Расстояние между векторами по координатам

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Длина вектора Расстояние между двумя точками в пространстве

Видео:Расстояние между двумя точками с заданными координатамиСкачать

Расстояние между двумя точками с заданными координатами

Длина вектора в пространстве

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Длина вектора a выражается через его координаты следующей формулой:

Расстояние между векторами по координатам

Пример
Длина вектора $aleft < right>$ равна

Видео:Расстояние между точками по координатам.Скачать

Расстояние между точками по координатам.

Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние d между точками в пространстве A1<x1;y1;z1>, A2<x2;y2;z2> представляется формулой

Расстояние между векторами по координатам

Пример
Расстояние между точками A1 и A2

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 8

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

Видео:Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать

Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.

3 комментария

найти расстояние между точками с(-2;1;-2) д (-1;2;1) м (-1;0;2) н (1;-1;2) найти 3 вектора сд — 2 вектора мн

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Расстояние между векторами по координатам

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Расстояние между векторами по координатам

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Расстояние между векторами по координатам
Расстояние между векторами по координатам

Длина вектора Расстояние между векторами по координатамв пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Расстояние между векторами по координатам

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Расстояние между векторами по координатам

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Расстояние между векторами по координатам

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Расстояние между векторами по координатами Расстояние между векторами по координатам.

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Произведение вектора на число:

Расстояние между векторами по координатам

Скалярное произведение векторов:

Расстояние между векторами по координатам

Косинус угла между векторами:

Расстояние между векторами по координатам

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Расстояние между векторами по координатам

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Расстояние между векторами по координатами Расстояние между векторами по координатам. Для этого нужны их координаты.

Расстояние между векторами по координатам

Запишем координаты векторов:

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

и найдем косинус угла между векторами Расстояние между векторами по координатами Расстояние между векторами по координатам:

Расстояние между векторами по координатам

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Расстояние между векторами по координатам

Координаты точек A, B и C найти легко:

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Расстояние между векторами по координатам

Координаты вершины пирамиды: Расстояние между векторами по координатам

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Найдем координаты векторов Расстояние между векторами по координатами Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

и угол между ними:

Расстояние между векторами по координатам

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Расстояние между векторами по координатам

Запишем координаты точек:

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Расстояние между векторами по координатам

Найдем координаты векторов Расстояние между векторами по координатами Расстояние между векторами по координатам, а затем угол между ними:

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Расстояние между точкамиСкачать

Расстояние между точками

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Расстояние между векторами по координатам

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Расстояние между векторами по координатам

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Расстояние между векторами по координатам

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Расстояние между векторами по координатам

То есть A + C + D = 0.

Расстояние между векторами по координатамРасстояние между векторами по координатам

Аналогично для точки K:

Расстояние между векторами по координатам

Получили систему из трех уравнений:

Расстояние между векторами по координатам

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Расстояние между векторами по координатам

Решив систему, получим:

Расстояние между векторами по координатам

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Расстояние между векторами по координатам

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Расстояние между векторами по координатам

Вектор Расстояние между векторами по координатам— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Расстояние между векторами по координатамимеет вид:

Расстояние между векторами по координатам

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Расстояние между векторами по координатам

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Расстояние между векторами по координатам

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Расстояние между векторами по координатам

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Расстояние между векторами по координатамперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Расстояние между векторами по координатам

Напишем уравнение плоскости AEF.

Расстояние между векторами по координатам

Берем уравнение плоскости Расстояние между векторами по координатами по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Расстояние между векторами по координатамРасстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Расстояние между векторами по координатам

Нормаль к плоскости AEF: Расстояние между векторами по координатам

Найдем угол между плоскостями:

Расстояние между векторами по координатам

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Расстояние между векторами по координатам

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Расстояние между векторами по координатамили, еще проще, вектор Расстояние между векторами по координатам.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Координаты вектора Расстояние между векторами по координатам— тоже:

Расстояние между векторами по координатам

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Расстояние между векторами по координатам

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Расстояние между векторами по координатам

Получим:
Расстояние между векторами по координатам

Ответ: Расстояние между векторами по координатам

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Расстояние между векторами по координатам— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Расстояние между векторами по координатам— нормаль к плоскости α.

