Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

Теорема синусов

Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторонуСкачать

Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторону

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

Формула теоремы синусов:

Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

  • Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус
    bc sinα = ca sinβ
    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружностиСкачать

    Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружности

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 смСкачать

    Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см

    Четырехугольник ABCD вписан в окружность

    Четырехугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60º. Найти радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синусДано : ABCD — четырёхугольник, вписанный в окружность (O;R), AB=40, CD=10, AC∩BD=K, ∠AKB=60º

    Радиус описанной около четырёхугольника окружности можно найти как радиус окружности, описанной около любого из треугольников, образованной вершинами четырёхугольника, например, около треугольника ABC. Если использовать формулу

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    для стороны AB, то искомый радиус

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Длина AB известна. Значит, задача сводится к нахождению синуса угла ACB.

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синусРассмотрим треугольники ABK и DCK.

    2)∠AKB=∠DKC (как вертикальные).

    Следовательно, треугольники ABK и DCK подобны (по двум углам).

    Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    Радиус описанной окружности около четырехугольника через синус

    Пусть CK=x, тогда BK=4x.

    Рассмотрим треугольник BCK.

    ∠BKC+∠AKB=180º (как смежные), отсюда ∠BKC=180º-∠AKB=120º. По теореме косинусов

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Please wait.

    Видео:🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    We are checking your browser. mathvox.ru

    Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

    Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

    Why do I have to complete a CAPTCHA?

    Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

    Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    What can I do to prevent this in the future?

    If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

    If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

    Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

    Cloudflare Ray ID: 6c6c047248a27b57 • Your IP : 178.45.231.185 • Performance & security by Cloudflare

    🔥 Видео

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Нахождение радиуса описанной окружности около правильного четырехугольникаСкачать

    Нахождение радиуса описанной окружности около правильного четырехугольника

    №706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

    №706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

    Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

    Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

    Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

    Радиус описанной окружности трапецииСкачать

    Радиус описанной окружности трапеции

    ОГЭ Задание 26 Радиус описанной окружностиСкачать

    ОГЭ Задание 26 Радиус описанной окружности

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания
    Поделиться или сохранить к себе: