Теорема синусов равнобедренного треугольника

Теорема синусов

Теорема синусов равнобедренного треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Теорема синусов равнобедренного треугольника

Формула теоремы синусов:

Теорема синусов равнобедренного треугольника

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Теорема синусов равнобедренного треугольника

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Теорема синусов равнобедренного треугольника

Теорема синусов равнобедренного треугольника
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Теорема синусов равнобедренного треугольника

  • Теорема синусов равнобедренного треугольника
    bc sinα = ca sinβ
    Теорема синусов равнобедренного треугольника
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

    Теорема синусов – просто и красиво // Vital Math

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:ЗАДАЧА НА ТЕОРЕМУ СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ЗАДАЧА НА ТЕОРЕМУ СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Теорема синусов равнобедренного треугольника
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

    Решение задачи с применением теоремы синусов

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

    9 класс, 13 урок, Теорема синусов

    Теорема синусов. Доказательство

    Теорема 1 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника.(a)

    Доказательство. Пусть задан треугольник ABC. Проведем высоту hb из вершины B на сторону b (Рис.1).

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Из определения синуса (см. страницу Синус и косинус. Онлайн калькулятор) следует, что синус угла α равен hb если предполагать, что c=1. Но поскольку c может иметь любое значение, то имеем

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Аналогично можем записать:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника
    Теорема синусов равнобедренного треугольника
    Теорема синусов равнобедренного треугольника(1)

    Далее, для высоты hc, опущенной из вершины C на сторону c, имеем:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника, Теорема синусов равнобедренного треугольника.
    Теорема синусов равнобедренного треугольника
    Теорема синусов равнобедренного треугольника.(2)

    Из (1) и (2) получим:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника.

    Теорема 2 (расширенная теорема синусов). Для произвольного треугольника справедливо следующее равенство:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника,(b)

    где a, b, c стороны треугольника, а α, β, γ противолежащие им углы, соответственно, R− радиус описанной около треугольника окружности.

    Доказательство. Пусть задан треугольник ABC и описанная окружность с радиусом R, проходящей через вершины треугольника.

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    В теореме 1 мы доказали справедливость равенства (a). Для доказательства (b) достаточно показать, что

    Теорема синусов равнобедренного треугольника.(3)

    Проведем через вершину C диаметр CD описанной окружности и соединим точки D и B.

    1. Пусть точки D и A лежат по одну сторону от BC (Рис.2). Полученный треугольник BCD являестся прямоугольным треугольником с прямым углом B, поскольку его одна сторона совпадает с диаметром окружности. А для этого прямоугольного треугольника справедливо равенство:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника.

    Но Теорема синусов равнобедренного треугольникапоскольку обе эти углы опираются на дугу BC. Отсюда следует справедливость равенства (3).

    2. Пусть точки D и A лежат в разные стороны от BC (Рис.3).

    Теорема синусов равнобедренного треугольника.

    Поскольку BCD прямоугольный треугольник, то справедливо следующее равенство:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника.(4)

    Покажем, что Теорема синусов равнобедренного треугольника. Действительно. Так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которой он упирается, то имеем:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника, Теорема синусов равнобедренного треугольника.(5)
    Теорема синусов равнобедренного треугольника.(6)

    Тогда из (5) и (6) получим:

    Теорема синусов равнобедренного треугольникаТеорема синусов равнобедренного треугольника.
    Теорема синусов равнобедренного треугольникаТеорема синусов равнобедренного треугольника.(7)

    Учитывая (7), уравнение (4) можно записать так:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника.(8)

    Но Теорема синусов равнобедренного треугольника. Тогда из (8) получим равенство (3).

    Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

    Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

    Примеры и решения

    Задание 1. В треугольнике ABC a=8, c=10, угол α=30°. Найти сторону b (Рис.4).

    Теорема синусов равнобедренного треугольника

    Решение. Из теоремы синусов, имеем:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника
    Теорема синусов равнобедренного треугольникаТеорема синусов равнобедренного треугольника
    Теорема синусов равнобедренного треугольника.

    Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то β=180°−30°−36.68°=113.32°.

    Далее, из теоремы синусов:

    Теорема синусов равнобедренного треугольника,
    Теорема синусов равнобедренного треугольникаТеорема синусов равнобедренного треугольника

    Задание 2. В треугольнике ABC c=16, α=30°, β=45°. Найти стороны a, b (Рис.5).

    Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

    7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

    Равнобедренные треугольники

    Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

    1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

    3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

    4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

    5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

    6. В равнобедренном треугольнике:

    — биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

    — высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

    — медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

    7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

    8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

    Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

    Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

    $∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.

    В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

    Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

    В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.

    Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

    Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

    1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
    2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
    3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
    4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

    В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

    1. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
    2. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
    3. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

    $cos BOA= — cos BOC;$

    $ctg BOA= — ctg BOC.$

    В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.

    Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

    Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

    Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.

    Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:

    Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

    Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то

    Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

    В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

    Воспользуемся теоремой синусов:

    Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

    Далее подставим числовые данные и найдем $R$

    Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

    📺 Видео

    Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

    Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.

    ВЫСОТА через СИНУС / равнобедренный треугольник / #планиметрия #27327Скачать

    ВЫСОТА через СИНУС / равнобедренный треугольник / #планиметрия #27327

    Теорема СинусовСкачать

    Теорема Синусов

    Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

    Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)

    Теорема косинусов #shortsСкачать

    Теорема косинусов #shorts

    9 класс. Геометрия. Решение треугольников. Применение теоремы синусовСкачать

    9 класс. Геометрия. Решение треугольников. Применение теоремы синусов

    Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

    Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

    9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

    9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

    9 класс. Геометрия. Теорема косинусов. Теорема синусов. Решение треугольников.Скачать

    9 класс. Геометрия. Теорема косинусов. Теорема синусов. Решение треугольников.

    Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

    Равнобедренный треугольник. 7 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: