- Взаимное расположение прямых в пространстве. Свойства параллельных прямых. Признаки скрещивающихся прямых
- 10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
- 10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
- Вопросы
- Поделись с друзьями
- Комментарии преподавателя
- 1. Тема урока
- 2. Определение параллельных прямых
- 3. Теорема о параллельных прямых
- 4. Лемма
- 5. Теорема о трех параллельных прямых
- 6. Случаи взаимного расположения прямой и плоскости
- 7. Определение параллельности прямой и плоскости
- 8. Признак параллельности прямой и плоскости
- 9. Утверждение 1
- 10. Утверждение 2
- 11. Задача 1
- 12. Задача 2
- 13. Задача 3
- 14. Задача 4
- 15. Итоги урока
- 🎬 Видео
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- признаки скрещивающихся прямых;
- определение углов с сонаправленными сторонами;
- доказательство теоремы о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых;
- доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
Глоссарий по теме
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
- Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.
- Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
- Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.
Открытый электронный ресурс:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.
Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)
Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые
На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.
Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.
Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:
Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой
Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен
Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).
- Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.
3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.
Теорема доказана.
Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD
Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:
| |||||
| |||||
|
(Min b, aparallel b) |
---|
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
отрезок (CD || AB) |
Свойства параллельных прямых
- Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
(a capalpha=M, bparallel a Rightarrow bcap alpha) |
---|
- Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
(aparallel c, bparallel c Rightarrow aparallel b) |
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
(asubsetalpha, bcap alpha=K, \ Knotin a Rightarrow a и b — скрещивающиеся прямые) |
Точки А и В – середины ребер параллелепипеда. Определите взаимное расположение прямых (a и b) .
Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного параллелепипеда. Найдите параллельные прямые.
Определите взаимное расположение прямых (a и b) .
Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные высказывания.
1) Прямые СD и MN скрещивающиеся.
2) Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости.
3) Прямые СD и MN пересекаются.
4) Прямые АВ и СD скрещивающиеся.
Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?
Две прямые в пространстве называются параллельными, если
Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда
Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?
Две прямые пересекаются. Что это значит?
Две прямые называются скрещивающимися, если
Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать
10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
- Оглавление
- Занятия
- Обсуждение
- О курсе
Вопросы
Задай свой вопрос по этому материалу!
Поделись с друзьями
Комментарии преподавателя
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
1. Тема урока
Решение простейших задач на параллельность прямой и плоскости.
Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
2. Определение параллельных прямых
Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).
Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать
3. Теорема о параллельных прямых
Теорема о параллельных прямых.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Пояснение к теореме
Дана прямая а, и точка М, не лежащая на ней: (Рис. 2.). Тогда через точку М проходит только одна прямая b, которая параллельная прямой а.
Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
4. Лемма
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Пояснение к лемме
Даны две параллельные прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость в точке М. Лемма утверждает, что прямая b тоже пересекает плоскость в некоторой точке, назовем ее N (Рис. 3.).
Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать
5. Теорема о трех параллельных прямых
Теорема о параллельности трех прямых.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Пояснение к теореме.
Даны три прямые а, b, с, такие, что а параллельна с и b параллельна с (Рис. 4.). Теорема утверждает, что прямая а параллельна прямой b.
Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать
6. Случаи взаимного расположения прямой и плоскости
Аксиома А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости
Из аксиомы А2 вытекают три случая взаимного расположения прямой и плоскости.
1) Прямая а целиком лежит в плоскости α: (Рис. 5.).
2) Прямая а имеет одну общую точку с плоскостью α:. Другими словами, прямая а и плоскость α пересекаются (Рис. 6.).
3) Прямая a не имеет общих точек с плоскостью α: (Рис. 7.).
Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать
7. Определение параллельности прямой и плоскости
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать
8. Признак параллельности прямой и плоскости
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Пояснение к признаку.
Дана плоскость , прямая а, которая параллельна прямой b, лежащей в плоскости (Рис. 8.). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, этого достаточно, чтобы прямая а была параллельна всей плоскости.
Видео:7. Скрещивающиеся прямыеСкачать
9. Утверждение 1
Из данного признака вытекает два утверждения, полезных для решения задач.
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Дана плоскость и прямая а, которая параллельна плоскости (Рис. 9.). Через прямую а можно провести много плоскостей, которые пересекают плоскость . Проведем через прямую а плоскость . Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей и – прямая b будет параллельна прямой а.
Видео:Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостейСкачать
10. Утверждение 2
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Есть две параллельные прямые а и b и плоскость . Одна из параллельных прямых, например, прямая а, параллельна плоскости . Отсюда следует, согласно утверждению, что прямая b либо параллельна плоскости (Рис. 10.), либо лежит в плоскости (Рис. 11.).
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
11. Задача 1
Задача 1.
Параллельные прямые а и b лежат в плоскости . Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости .
Дано: а || b,
Доказать:
Доказательство: (Рис. 12.)
Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости . Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости . Так как две точки прямой с принадлежат плоскости , то и вся прямая лежит в плоскости , в силу аксиомы А2.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
12. Задача 2
Задача 2.
Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость . Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость .
Дано: ABCD – параллелограмм,
Доказать: прямые AD и DC пересекают плоскость .
Доказательство: (Рис. 13.)
Обозначим плоскость АВС как . Тогда плоскости и пересекаются по прямой MN. Прямая АВ пересекается с плоскостью , и прямые АВ и CD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая CD также пересекается с плоскостью . Аналогично, прямая ВCпересекается с плоскостью , и прямые ВС и АD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая АD также пересекается с плоскостью , что и требовалось доказать.
Давайте найдем эти точки пересечения. Пусть прямая CD пересекается с плоскостью в точке Q, а прямая АD пересекается с плоскостью в точке F.
Плоскости и пересекаются по прямой MN, значит все их общие точки лежат на этой прямой. Продолжим прямые CD и АD до их пересечения с прямой MNи получим соответственно точки Q и F (Рис. 14.).
Видео:10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать
13. Задача 3
Задача 3.
Средняя линия трапеции лежит в плоскости , не совпадающей с плоскостью . Пересекаются ли прямые, содержащие основания трапеции, с плоскостью ?
Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия.
Найти: пересекаются ли прямые AD и ВC плоскость .
Вспомним, что средняя линия трапеции параллельна ее основанием. Значит, прямые AD и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости . Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, AD параллельна плоскости .
Аналогично, прямые ВC и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости . Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, ВC параллельна плоскости .
Ответ задачи: нет, не пересекаются.
Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ 10 11 класс стереометрияСкачать
14. Задача 4
Задача 4.
Точка D не лежит плоскости прямоугольника KLMN. Доказать, что MN || DKL.
Дано: KLMN – прямоугольник,
Доказать: MN || DKL
Доказательство: (Рис. 16.)
Прямые KL и MN параллельны, а прямая KL принадлежит плоскости DKL. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN параллельна плоскости DKL, что и требовалось доказать.
Видео:10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать
15. Итоги урока
Итак, мы рассмотрели теорию о параллельности прямой и плоскости, применили эту теорию к решению задач. Далее эта теория будет использована при рассмотрении вопроса о параллельности плоскостей.
🎬 Видео
Параллельность прямых. 10 класс.Скачать
Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 классСкачать
Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать