Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

где p — полупериметр,

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Радиус описанной окружности в треугольник через синусФормула:

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Если без иррациональности в знаменателе, то

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Теорема синусов

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторонуСкачать

Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторону

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Формула теоремы синусов:

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

Радиус описанной окружности в треугольник через синус
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Радиус описанной окружности в треугольник через синус

  • Радиус описанной окружности в треугольник через синус
    bc sinα = ca sinβ
    Радиус описанной окружности в треугольник через синус
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Теорема синусов - радиус описанной окружности #Математика #ЕГЭ #ОГЭ #Геометрия #ТреугольникСкачать

    Теорема синусов - радиус описанной окружности #Математика #ЕГЭ #ОГЭ #Геометрия #Треугольник

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника. Теорема синусов. ЗадачаСкачать

    Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника. Теорема синусов. Задача

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Радиус описанной окружности в треугольник через синус
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Как найти радиус описанной окружности (Задача №324618)Скачать

    Как найти радиус описанной окружности (Задача №324618)

    Окружность, описанная около треугольника.
    Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

    Радиус описанной окружности в треугольник через синусСерединный перпендикуляр к отрезку
    Радиус описанной окружности в треугольник через синусОкружность описанная около треугольника
    Радиус описанной окружности в треугольник через синусСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
    Радиус описанной окружности в треугольник через синусДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Серединный перпендикуляр к отрезку

    Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

    Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

    Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

    Видео:Геометрия В треугольнике DEF известно, что DE = 8см SinF = 0,16 Найдите радиус окружности описаннойСкачать

    Геометрия В треугольнике DEF известно, что DE = 8см SinF = 0,16 Найдите радиус окружности описанной

    Окружность, описанная около треугольника

    Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

    Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус,

    где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    ФигураРисунокСвойство
    Серединные перпендикуляры
    к сторонам треугольника
    Радиус описанной окружности в треугольник через синусВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
    Посмотреть доказательство
    Окружность, описанная около треугольникаРадиус описанной окружности в треугольник через синусОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
    Посмотреть доказательство
    Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиРадиус описанной окружности в треугольник через синусЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
    Посмотреть доказательство
    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиРадиус описанной окружности в треугольник через синусЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
    Теорема синусовРадиус описанной окружности в треугольник через синус
    Площадь треугольникаРадиус описанной окружности в треугольник через синус
    Радиус описанной окружностиРадиус описанной окружности в треугольник через синус
    Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

    Окружность, описанная около треугольникаРадиус описанной окружности в треугольник через синус

    Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

    Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиРадиус описанной окружности в треугольник через синус

    Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиРадиус описанной окружности в треугольник через синус

    Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиРадиус описанной окружности в треугольник через синус

    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

    Теорема синусовРадиус описанной окружности в треугольник через синус

    Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус,

    где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Площадь треугольникаРадиус описанной окружности в треугольник через синус

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Радиус описанной окружностиРадиус описанной окружности в треугольник через синус

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Видео:Теорема синусов и косинусов. Связь площади треугольника с радиусами вписанной и описанной окружностиСкачать

    Теорема синусов и косинусов. Связь площади треугольника с радиусами вписанной и описанной окружности

    Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

    Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

    Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

    Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

    При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

    из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

    Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус.

    Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

    l = 2Rsin φ .(1)

    Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

    Радиус описанной окружности в треугольник через синус

    Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

    Формула (1) доказана.

    Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

    📸 Видео

    Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов. Доказательство.Скачать

    Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов.  Доказательство.

    Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

    Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

    Радиус описанной окружности трапецииСкачать

    Радиус описанной окружности трапеции

    Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

    Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

    Теорема синусов и радиус описанной окружности.Скачать

    Теорема синусов и радиус описанной окружности.

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)Скачать

    Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)

    #233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать

    #233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностей

    Задача 6 №27919 ЕГЭ по математике. Урок 136Скачать

    Задача 6 №27919 ЕГЭ по математике. Урок 136
    Поделиться или сохранить к себе: