Построить окружность вписанную в треугольник и описанную около треугольника

План урока:

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Точка пересечения биссектрис в треугольнике

Напомним, что для каждой прямой и точки можно вычислить расстояние между ними. Оно представляет собой длину перпендикуляра, который из точки проведен к этой прямой.

Если есть пара прямых и одна точка, то можно определить расстояние от точки до каждой из прямых. В случае, когда эти расстояния одинаковы, точку называют равноудаленной от обеих прямых.

Например, на этом рисунке длины AВ и ВС одинаковы, а потому точка А – равноудаленная от прямых m и n.

Сформулируем важную теорему.

Для доказательства опустим из произвольно выбранной точки М, принадлежащей биссектрисе ∠AВС, расстояния МК и МL на AВ и ВС:

Сравним ∆ВКМ и ∆ВМL. Это два прямоугольных треуг-ка, у которых общая гипотенуза ВМ, а также одинаковы острые углы ∠МВL и ∠KBM (они одинаковы, ведь биссектриса по определению разбивает угол пополам). Тогда ∆BKM и ∆BLM равны, и отрезки КM и МС также одинаковы, ч. т. д.

Верно и обратное утверждение.

Для доказательства можно использовать тот же рисунок. Пусть точка М находится на одинаковом расстоянии от ВК и ВL. То есть КМ = МL. Тогда ∆ВКМ и ∆ВМL снова оказываются равными, но уже как прямоугольные треуг-ки с одинаковыми катетом и гипотенузой. Из равенства треуг-ков вытекает, что

Действительно, если в ∆AВС построить биссектрисы ∠А и ∠В, то они должны будут пересечься в какой-нибудь точке О:

Опустим из О перпендикуляры на все стороны треуг-ка. Так как О принадлежит биссектрисе ∠А, то она находится на одинаковом расстоянии от АС и AВ, то есть

Из него следует, что О также находится на одном расстоянии от АС и ВС и потому принадлежит биссектрисе ∠С. Получается, что О – общая точка для всех трех биссектрис ∆AВС.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Серединный перпендикуляр

Введем новое понятие – серединный перпендикуляр.

На рисунке О – это середина AВ. Через нее проведена прямая m, образующая прямой угол с AВ. Тогда по определению m – это серединный перпендикуляр:

Рассмотрим две теоремы, которые связаны с серединным перпендикуляром и являются обратными друг для друга.

Сначала рассмотрим первое утверждение. Пусть точка М находится на серединном перпендикуляре, проведенному к AВ. Нам надо

Изучим∆АОМ и ∆ВОМ. Они прямоугольные, имеют одинаковые катеты АО и ОВ (ведь О – середина AВ) и общий катетОМ. Получается, что ∆АОМ и ∆ВОМ равны. Значит, одинаковы и отрезки АМ и МВ, ч. т. д.

Во второй теореме уже изначально известно, что

Надо доказать, что М принадлежит серединному перпендикуляру. Изучим∆АМВ, он равнобедренный, ведь АМ = МВ. Теперь из М опустим медиану МО на AВ. ∆АМВ – равнобедренный, поэтому эта медиана окажется также и высотой. Получается, что отрезок ОМ перпендикулярен AВ и одновременно делит его пополам. Значит, ОМ – это серединный перпендикуляр.

Из этих двух теорем вытекает важное утверждение:

Действительно, в ∆AВС проведем серединные перпендикуляры к сторонам треугольника AВ и АС:

Здесь N и K – середины сторон AN и AC, а О – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике. Так как О лежит на серединном перпендикуляре, проведенному к AВ, то справедливо равенство

Аналогично О равноудаленная от вершин А и С, ведь она лежит на серединном перпендикуляре, проведенному к АС:

В итоге можно составить двойное равенство:

Оно показывает, что О также расположена на одном расстоянии от В и С. Отсюда вытекает, что она должна принадлежать серединному перпендикуляру, проведенному к ВС, ч. т. д.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Точка пересечения высот треугольника

Следующая теорема касается высот треуг-ка.

Для доказательства выполним такое построение – через вершины ∆AВС проведем прямые, которые будут параллельны сторонам ∆АВС. Они образуют новый ∆А₁В₁С₁:

Из условий AВ||A₁В₁ и АС||А₁С₁ вытекает, что четырехуг-к АСА₁В – это параллелограмм. Значит, у него одинаковы противоположные стороны:

Аналогично можно показать, что четырехуг-ки AВСВ₁ и АСВС₁ – также параллелограммы, откуда вытекают равенства:

Теперь обозначим на рисунке все отрезки, равные AВ, одной черточкой, отрезки, равные ВС – двумя чертами, в тремя черточками отметим те отрезки, равные АС:

Получается, что А, В и С являются серединами сторон А₁В₁, А₁С₁ и В₁С₁. Построим в ∆А₁В₁С₁ серединные перпендикуляры. Они по определению будут проходить через середины А, В и С и при этом будут иметь общую точку О:

Заметим, что проведенные перпендикуляры будут также перпендикулярны сторонам исходного ∆AВС. Например, ОВ⊥А₁С₁ и А₁С₁|| АС, значит, ОВ⊥АС (прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и второй прямой). Аналогично можно продемонстрировать, что АО⊥ВС, а СО⊥AВ. Другими словами, прямые АО, ВО и СО оказываются высотами, и при этом они пересеклись точке О. Так как ∆AВС был выбран произвольно, то получается, что в любом треуг-ке высоты пересекутся в одной точке, ч. т. д.

Ранее, изучая подобие треуг-ков, мы уже выяснили, что и медианы треуг-ка будут пересекаться в одной точке. В итоге можно сформулировать следующее утверждение:

Задание. На рисунке ∠MKN = 66°. Вычислите величину ∠FNO.

Решение. Судя по рисунку, в точке О пересекаются высоты MF и KE. Но тогда и прямая ON также должна быть высотой. Достроим рисунок с учетом этого факта:

Теперь на рисунке множество прямоугольных треуг-ков. Напомним, что у каждого из них острые углы в сумме составляют 90°. Например, в ∆MKF

Задание. В ∆AВС биссектрисы АА₁ и ВВ₁ пересеклись в точке М, причем ∠АМВ = 128°. Вычислите ∠МСВ₁.

Решение. Изучим ∆АМВ. В сумме его углы должны составлять 180°:

Ясно, что МС – это биссектриса ∠АСВ, ведь она проходит через общую точку двух других биссектрис ∆AВС. То есть МС делит ∠АСВ пополам:

Задание. На рисунке RO = 20. Вычислите длину OK:

Решение. На рисунке видно, что OM и ON – это серединные перпендикуляры. Отсюда вытекает, что точка О равноудалена от ОР и OR:

Теперь можно рассмотреть ∆РОК. Он прямоугольный, и в нем есть ∠30°. Напомним, что катет, лежащий против такого угла, вдвое короче гипотенузы:

OK = OP/2 = 20/2 = 10

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная окружность

Иногда в многоугольник можно вписать окруж-ть. Это значит, что возможно построить такую окруж-ть (ее именуют вписанной окружностью), которая будет касаться каждой стороны многоуг-ка (его в таком случае называют описанным около окружности многоуг-ком).

Для того чтобы, построить вписанную в многоуг-к окруж-ть, надо сначала определить, возможно ли вообще это сделать. Оказывается, что в треуг-к окруж-ть можно вписать всегда.

Действительно, построим произвольный ∆AВС и биссектрисы в нем. Они пересекутся в какой-нибудь точке О. Далее из О проведем перпендикуляры на стороны ∆AВС.

Эти перпендикуляры являются, по сути, расстояниями от О до сторон углов ∠А, ∠В и ∠С. По свойству биссектрисы они окажутся одинаковыми. Теперь проведем окруж-ть с центром в О, радиус которой будет равен длине этих перпендикуляров.

Ясно, что точки M, L и K будут принадлежать окруж-ти, ведь они находятся на расстоянии R от ее центра. При этом отрезки OK, OM, OL будут радиусами. Заметим, что прямая AВ перпендикулярна радиусу OK, а потому является касательной. По той же причине ВС и АС также окажутся касательными. В итоге окруж-ть оказывается вписанной, ч. т. д.

В данном доказательстве мы не просто доказали, что для каждого треуг-ка существует вписанная окруж-ть, но и показали, как ее построить. Надо сначала провести биссектрисы углов, найти точку их пересечения (это и будет центр вписанной окруж-ти), после чего из этой точки надо опустить перпендикуляр на одну из сторон треуг-ка. Осталось лишь построить окруж-ть, радиус которой будет этот перпендикуляр. Заметим, что так как в треуг-ке есть только одна точка пересечения биссектрис, то и окруж-ть в треуг-к можно вписать лишь одну.

Ещё раз посмотрим на окружность, вписанную в треугольник:

Заметим, что радиусы OK, ОМ и ОL одновременно являются и высотами в ∆AВО, ∆АОС и ∆ВОС. Тогда через радиус можно выразить площади этих треуг-ков:

Сумма сторон AВ, АС и ВС – это периметр ∆AВС (его обозначают буквой Р), а потому можно записать, что

Эту формулу часто используют не для вычисления площади треуг-ка, а для нахождения радиуса вписанной окружности.

Задание. Найдите радиус окруж-ти, вписанной в равнобедренный треуг-к, основание которого имеет длину 20, а боковая сторона – 26.

Теперь надо найти его площадь. Для этого опустим на основание MN высоту KH, которая одновременно будет и медианой:

Отрезок HN будет вдвое короче MN:

Зная в ∆MKN высоту и основание, к которой она проведена, сможем найти его площадь:

Теперь запишем формулу площади, содержащую радиус вписанной окруж-ти, и найдем из нее этот радиус:

Задание. В прямоугольный треуг-к, длина гипотенузы которого составляет 52, вписана окруж-ть радиусом 8. Вычислите периметр этого треуг-ка.

Решение. Проведем радиусы ОМ и ОК из центра окруж-ти к катетам:

Буквой N обозначим точку касания окруж-ти и гипотенузы. Сначала изучим четырехуг-к МОКС. В нем∠С – прямой, ведь ∆AВС – прямоугольный, а ∠ОМС и ∠ОКС также составляют 90°, так как образованы радиусом и касательной. Тогда и ∠МОК тоже должен быть прямым. Значит, МОКС – это квадрат, и его стороны одинаковы:

Заметим, что отрезки AN и AM одинаковы, ведь они представляют собой отрезки касательных, которые построены из одной точки:

Аналогично одинаковы ВК и BN:

Тогда периметр можно записать так:

Задание. Вписанная в ∆AВС окруж-ть касается его сторон AВ, ВС и АС в точках Е, М и F. Известно, что АЕ = 4, СF = 6, МВ = 10. Определите периметр ∆AВС.

Решение. Заметим, отрезки касательных, проведенных к окруж-ти из одной точки, одинаковы, поэтому

Это позволяет найти каждую из сторон ∆AВС:

В многоугольники, имеющие 4 и более вершины, вписать окруж-ть можно лишь в отдельных случаях. В частности, четырехуг-к должен для этого обладать особым свойством.

Действительно, пусть в четырехуг-к AВСD вписана окруж-ть. Тогда отрезки касательных, которые построены из точек А, В, С и D, будут одинаковыми.

Обозначим их маленькими буквами a, b, cи d:

Тогда стороны четырехуг-ка будут вычисляться так:

Действительно, пусть есть четырехуг-к AВСD, у которого

AD + BC = CD + AB (1)

Проведем биссектрисы ∠Aи ∠B, они пересекутся в некоторой точке О. Эта точка окажется равноудаленной от сторон AD, AB и ВС, то есть можно построить окруж-ть, которая коснется этих трех прямых. Докажем, что она также коснется и CD. Возможны три варианта:

1) СD вообще не пересекается с окруж-тью;

2) CD – секущая, и пересекается с окруж-тью в 2 точках;

3) CD – касательная.

Сначала рассмотрим первый вариант, когда СD и окруж-ть не имеют общих точек. Тогда можно провести касательную С’D’, параллельную CD:

Мы видим, что существует описанный четырехуг-к AВС’D’, а значит, суммы его противоположных сторон будут одинаковыми:

Мы получили, что в четырехуг-ке С’D’DC сторона CD равна сумме трех других сторон. Это невозможно, то есть мы получили противоречие. Значит, принятое нами предположение о том, что CD не имеет общих точек с окруж-тью, является ошибочным. С помощью аналогичных утверждений можно отбросить и вариант, согласно которому CD – это секущая. Остается один вариант, по которому СD – касательная, ч. т. д.

Задание. В четырехуг-к MCЕА вписана окруж-ть, причем МС = 5, СЕ = 10, АЕ = 8. Какова длина АМ?

Решение. Если в четырехуг-к можно вписать окруж-ть, то суммы его противоположных сторон одинаковы:

Рассмотрим частные случаи четырехуг-ков. Очевидно, что в ромб и квадрат вписать окруж-ть можно, ведь у них одинаковы все стороны, значит, одинаковы и суммы противоположных сторон. С другой стороны, если параллелограмм НЕ является ромбом, то есть его смежные стороны различны, то вписать в него окруж-ть не получится. Также ее нельзя вписать и в прямоугольник, если он НЕ является квадратом:

Ранее мы составили формулу, которая связывала периметр треуг-ка с его площадью и радиусом вписанной окруж-ти. Оказывается, она справедлива и для четырехуг-ка. Действительно, пусть есть произвольный описанный четырехуг-к AВСD. Соединим центр вписанной окруж-ти с вершинами, а также проведем из нее радиусы к точкам касания:

В результате мы разбили AВСD на ∆АОD, ∆DOC, ∆COВ и ∆АОВ, причем высотой для каждого из них являются радиусы длиной r. Тогда площади этих треуг-ков можно вычислить так:

Аналогичным образом эту формулу можно доказать и для пятиугольника, и для шестиугольника, и т. д.

Задание. В четырехуг-к AВСD, у которого стороны AB и CD соответственно составляют 13 и 8, вписана окруж-ть радиусом 5. Какова площадь AВСD?

Мы можем найти сумму сторон AВ и CD:

AB + CD = 13 + 8 = 21

Так как в четырехуг-к вписана окруж-ть, то и сумма двух других сторон, AD и BC, будет такой же:

AD + BC = AB + CD = 21

Теперь можно вычислить и периметр AВСD:

P = AB + CD + AD + BC = 21 + 21 = 42

Осталось только применить формулу и рассчитать площадь:

Задание. В квадрат вписана окруж-ть с радиусом 6. Какова площадь квадрата?

Решение. Проведем в окруж-ти радиусы, которые коснутся противоположных сторон квадрата:

В результате получится прямоугольник ВСНК. КН – диаметр окруж-ти, поэтому он вдвое длиннее радиуса:

В прямоугольнике противоположные стороны одинаковы, поэтому

Но ВС – это сторона квадрата, площадь которого и надо найти. Для этого ВС надо возвести в квадрат:

S = BC 2 = 12 2 = 144

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Описанная окружность

Возможна и ситуация, при которой не окруж-ть вписана в многоуг-к, а наоборот, многоуг-к в окруж-ть. В таком случае все его вершины будут лежать на окруж-ти.

Есть несколько важных теорем, касающихся описанных окружностей.

Для доказательства построим в произвольном ∆AВС серединные перпендикуляры. Они пересекутся в некоторой точке О:

Каждая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка, к которому этот перпендикуляр проведен. Значит, и точка О равноудалена от вершин ∆AВС:

Но тогда из О можно провести окруж-ть, на которой будут лежать точки А, В и С. Она как раз и окажется окружностью, описанной около треугольника. Так как серединные перпендикуляры пересекаются только в одной точке, то и окруж-ть около треуг-ка можно описать лишь одну.

Из теоремы следует важный вывод:

Действительно, три точки, не лежащие на прямой, образуют на плоскости треуг-к.Окруж-ть, проведенная через его вершины, по определению и будет описанной окруж-тью.

Задание. Около равнобедренного треуг-ка с основанием длиной 6 описана окруж-ть радиусом 5. Какова длина боковых сторон этого треуг-ка?

Решение: Проведем радиусы ОА, ОВ и ОС к вершинам вписанного треуг-ка, а на основание ВС опустим перпендикуляр:

Стоит обратить внимание, что точки А, О и Н лежат на одной прямой. Это высота, проведенная к основанию. Она же, по свойству равнобедренного треуг-ка, является медианой, то есть Н – середина ВС. Тогда ОН оказывается серединным перпендикуляром.

Сначала найдем ВН, он равен половине ВС:

Далее изучим ∆ОНВ. Он прямоугольный, то есть для него верна теорема Пифагора:

Задание. Выведите формулу, которая связывает длину стороны равностороннего треуг-ка с радиусом описанной окружности.

Решение. Обозначим буквой a сторону треуг-ка, а буквой R – радиус описанной окруж-ти. Также проведем один серединный перпендикуляр:

Так как ∆AВС – равносторонний, то все его углы, в частности, ∠AВС, составляют 60°.

Заметим, что ∆ВОС и ∆АОВ равны по трем одинаковым сторонам, поэтому

В четырехуг-к окруж-ть удается вписать не всегда. Для этого должно соблюдаться одно условие:

Действительно, пусть около четырехуг-ка ABCD описана окруж-ть:

Тогда вся окруж-ть может быть разбита на две дуги: ⋃ВАD и ⋃ВСD. Их сумма составляет 360°:

Аналогично доказывается утверждение и для другой пары противоположных углов, ∠ADC и ∠ABC.

Обратное утверждение также справедливо:

Докажем эту теорему методом от «противного». Пусть есть четырехуг-к AВСD, у которого сумма противоположных углов составляет 180°, но вокруг него нельзя описать окруж-ть. Тогда проведем окруж-ть через любые три его вершины. Четвертая вершина (пусть это будет D) не может оказаться на окруж-ти. То есть она находится либо внутри окруж-ти, либо вне ее. Сначала рассмотрим случай, когда точка оказывается внутри окруж-ти:

Продолжим прямые AD и CD до пересечения окруж-ти в точках А’ и C’, а потом выберем произвольную точку D’ на окруж-ти между ними.

Теперь сравним ∆АСD и ∆АСD’. У обоих сумма углов одинакова и составляет 180°:

Получается, что ∠D и ∠D’ должны быть равны, но ранее мы показали, что ∠D больше. Это противоречие означает, что точка D не может быть внутри окруж-ти. Аналогичным образом рассматривается второй случай, когда D лежит вне окруж-ти:

Здесь, рассматривая ∆АСD и АСD’, можно показать, что ∠D меньше, чем ∠D’. Однако они должны быть равны друг другу, ведь в сумме с∠В должны давать 180°.

Задание. В окруж-ть вписан четырехуг-к AВСD, причем∠А составляет 110°, а ∠В – 62°. Найдите два других угла четырехуг-ка.

Здесь надо просто использовать тот факт, что противоположные углы в AВСD должны давать в сумме 180°:

Задание. Докажите, что если трапеция вписана в окруж-ть, то она равнобедренная.

Пусть в окруж-ть вписана трапеция AВСD, причем AD и ВС– ее основания. Тогда∠А и ∠В – это односторонние углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей AВ, и в сумме они дают 180°. Но так как AВСD вписана в окруж-ть, то и ее противоположные углы, ∠А и ∠С, также должны составлять в сумме 180°:

Естественно, эти равенства могут одновременно справедливыми только в том случае, если∠В и ∠С одинаковы. Они являются углами при основании трапеции. Если они одинаковы, то трапеция – равнобедренная (это признак равнобедренной трапеции).

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Построение вписанной и описанной окружности

Дополнительно уточним, как выполнить построение вписанной окружности либо описанной окруж-ти. Мы уже говорили, в центр вписанной окружности в треуг-ке – это центр пересечения его биссектрис, ведь он равноудален от сторон. То же самое относится и к многоуг-кам. Вписанная окруж-ть равноудалена от его сторон, поэтому будет лежать на биссектрисе каждого из углов многоуг-ка. При этом строить биссектрисы всех углов не нужно, достаточно выбрать любые два из них. Найдя таким способом центр вписанной окруж-ти, из нее надо опустить перпендикуляр на любую сторону – он и будет радиусом окруж-ти:

При построении описанной окружности нужно помнить, что ее центр описанной окруж-ти находится уже в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Снова достаточно провести только два перпендикуляра:

Итак, мы узнали про вписанные и описанные окруж-ти, как определять их центры, и какими свойствами обладают вписанные и описанные многоуг-ки. Это поможет решить ряд задач на экзаменах, в том числе и на ЕГЭ.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Видео:Построить окружность, описанную около треугольникаСкачать

Треугольник вписанный в окружность

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Видео:Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

📹 Видео

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

7 класс. Геометрия. Окружность вписанная в треугольник и окружность описанная около треугольника #11Скачать

ОРТ Математика Окружность вписанная в треугольник Окружность описанная около треугольникаСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

Геометрия. 7 класс. Окружности, описанная около треугольника и окружность, вписанная в треугольникСкачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Окружность, описанная около треугольника.Окружность, вписанная в треугольникСкачать