Расстояние между векторами по координатам

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Расстояние между векторами по координатам

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Находим координаты вектора Расстояние между векторами по координатам.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Расстояние между векторами по координатам.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Расстояние между векторами по координатам

Ответ: Расстояние между векторами по координатам

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Расстояние между векторами по координатам

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Расстояние между векторами по координатам, AD = Расстояние между векторами по координатам. Высота параллелепипеда AA1 = Расстояние между векторами по координатам. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Расстояние между векторами по координатам

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Расстояние между векторами по координатамРасстояние между векторами по координатам

Решим эту систему. Выберем Расстояние между векторами по координатам

Тогда Расстояние между векторами по координатам

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Расстояние между векторами по координатам

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Расстояние между векторами по координатам

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 1. Координаты точки. Расстояние между двумя точкамиСкачать

ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 1. Координаты точки. Расстояние между двумя точками

Векторы. Метод координат. Угол между прямыми, плоскостями. Расстояние от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми

(<color<textbf>>)
(bullet) Если в пространстве заданы две точки (A(x_1;y_1;z_1)) и (B(x_2;y_2;z_2)) , то вектор (overrightarrow) имеет координаты [overrightarrow = ]
(bullet) Если в пространстве заданы два вектора (vec =) и (vec= ) , то:

(qquad blacktriangleright) разность этих векторов (vec-vec=)

Расстояние между векторами по координатам

(bullet) Справедливы следующие утверждения:

I. Скалярное произведение ненулевых векторов (их длины не равны нулю) равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны: [(vec, vec)=0 quadLeftrightarrowquad vecperp vec]

II. Длина вектора равна квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя: [|vec|=sqrt]

III. Переместительный закон: [(vec, vec)=(vec, vec)]

(<color<textbf>>)
(bullet) Если (vec=) – нормаль к плоскости, то уравнение плоскости имеет вид [ax+by+cz+d=0] Для того, чтобы найти (d) , нужно подставить в уравнение плоскости вместо (x, y, z) координаты любой точки, лежащей в этой плоскости. Пример: если (vec=) – нормаль к плоскости, (O(4;5;6)) – точка из плоскости, то справедливо: (1cdot 4+2cdot 5+3cdot 6+d=0) , откуда (d=-32) , следовательно, уравнение плоскости имеет вид (x+2y+3z-32=0) . (bullet) Уравнение плоскости можно составить, используя три точки из плоскости, не лежащие на одной прямой.
Пусть (A(1;0;0), B(0;3;4), C(2;0;5)) – точки из плоскости. Тогда уравнение плоскости можно найти, решив систему: [begin 1cdot a+0cdot b+0cdot c+d=0\ 0cdot a+3cdot b+4cdot c+d=0\ 2cdot a+0cdot b+5cdot c+d=0end quadRightarrowquad begin d=-a\ 3b+4c-a=0\ a+5c=0endquadRightarrowquad begin d=-a\ a=-5c\ b=-3cendquadRightarrowquadbegina=-5c\ b=-3c\ d=5cend] Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: [-5ccdot x-3ccdot y+ccdot z+5c=0] Можно разделить обе части на (c) , так как (cne 0) (иначе (a=b=c=d=0) ), следовательно, уравнение плоскости имеет вид [-5x-3y+z+5=0]

(<color<textbf>>)
(bullet) Если (M(x_0;y_0;z_0)) — некоторая точка вне плоскости (phi) , (ax+by+cz+d=0) — уравнение плоскости (phi) , то расстояние от точки (M) до плоскости (phi) ищется по формуле: [rho(M, phi)=dfrac<sqrt
>]
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно
— построить плоскость, проходящую через одну из них и параллельную другой;
— найти уравнение этой плоскости;
— найти расстояние от любой точки первой прямой до этой плоскости.

📽️ Видео

Геометрия 9 класс (Урок№8 - Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№8 - Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.)

Математика 6 Расстояние между точками координатной прямойСкачать

Математика 6 Расстояние между точками координатной прямой

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Расстояние между точками на координатной прямой 1 примерСкачать

Расстояние между точками на координатной прямой 1 пример

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

Расстояние между двумя точками (прямоугольная система координат на плоскости).Скачать

Расстояние между двумя точками (прямоугольная система координат на плоскости).

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: