Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

а) Угол AC1C равен 90°, следовательно, угол AA1C равен 90°, так как AC — диаметр окружности. Тогда AA1 — высота и медиана треугольника ABC. Таким образом, отрезки AB и AC равны, что и требовалось доказать.

б) Треугольники ABA1 и CBC1 подобны по двум углам, следовательно, Высота проведенная в остроугольном треугольникеТак как C1A1 медиана в прямоугольном треугольнике BC1C, то

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Вычислим площадь треугольника ABC

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Ответ: Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Высоты в остроугольном треугольнике

В любом треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке. Все высоты в остроугольном треугольнике лежат внутри треугольника (как и точка пересечения высот).

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Доказать, что углы BB1C1 и BCC1 равны; углы B1C1С и BB1C равны.

Высота проведенная в остроугольном треугольникеДано: ΔABC — остроугольный,

Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Радиус такой окружности равен половине гипотенузы.

Высота проведенная в остроугольном треугольникеЦентр описанной около прямоугольного треугольника BB1C окружности лежит на середине гипотенузы BC, радиус этой окружности равен половине BC.

Центр описанной около прямоугольного треугольника BCC1 окружности — середина гипотенузы BC, радиус равен половине BC.

Значит эти треугольники вписаны в одну и ту же окружность.

Следовательно, точки B, C, B1 и C1лежат на одной окружности.

∠B1C1С=∠B1BC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу B1C).

Что и требовалось доказать.

То есть решение такого рода задач начинаем с поиска прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

2 Comments

Здравствуйте!
во втором случае: Угол ВВ1С — прямой, имелся в виду угол В1ВС, как опирающийся на дугу В1С

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Высота проведенная в остроугольном треугольникеВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Высота проведенная в остроугольном треугольникеРасположение высот у треугольников различных типов
Высота проведенная в остроугольном треугольникеОртоцентр треугольника
Высота проведенная в остроугольном треугольникеРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Высота проведенная в остроугольном треугольникеОртоцентрический треугольник
Высота проведенная в остроугольном треугольникеЗадача Фаньяно

Видео:Досрочный ОГЭ Математика. Задание 16.Скачать

Досрочный ОГЭ Математика. Задание 16.

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысота проведенная в остроугольном треугольникеВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Высота проведенная в остроугольном треугольнике
Высота проведенная в остроугольном треугольнике
Прямоугольный треугольникВысота проведенная в остроугольном треугольникеВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Высота проведенная в остроугольном треугольнике
Высота проведенная в остроугольном треугольнике
Тупоугольный треугольникВысота проведенная в остроугольном треугольникеВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Высота проведенная в остроугольном треугольнике
Высота проведенная в остроугольном треугольнике
Остроугольный треугольник
Высота проведенная в остроугольном треугольникеВысота проведенная в остроугольном треугольникеВысота проведенная в остроугольном треугольнике
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Высота проведенная в остроугольном треугольникеВысота проведенная в остроугольном треугольникеВысота проведенная в остроугольном треугольнике
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Высота проведенная в остроугольном треугольникеВысота проведенная в остроугольном треугольникеВысота проведенная в остроугольном треугольнике
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:16)В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, угол BAC=48°. Найдите угол ABH. Ответ дайтеСкачать

16)В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, угол BAC=48°. Найдите угол ABH. Ответ дайте

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9√69 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9√69 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Тогда справедливы равенства

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

что и требовалось доказать.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

Высота проведенная в остроугольном треугольнике

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

🎦 Видео

Остроугольный треугольникСкачать

Остроугольный треугольник

№260. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторонаСкачать

№260. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ПРОВЕДЕННУЮ К ГИПОТЕНУЗЕ??Скачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ПРОВЕДЕННУЮ К ГИПОТЕНУЗЕ??

Свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Свойство высоты в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая к гипотенузеСкачать

Высота, проведённая к гипотенузе

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

№263. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольникаСкачать

№263. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника

Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольнике

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузеСкачать

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном ТреугольникеСкачать

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном Треугольнике
Поделиться или сохранить к себе:
ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысота проведенная в остроугольном треугольнике
Прямоугольный треугольникВысота проведенная в остроугольном треугольнике