Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Геометрия. 10 класс
Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. признаки скрещивающихся прямых;
  2. определение углов с сонаправленными сторонами;
  3. доказательство теоремы о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых;
  4. доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

  1. Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.
  1. Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
  2. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые

На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.

Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.

Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

  1. Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
    2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.
    3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.
    Теорема доказана.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
Теорема доказана.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ

Любая прямая, например ОО1, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О1А1 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Рисунок 4 – сонаправленные лучи

Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)

Доказательство:

при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

  1. Стороны углов сонаправлены, а, значит, параллельны. Проведем через них плоскости- как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки OA1 и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA1O1.

Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA1 и OO1.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB1O1 параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ1 и OO1.

4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит, они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.

По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1.

5.Из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следует, что треугольники AOB и A1 O1 B1. равны по трем сторонам, и поэтому О= О1.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Взаимное расположение прямых в пространстве. Свойства параллельных прямых. Признаки скрещивающихся прямых

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т. е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

(a || b) (прямая а параллельна прямой b)

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

    1. параллельно
    1. пересекаются
    1. скрещиваются
(Min b, aparallel b)

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

отрезок (CD || AB)

Свойства параллельных прямых

  1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
(a capalpha=M, bparallel a Rightarrow bcap alpha)
  1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
(aparallel c, bparallel c Rightarrow aparallel b)

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

(asubsetalpha, bcap alpha=K, \ Knotin a Rightarrow a и b — скрещивающиеся прямые)

Точки А и В – середины ребер параллелепипеда. Определите взаимное расположение прямых (a и b) .

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного параллелепипеда. Найдите параллельные прямые.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Определите взаимное расположение прямых (a и b) .

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные высказывания.

1) Прямые СD и MN скрещивающиеся.

2) Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости.

3) Прямые СD и MN пересекаются.

4) Прямые АВ и СD скрещивающиеся.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?

Две прямые в пространстве называются параллельными, если

Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда

Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?

Две прямые пересекаются. Что это значит?

Две прямые называются скрещивающимися, если

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.

10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.

  • Оглавление
  • Занятия
  • Обсуждение
  • О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

1. Тема урока

Решение простейших задач на параллельность прямой и плоскости.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

2. Определение параллельных прямых

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

3. Теорема о параллельных прямых

Теорема о параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Пояснение к теореме

Дана прямая а, и точка М, не лежащая на ней: Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости(Рис. 2.). Тогда через точку М проходит только одна прямая b, которая параллельная прямой а.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

4. Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Пояснение к лемме

Даны две параллельные прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостив точке М. Лемма утверждает, что прямая b тоже пересекает плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостив некоторой точке, назовем ее N (Рис. 3.).

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

5. Теорема о трех параллельных прямых

Теорема о параллельности трех прямых.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Пояснение к теореме.

Даны три прямые а, b, с, такие, что а параллельна с и b параллельна с (Рис. 4.). Теорема утверждает, что прямая а параллельна прямой b.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

6. Случаи взаимного расположения прямой и плоскости

Аксиома А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости

Из аксиомы А2 вытекают три случая взаимного расположения прямой и плоскости.

1) Прямая а целиком лежит в плоскости α: Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости(Рис. 5.).

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

2) Прямая а имеет одну общую точку с плоскостью α:Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Другими словами, прямая а и плоскость α пересекаются (Рис. 6.).

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

3) Прямая a не имеет общих точек с плоскостью α: Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости(Рис. 7.).

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

7. Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)

8. Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пояснение к признаку.

Дана плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости, прямая а, которая параллельна прямой b, лежащей в плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости(Рис. 8.). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, этого достаточно, чтобы прямая а была параллельна всей плоскости.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:7. Скрещивающиеся прямыеСкачать

7. Скрещивающиеся прямые

9. Утверждение 1

Из данного признака вытекает два утверждения, полезных для решения задач.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Дана плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостии прямая а, которая параллельна плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости(Рис. 9.). Через прямую а можно провести много плоскостей, которые пересекают плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Проведем через прямую а плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостии Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости– прямая b будет параллельна прямой а.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостейСкачать

Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей

10. Утверждение 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Есть две параллельные прямые а и b и плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Одна из параллельных прямых, например, прямая а, параллельна плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Отсюда следует, согласно утверждению, что прямая b либо параллельна плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости(Рис. 10.), либо лежит в плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости(Рис. 11.).

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

11. Задача 1

Задача 1.

Параллельные прямые а и b лежат в плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости.

Дано: а || b, Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Доказать: Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Доказательство: (Рис. 12.)

Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Так как две точки прямой с принадлежат плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости, то и вся прямая лежит в плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости, в силу аксиомы А2.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

12. Задача 2

Задача 2.

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости.

Дано: ABCD – параллелограмм, Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Доказать: прямые AD и DC пересекают плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Доказательство: (Рис. 13.)

Обозначим плоскость АВС как Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Тогда плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостии Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостипересекаются по прямой MN. Прямая АВ пересекается с плоскостью Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости, и прямые АВ и CD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая CD также пересекается с плоскостью Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Аналогично, прямая ВCпересекается с плоскостью Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости, и прямые ВС и АD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая АD также пересекается с плоскостью Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости, что и требовалось доказать.

Давайте найдем эти точки пересечения. Пусть прямая CD пересекается с плоскостью Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостив точке Q, а прямая АD пересекается с плоскостью Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостив точке F.

Плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостии Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскостипересекаются по прямой MN, значит все их общие точки лежат на этой прямой. Продолжим прямые CD и АD до их пересечения с прямой MNи получим соответственно точки Q и F (Рис. 14.).

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Видео:10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

13. Задача 3

Задача 3.

Средняя линия трапеции лежит в плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости, не совпадающей с плоскостью Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Пересекаются ли прямые, содержащие основания трапеции, с плоскостью Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости?

Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия. Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Найти: пересекаются ли прямые AD и ВC плоскость Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости.

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Вспомним, что средняя линия трапеции параллельна ее основанием. Значит, прямые AD и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, AD параллельна плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости.

Аналогично, прямые ВC и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, ВC параллельна плоскости Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости.

Ответ задачи: нет, не пересекаются.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ 10 11 класс стереометрияСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ 10 11 класс стереометрия

14. Задача 4

Задача 4.

Точка D не лежит плоскости прямоугольника KLMN. Доказать, что MN || DKL.

Дано: KLMN – прямоугольник, Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Доказать: MN || DKL

Расположение двух прямых одна из которых лежит в плоскости а другая параллельна этой плоскости

Доказательство: (Рис. 16.)

Прямые KL и MN параллельны, а прямая KL принадлежит плоскости DKL. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN параллельна плоскости DKL, что и требовалось доказать.

Видео:10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

15. Итоги урока

Итак, мы рассмотрели теорию о параллельности прямой и плоскости, применили эту теорию к решению задач. Далее эта теория будет использована при рассмотрении вопроса о параллельности плоскостей.

🎬 Видео

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 классСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 класс

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)
Поделиться или сохранить к себе: