

Если точка М совпадает с полюсом, то г=0, а значение φ не определено. Для любой другой точки плоскости г>0, а значение φ определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π.

Если полюс полярной системы координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная полуось Ох совпадает с полярной осью, то прямоугольные координаты точки выражаются через ее полярные координаты по формулам

Для выражения полярных координат точки через ее прямоугольные координаты используются формулы

(8)

3. После рассмотрения данной теории, разобрать решения следующих задач в тетради: Учебник Н.В. Богомолов “Практические занятия по математике” №17, №25(1), №35, №41, №58, №77.

4. Подводится итог урока. Анализируется работа учащихся.

Решить задачи №25(3), №33, №36, №64, №70, №78,

Изучить самостоятельно и выполнить конспект главы 21, § 1,2.

Практическая работа №1.

Тема: “Действия над векторами”.

Цель урока: Закрепить основные понятия векторной алгебры в ходе выполнения различных заданий. Оценить знания студентов по данной теме.

Цель урока. Проверка домашнего задания.

Сообщаю учащимся цель урока. Выполняю проверку домашнего задания на доске.

В рабочих тетрадях выполняют математический диктант.

Вопрос 1: Что называется вектором. Способы обозначения векторов.

Вопрос 2: Сформулировать определения коллинеарных векторов. Привести примеры.

Вопрос 3: Сформулировать определение соноправленных векторов. Привести примеры.

Вопрос 4: Сформулировать определение равных векторов. Привести примеры.

Вопрос 5: Сколько равных векторов можно отложить на плоскости от данной точки? Способ построения.

Вопрос 6: Что называется суммой векторов? Сформулировать правила треугольника и параллелограмма.

Вопрос 7: Что называется углом между векторами?

Вопрос 8: Сформулировать определение скалярного произведения векторов. Записать формулу вычисления скалярного произведения.

Вопрос 9: Записать условие коллинеарности, перпендикулярности векторов.

Вопрос 10: Что называется базисом на плоскости? Сформулировать определение прямоугольной системы координат.

Вопрос 11: что называется полярной системой координат? Записать формулы перехода из одной системы в другую.

Вопрос 12: Что называется длиной вектора. Записать формулу вычисления длины вектора.

Вопрос 13: Записать формулы нахождения координат середины отрезка.

В рабочих тетрадях выполняют решения задач, предложенных преподавателем.

Учебник Н.В. Богомолов “Практические занятия по математике” №118, №121, стр. 285.

После выполнения заданий рабочие тетради сдаются на проверку преподавателю. В контрольных тетрадях выполняется практическая работа. Каждый студент получает индивидуальное задание по карточкам.

Подводится итог урока. Выполняется анализ работы студентов.

Разработать кейс-папку на тему “Векторы на плоскости”.

Тема: Общее уравнение прямой и плоскости. Линии и поверхности II порядка.

Цель урока: Рассмотреть общее уравнение прямой и плоскости. Ввести определения кривых второго порядка: окружности, эллипса, гиперболы, параболы с вершиной в начале координат. Закрепит рассмотренные понятия в ходе выполнения заданий.

Цель урока. Анализ практической работы.

Объяснение нового материала.

Закрепление нового материала.

Сообщаю учащимся цель урока. Выполняю анализ практической работы.

В тетрадях записывают лекционный материал.

п.1. Общее уравнение прямой.

Определение: Уравнение первой степени относительно переменных х и у , т. е. уравнение вида

при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю. называется общим уравнением прямой.

Отметим частные случаи общего уравнения прямой.

Проходит через начало координат Параллельна оси Ох

Параллельна оси Оу

Совпадает с осью Ох

Совпадает с осью Оу

п. 2. Векторное уравнение прямой.

Пусть l —прямая на плоскости х0у , Мо(хо,уо )— точка на этой прямой, а п=(А; В) — ненулевой вектор, перпендикулярный прямой / (он называется нормальным вектором прямой ). Возьмём точку М (х, у) — произвольная точка на прямой /, отличная от Мо. Рассмотрим вектор МоМ . Он имеет следующие координаты

Проведём радиус – векторы в каждую из данных точек : r и r ₀ . Рассмотри треугольник ОМ ₀ М . По правилу треугольника сложения векторов получаем:

Выразим из данного равенства вектор МоМ, получаем

Так как вектор МоМ принадлежит прямой l , а вектор п=(А; В) перпендикулярен прямой l , то данные вектора будут перпендикулярными, т.е. п┴ МоМ . По необходимому и достаточному условию перпендикулярности векторов их скалярное произведение должно быть равно нулю. Получаем равенство:

Подставим в полученное равенство вместо вектора МоМ правую часть равенства (**), получим:

Уравнение (1) называется векторное уравнение прямой .

Если его переписать в координатной форме, то получится уравнение

п. 3. Каноническое уравнение прямой.

Пусть l —прямая на плоскости х0у , Мо(хо,уо )— точка на этой прямой, а q=(m; n) — ненулевой вектор, коллинеарный прямой / (он называется направляющим вектором прямой ). Возьмём точку М (х, у) — произвольная точка на прямой /, отличная от Мо. Рассмотрим вектор МоМ . Он имеет следующие координаты

Так как вектор МоМ принадлежит прямой l , а вектор q=(m; n) коллинеарен прямой l , то данные вектора будут коллинеарными. По условию коллинеарности векторов их координаты должны быть пропорциональными. Получаем равенство:

Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой .

п. 4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

где k= tga – угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, а b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

п.5. Условие параллельности двух прямых.

Условие параллельности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами у = k ₁ х +b ₁ и у = k ₂ х +b ₂ имеет вид

п.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(х _а ; у _а ) и В(х _в ; у _в ) имеет вид:

у – у _а = ( х – х _а )

Определение: Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r имеет вид

(1)

Уравнение окружности с центром в точке 0 ₁ (а, b ) и радиусом r имеет вид

(2)

Уравнение окружности в общем виде записывается так:

(3)

где А, В. Си D — постоянные коэффициенты.

Пример: Составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным

Решение: Так как центр окружности находится в начале координат, то для составления уравнения

окружности используем формулу (1):

х 2 + у 2 =( ) 2 или х 2 + у 2 =3.

Ответ: х 2 + у 2 =3.

Пример: Составить уравнение окружности с центром в точке (-2;-5) и радиусом равным

Решение: Так как центр окружности находится в (-2;-5), то для составления уравнения

окружности используем формулу (2):

(х-(-2)) 2 +( у-(-5)) 2 =(3) 2 или (х+2) 2 + (у+5) 2 =9.

Ответ: (х+2) 2 + (у+5) 2 =9.

Определение: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), большая расстояния между фокусами (2с).

Уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, имеет вид

(1)

где а— длина большой полуоси; b — длина малой полуоси (рис. ). Зависимость между параметрами а, b и с выражается соотношением

(2)

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с к большой оси 2а:

(3)

Если фокусы эллипса лежат на оси Оу (рис. ), то его уравнение имеет вид

(4)

Во всех задачах на эллипс предполагается, что оси симметрии эллипса совпадают с осями координат.

Определение: Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая расстояния между фокусами (2с).

Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, имеет вид

(1)

где а— длина действительной полуоси; b— длина мнимой полуоси (рис.) Зависимость между параметрами а, b и с выражается соотношением

(2)

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к ее действительной оси:

(3)

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

(4)

Если действительная и мнимая оси гиперболы равны (т. е. a= b ), то гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы записывается в виде

(5)

а уравнения ее асимптот

(6)

Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу (рис. ), то ее уравнение имеет вид

(7)

а уравнения асимптот такой гиперболы

(8)

п. 4. Парабола с вершиной в начале координат.

Определение: Параболой называется множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и отданной прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вправо, имеет вид

(1)

где р>0 (параметр параболы)—расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы х=—р/2 . (рис. а)

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены влево (рис. б), имеет вид

(2)

Уравнение ее директрисы х=р/2 .

После рассмотрения новой темы разбираем в тетрадях примеры задач из учебника Н.В. Богомолов “Практические задачи по математике”, стр. 310, №48, №74, №90.

Подводится итог урока. Анализируется работа учащихся.

Задачи из учебника №52, №72, №91.

Практическая работа №2.

Тема: Кривые второго порядка.

Цель урока: Обеспечить усвоение знаний по теме “Кривые второго порядка”. Закрепить полученные знания по данной тема. Оценить знания студентов.

Цель урока. Проверка домашнего задания.

Сообщаю учащимся цель урока. Выполняю проверку домашнего задания. Разбираю на доске задачи, вызвавшие затруднения.

Вопрос 1: Что называется общим уравнением прямой? Привести примеры.

Вопрос 2: Записать всевозможные случаи общего уравнения прямой. Привести примеры.

Вопрос 3: Сформулировать условие параллельности прямых. Привести примеры параллельных прямых.

Вопрос 4: Какие кривые второго порядка вы знаете?

Вопрос 5: Сформулировать определение окружности. Записать уравнения окружностей в зависимости от расположения центра.

Вопрос 6: Что называется эксцентриситетом эллипса? Записать формулу вычисления е .

Вопрос 7: Перечислить координаты вершин и фокусов у эллипса.

Вопрос 8: Что называется гиперболой? Записать уравнение гиперболы.

Вопрос 9: Сколько вершин у гиперболы? Записать их координаты.

Вопрос 10: Записать уравнения асимптот гиперболы.

Вопрос 11: Что называется параболой? Записать уравнение параболы, ветви которой направлены вправо; влево?

После устного опроса разбираем решение задач на доске:

Учебник Н.В. Богомолов “Практические задания по математике”, стр. 312, №55, №58, №79, №95(1).

Рабочие тетради сдаются на проверку преподавателю. В контрольных тетрадях выполняется практическая работа. Каждый студент получает индивидуальное задание по карточкам.

Подводится итог урока.

Учебник Н.В. Богомолов “Практические задания по математике”, стр. 312, №60, №81, №96.

Разработать кейс-папку по теме “Кривые второго порядка”

Тема: Предел функции. Теоремы о пределах. Два “замечательных” предела.

Цель урока: Ввести определение предела функции. Сформулировать теоремы о пределах. Рассмотреть способы вычисления пределов. Записать два “замечательных” предела.

Объяснение нового материала.

Закрепление нового материала.

Сообщаю учащимся цель урока. Выполняю анализ практической работы.

Начнём рассмотрение новой темы с рассмотрения графика функции:

Найдём по графику значение функции при х стремящемся к 2. Значение функции стремится к 6. Число 6 является пределом функции при х стремящемся к 2.

Определение: Число А называется пределом функции f(x) при х → а, если для любого числа ε>0 можно указать такое δ>0, что для любого ха, удовлетворяющего неравенству 0

f(x) —A . В этом случае пишут lim f(x) =A.

Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой при х→а, если lim f (x)=0.

Функция f(x) называется бесконечно большой при х→а, если lim f (x)=∞.

Отметим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

1°. Если функции f(x) и g(х ) — бесконечно малые при х→а, то их сумма f(x)+ g(х ) при х→а также является бесконечно малой.

2°. Если функция f(x)—бесконечно малая при х→а, a F(x)—ограниченная функция, то их произведение f(x) F (х) есть функция бесконечно малая.

Следствие . Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.

3°. Если при х→а функция f(x) имеет конечный предел limf(x)=A, a

функция φ (х)— бесконечно большая, то

4°. Если функция f(x) —бесконечно малая при х→а, то функция 1 /f(x) — бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности точки а функция f(x) не обращается в нуль. Наоборот, если при х→а функция φ (х) — бесконечно большая, то функция 1 / φ(х) — бесконечно малая.

Между бесконечно малой функцией и функцией, имеющей конечный предел, существует следующая зависимость:

Если функция f(x) имеет конечный предел при х→а, то ее можно представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при х→а. Наоборот, если функция f(x) может быть представлена в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при х→а, то эта функция имеет конечный предел при х→а, который равен значению постоянной.

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Если существуют пределы функций f(x) и φ(х), то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(x) и φ(х)

Теорема 2 . Если существуют пределы функций f(x) и φ(х) при х→а, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(x) и φ(х) :

Теорема 3 . Если существуют пределы функций f(x) и φ(х) при х → а и предел функции φ(х) отличен от нуля, то существует также предел отношения f(x)/ φ(х), равный отношению пределов функций f(x) и φ(х)

1 . Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

2 . Если n —натуральное число, то

3 . Предел многочлена (целой рациональной функции)

4. Предел дробно-рациональной функции

при х→а равен значению этой функции при х=а, если а принадлежит области определения функции, т. е. lim R(x)=R(a).

Пример 1: Вычислить пределы

а) б) в)

а) Здесь пределы числителя и знаменателя при x →0 равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при x→0 получается отношение двух бесконечно малых величин.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем

б) Пределы числителя и знаменателя при х→3 равны нулю. Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле ax 2 + bx + c = a(x—х ₁ )(x—x ₂ ), где х ₁ и х ₂ — корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на х-3 . Используя следствие 4, получим

в) Пределы числителя и знаменателя при х→0 равны нулю. Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем сократив дробь на х, получим

Пример 2: Вычислить пределы

а) б) в) г) .

а) Первые три слагаемых при х→ ∞ пределов не имеют, поэтому следствием 3 непосредственно воспользоваться нельзя. Вынося х 3 за скобки, получим

б) При х→∞ знаменатель 4х+1 неограниченно растет, т.е. является

величиной бесконечно большой, а обратная величина бесконечно малой. Произведение 5 бесконечно малой на ограниченную величину постоянная (частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, и предел ее при х→∞ равен нулю. Следовательно,

в) При х→ ∞ числитель и знаменатель—величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение ∞ /∞ , которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить