Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Видео:Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулы

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = — направляющий вектор прямой l , M1( x 1, y 1, z 1) — точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M0( x 0, y 0, z 0) до прямой l можно найти, используя формулу

d =| M0M1 × s |
| s |

Видео:Расстояние от точки до прямой (метод координат)Скачать

Расстояние от точки до прямой (метод координат)

Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если задано уравнение прямой l то несложно найти s = — направляющий вектор прямой и M1( x 1, y 1, z 1) — координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d , а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s .

Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

Видео:7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)Скачать

7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

x — 3=y — 1=z + 1
212

Из уравнения прямой получим:

s = — направляющий вектор прямой;
M1(3; 1; -1) — точка лежащая на прямой.

M0M1 × s =ijk=
3-1-4
212

d = | M0M1 × s | | s | = √ 2 2 + (-14) 2 + 5 2 √ 2 2 + 1 2 + 2 2 = √ 225 √ 9 = 15 3 = 5

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 5.

Видео:18. Расстояние от точки до прямой в пространствеСкачать

18. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Видео:Метод координат . Урок № 8. Нахождение расстояния от точки до плоскости.Скачать

Метод координат . Урок № 8. Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая O x и лежащая на ней произвольная точка А . Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число х A , оно же – координата точки А .

Расстояние от точки до вектора по координатам

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О , необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату — 4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние О А равно 3 ; во втором случае О А = 4 .

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О ) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4 111 .

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то O A = x A (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то O A = — x A . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа x A .

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

  • 0, если точка совпадает с началом координат;
  • x A , если x A > 0 ;
  • — x A , если x A 0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A

Расстояние от точки до вектора по координатам

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B , лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты x A и x B : A B = x B — x A .

Расстояние от точки до вектора по координатам

Видео:Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B , лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат O x y с заданными координатами: A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат O x и O y и получим в результате точки проекции: A x , A y , B x , B y . Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

— если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

— если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси O x (оси абсцисс), то точки и совпадают, а | А В | = | А y B y | . Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то A y B y = y B — y A , а, следовательно A B = A y B y = y B — y A .

Расстояние от точки до вектора по координатам

— если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси O y (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: A B = A x B x = x B — x A

Расстояние от точки до вектора по координатам

— если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Мы видим, что треугольник А В С является прямоугольным по построению. При этом A C = A x B x и B C = A y B y . Используя теорему Пифагора, составим равенство: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а затем преобразуем его: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B — x A 2 + y B — y A 2 = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 = 0 2 + ( y B — y A ) 2 = y B — y A

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

A B = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 = ( x B — x A ) 2 + 0 2 = x B — x A

Видео:Расстояние от точки до прямойСкачать

Расстояние от точки до прямой

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: A x B x , A y B y и A z B z

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

A x B x = x B — x A , A y B y = y B — y A , A z B z = z B — z A

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B — x A 2 + y B — y A 2 + z B — z A 2 = = ( x B — x A ) 2 + ( y B — y A ) 2 + z B — z A 2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

A B = x B — x A 2 + y B — y A 2 + ( z B — z A ) 2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

— лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Видео:Метод координат . Урок № 7. Нахождение расстояния от точки до прямой.Скачать

Метод координат . Урок № 7. Нахождение расстояния от точки до прямой.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A ( 1 — 2 ) и B ( 11 + 2 ) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B .

Решение

  1. Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 — 2 = 2 — 1
  2. Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 — ( 1 — 2 ) = 10 + 2 2

Ответ: O A = 2 — 1 , A B = 10 + 2 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A ( 1 , — 1 ) и B ( λ + 1 , 3 ) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние А В будет равно 5 .

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = ( x B — x A ) 2 + y B — y A 2

Подставив реальные значения координат, получим: A B = ( λ + 1 — 1 ) 2 + ( 3 — ( — 1 ) ) 2 = λ 2 + 16

А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Ответ: А В = 5 , если λ = ± 3 .

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат O x y z и лежащие в нем точки A ( 1 , 2 , 3 ) и B — 7 , — 2 , 4 .

Решение

Для решения задачи используем формулу A B = x B — x A 2 + y B — y A 2 + ( z B — z A ) 2

Подставив реальные значения, получим: A B = ( — 7 — 1 ) 2 + ( — 2 — 2 ) 2 + ( 4 — 3 ) 2 = 81 = 9

Видео:Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.Скачать

Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Расстояние от точки до вектора по координатам
Расстояние от точки до вектора по координатам

Длина вектора Расстояние от точки до вектора по координатамв пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Расстояние от точки до вектора по координатам

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Расстояние от точки до вектора по координатами Расстояние от точки до вектора по координатам.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Произведение вектора на число:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Скалярное произведение векторов:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Косинус угла между векторами:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Расстояние от точки до вектора по координатами Расстояние от точки до вектора по координатам. Для этого нужны их координаты.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Запишем координаты векторов:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

и найдем косинус угла между векторами Расстояние от точки до вектора по координатами Расстояние от точки до вектора по координатам:

Расстояние от точки до вектора по координатам

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Координаты точек A, B и C найти легко:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Расстояние от точки до вектора по координатам

Координаты вершины пирамиды: Расстояние от точки до вектора по координатам

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Найдем координаты векторов Расстояние от точки до вектора по координатами Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

и угол между ними:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Запишем координаты точек:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Найдем координаты векторов Расстояние от точки до вектора по координатами Расстояние от точки до вектора по координатам, а затем угол между ними:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Видеоурок "Расстояние от точки до прямой"Скачать

Видеоурок "Расстояние от точки до прямой"

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Расстояние от точки до вектора по координатам

То есть A + C + D = 0.

Расстояние от точки до вектора по координатамРасстояние от точки до вектора по координатам

Аналогично для точки K:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Получили систему из трех уравнений:

Расстояние от точки до вектора по координатам

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Решив систему, получим:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Вектор Расстояние от точки до вектора по координатам— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Расстояние от точки до вектора по координатамимеет вид:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Расстояние от точки до вектора по координатамперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Расстояние от точки до вектора по координатам

Напишем уравнение плоскости AEF.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Берем уравнение плоскости Расстояние от точки до вектора по координатами по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Расстояние от точки до вектора по координатамРасстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Расстояние от точки до вектора по координатам

Нормаль к плоскости AEF: Расстояние от точки до вектора по координатам

Найдем угол между плоскостями:

Расстояние от точки до вектора по координатам

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Расстояние от точки до вектора по координатам

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Расстояние от точки до вектора по координатамили, еще проще, вектор Расстояние от точки до вектора по координатам.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Координаты вектора Расстояние от точки до вектора по координатам— тоже:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Расстояние от точки до вектора по координатам

Получим:
Расстояние от точки до вектора по координатам

Ответ: Расстояние от точки до вектора по координатам

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Расстояние от точки до вектора по координатам— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Расстояние от точки до вектора по координатам— нормаль к плоскости α.

Расстояние от точки до вектора по координатам

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Расстояние от точки до вектора по координатам

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Находим координаты вектора Расстояние от точки до вектора по координатам.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Расстояние от точки до вектора по координатам.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Ответ: Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Расстояние от точки до вектора по координатам

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Расстояние от точки до вектора по координатам, AD = Расстояние от точки до вектора по координатам. Высота параллелепипеда AA1 = Расстояние от точки до вектора по координатам. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Расстояние от точки до вектора по координатам

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Расстояние от точки до вектора по координатамРасстояние от точки до вектора по координатам

Решим эту систему. Выберем Расстояние от точки до вектора по координатам

Тогда Расстояние от точки до вектора по координатам

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Расстояние от точки до вектора по координатам

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Расстояние от точки до вектора по координатам

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

📺 Видео

Расстояние от точки до плоскости. Метод координатСкачать

Расстояние от точки до плоскости.  Метод координат

Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать

Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.

10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскостиСкачать

10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскости

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"

Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекции

Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

Определить расстояние от точки С до прямой АВ. Метод прямоугольного треугольника.Скачать

Определить расстояние от точки С до прямой АВ. Метод прямоугольного треугольника.

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Расстояние от точки до плоскости. 11 класс.Скачать

Расстояние от точки до плоскости. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: