Пусть ав и сд две параллельные прямые лежащие в плоскости

Геометрия | 10 — 11 классы

Пусть AB и CD две параллельные прямые, лежащие в плоскости pi, на расстоянии 28 см одна от другой, EF — прямая, параллельная AB и удаленная от AB на 17см, а от плоскости pi — на 15см.

Найдите расстояние между EF и CD.

(рассмотреть 2 случая).

7. Выберите верное утверждение?

7. Выберите верное утверждение.

А) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости ; б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость ; в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются ; г)если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскостид) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек.

2. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β.

Прямая b параллельна прямой а, тогда : а) прямые b и с пересекаются ; б)прямая b лежит в плоскости β ; в) прямые b и с скрещиваются ; г) прямые b и с параллельны ; д) прямая а лежит в плоскости β.

8. Прямая а параллельна прямой b и плоскости α.

Выберите верное утверждение.

А) Прямая b параллельна плоскости α ; б) прямая b лежит в плоскости α ; в) прямая b пересекает плоскость α ; г) прямая b лежит в плоскости α или параллельна ей ; д) прямая b скрещивается с плоскостью α.

Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?

Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?

Прямая а и плоскость α параллельны прямой b?

Прямая а и плоскость α параллельны прямой b.

Определить, может ли прямая а : а) быть параллельной плоскости α б) пересекать плоскость α в) лежать в пл — ти α.

Если две прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаютсяДА или НЕТ?

Если две прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаются

Верно ли, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости?

Верно ли, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости?

Докажите, что две прямые, лежащие в одной плоскости и перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, параллельны между собой?

Докажите, что две прямые, лежащие в одной плоскости и перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, параллельны между собой.

Какое утверждение верно?

Какое утверждение верно?

1) Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость.

2) Если одна из двух тпараллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая прямая параллельна данной плоскости.

3) Если две прямые параллельны данной плоскости, то они параллельны.

Верно ли утверждение, что в прямая, параллельная некоторой прямой, лежащей в плоскости, параллельна этой плоскости л?

Верно ли утверждение, что в прямая, параллельная некоторой прямой, лежащей в плоскости, параллельна этой плоскости л.

Докажите что множество всех точек плоскости находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой?

Докажите что множество всех точек плоскости находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

Если две прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаются?

Если две прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаются.

Вы зашли на страницу вопроса Пусть AB и CD две параллельные прямые, лежащие в плоскости pi, на расстоянии 28 см одна от другой, EF — прямая, параллельная AB и удаленная от AB на 17см, а от плоскости pi — на 15см?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. признаки скрещивающихся прямых;
2. определение углов с сонаправленными сторонами;
3. доказательство теоремы о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых;
4. доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

1. Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

1. Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
2. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)

Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые

На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.

Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.

Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

1. Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
   2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.
   3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.
   Теорема доказана.

Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
Теорема доказана.

Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ

Любая прямая, например ОО₁, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О₁А₁ параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О₁А₁ и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)

Рисунок 4 – сонаправленные лучи

Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)

Доказательство:

при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

1. Стороны углов сонаправлены, а, значит, параллельны. Проведем через них плоскости- как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O₁ отложим отрезки OA₁ и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA₁O₁.

Так как противолежащие стороны OA и O₁A₁ этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA₁ и OO₁.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB₁O₁ параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ₁ и OO₁.

4. Если две отрезка AA₁ и BB₁ равны параллельны третьему отрезку OO₁, значит, они равны и параллельны, т. е. АА₁||BB₁ и AA₁ = BB₁.

По определению четырехугольник АВВ₁А₁ – параллелограмм и из этого получаем АВ=А₁В₁.

5.Из выше построенного и доказанного АВ=А₁В₁, ОA =O₁A₁ и OB =O₁B₁ следует, что треугольники AOB и A₁ O₁ B₁. равны по трем сторонам, и поэтому О= О₁.

Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами

Задачи на тему «параллельность прямых и плоскостей»

Задачи на тему «параллельность прямых и плоскостей»

Параллельные прямые а и b лежат в плоскости.

Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости а.

Дано: а || b, а ∈ а, b ∈ а, с ∩ а=А, с ∩ b=B.

Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости а. Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости а. Так как две точки прямой с принадлежат плоскости а, то и вся прямая лежит в плоскости а, в силу аксиомы А2.

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD ∩ а. Докажите, что прямые AD и DC также ∩ а.

Дано: ABCD – параллелограмм, AB ∩ а=М, ВС ∩ а=N

Доказать, что прямые AD и DC ∩ а.

Обозначим плоскость АВС как B. . Тогда плоскости a и B ∩ MN.

Прямая АВ ∩ a, и прямые АВ ||CD ( как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая CD ∩ а. Аналогично, прямая ВC ∩ а, и прямые ВС II АD (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая АD ∩ а, что и требовалось доказать.

Давайте найдем эти точки пересечения. Пусть прямая CD ∩ а в точке Q, а прямая АD ∩ а в точке F.

Плоскости а и B ∩ MN, значит, все их общие точки лежат на этой прямой. Продолжим прямые CD и АD до их пересечения с прямой MN и получим соответственно точки Q и F.

Средняя линия трапеции лежит в плоскости а, не совпадающей с плоскостью B. . Пересекаются ли прямые, содержащие основания трапеции, с плоскостью а?

Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия. MN ∈ a, a не равно B.

Найти: пересекают ли прямые AD и ВC плоскость а?

Вспомним, что средняя линия трапеции параллельна ее основанием. Значит, прямые AD II MN, а прямая MN ∈ а. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, AD II а.

Точка D не лежит в плоскости прямоугольника KLMN. Доказать, что MN || DKL.

Дано: KLMN – прямоугольник, D не принадлежит KLM.

Доказать: MN || DKL

Прямые KL || MN, а прямая KL ∈ DKL. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN || DKL, что и требовалось доказать.

Верно ли утверждение: если 2 прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Параллельные прямые АС И ВD пересекают плоскость а в точках А С и D лежат по одну сторону от плоскости а, АС=8см, BD=6 см, АВ=4 см.

А) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость а в некоторой точке Е.

Б) Найдите отрезок ВЕ.

На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты точки D и E так, что ОE = 5 см и ВD = 2/3. Плоскость a проходит через точки B и С, и параллельна отрезку ОE. Найдите длину отрезка ВС. Через каждую точку из двух параллельных прямых а и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость.

Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым a и b.