Евклидовы пространства неравенство треугольника (3 видео)

Евклидовы пространства неравенство треугольника

Прикладная математика
основные математические формулы

Доказательство. В случае l₁ = 0 имеет место равентство l₁, l₂ линейно зависимы. Будем считать, что . Для любого вещественного числа t имеем

в силу положительной определенности скалярного произведения. Поэтому дискриминант квадратного трехчлена справа неположителен, т. е.

Он равен нулю тогда и только тогда, когда этот трехчлен имеет вещественный корень t₀. В этом случае

что завершает доказательство.

3. Следствие (неравенство треугольника). Для любых

a
б
в
г
д
е
ж
з
и
к
л
м
н
о
п
р
с
т
у
ф
х
ц
ч
ш
щ
э
ю
я© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник

Содержание

Евклидово пространство
Определение евклидова пространства
Неравенство Коши-Буняковского
Неравенство треугольника
Норма евклидова пространства
Угол между векторами
Ортонормированный базис
Евклидовы пространства неравенство треугольника
📺 Видео

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

Евклидово пространство

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Определение евклидова пространства

Определение 1. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нём определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам x и y из этого пространства число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначаемое (x,y) , для которого выполнены условия:

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , где z — любой вектор, принадлежащий данному линейному пространству;

3. ( x,y) = (x,y) , где — любое число;

4. (x,x) 0 , причём (x,x) = 0 x = 0.

Например, в линейном пространстве одностолбцовых матриц скалярное произве дение векторов

можно определить формулой

Евклидово пространство размерности n обозначают E n . Заметим, что существуют как конечномерные, так и бесконечномерные евклидовы пространства.

Определение 2. Длиной (модулем) вектора x в евклидовом пространстве E n называют (x,x) и обозначают её так: |x| = (x,x) . У всякого вектора евклидова пространства существует длина, причём у нулевого вектора она равна нулю.

Умножая ненулевой вектор x на число , мы получим вектор , длина которого равна единице. Эта операция называется нормированием вектора x.

Например, в пространстве одностолбцовых матриц длину вектора можно определить формулой:

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство Коши-Буняковского

Пусть x E n и y E n – любые два вектора. Докажем, что для них имеет место неравенство:

(Неравенство Коши-Буняковского)

Доказательство. Пусть — любое вещественное число. Очевидно, что ( x y, x y) 0. С другой стороны, в силу свойств скалярного произведения можем написать

Получили, что

Дискриминант этого квадратного трёхчлена не может быть положительным, т.е. , откуда вытекает:

Видео:Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

Пусть x и y — произвольные векторы евклидова пространства E n , т.е. x E n и y E n .

Докажем, что . (Неравенство треугольника).

Доказательство. Очевидно, что С другой стороны, . Принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского, получим

Неравенство треугольника доказано.

Видео:10.1 Евклидовы пространства IСкачать

Норма евклидова пространства

Определение 1. Линейное пространство называется метрическим, если любым двум элементам этого пространства x и y поставлено в соответствие неотрицательное число (x,y) , называемое расстоянием между x и y , ( (x,y) 0) , причём выполняются условия (аксиомы):

1) (x,y) = 0 x = y

3) для любых трёх векторов x, y и z этого пространства (x,y) (x,z) + (z,y).

Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Евклидово пространство E n – метрическое, причём в качестве расстояния между векторами x E n и y E n можно взять x y.

Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где

получим

следовательно

Определение 2. Линейное пространство называется нормированным, если каждому вектору x из этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число, называемое его нормой x. При этом выполняются аксиомы:

Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метрическим простран ством. В самом деле, в качестве расстояния между x и y можно взять . В евклидовом пространстве E n в качестве нормы любого вектора x E n принимается его длина, т.е. .

Итак, евклидово пространство E n является метрическим пространством и более того, евклидово пространство E n является нормированным пространством.

Видео:Лекция №11. Евклидово и унитарное пространство. Ортогональные системыСкачать

Угол между векторами

Определение 1. Углом между ненулевыми векторами a и b евклидова простран ства E n называют число для которого

Определение 2. Векторы x и y евклидова пространства E n называются ортогона льными, если для них выполняется равенство (x,y) = 0.

Если x и y — ненулевые, то из определения следует, что угол между ними равен

Заметим, что нулевой вектор по определению считается ортогональным любому вектору.

Пример. В геометрическом (координатном) пространстве 3, которое является частным случаем евклидова пространства, орты i, j и k взаимно-ортогональны.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Ортонормированный базис

Определение 1. Базис e 1 ,e 2 . e n евклидова пространства E n называется ортогона льным, если векторы этого базиса попарно ортогональны, т.е. если

Определение 2. Если все векторы ортогонального базиса e 1 , e 2 . e n единичны, т.е. e i = 1 (i = 1,2. n ) , то базис называется ортонормированным, т.е. для ортонормированного базиса

Теорема. (о построении ортонормированного базиса)

Во всяком евклидовом пространстве E n существуют ортонормированные базисы.

Доказательство. Докажем теорему для случая n = 3.

Пусть E 1 ,E 2 ,E 3 — некоторый произвольный базис евклидова пространства E 3 Построим какой-нибудь ортонормированный базис в этом пространстве. Положим , где — некоторое вещественное число, которое выберем таким образом, чтобы было (e 1 ,e 2 ) = 0, тогда получим

причём очевидно, что = 0 , если E 1 и E 2 ортогональны, т.е. в этом случае e 2 = E 2 , а , т.к. это базисный вектор.

Далее, определим вектор e 3 равенством , причём числа определяется из условия ортогональности вектора e 3 с векторами e 1 ,e 2 , т.е.

Учитывая, что (e 1 ,e 2 ) = 0, получим

Очевидно, что , если e 1 и e 2 ортогональны с вектором E 3 , т.е. в этом случае следует взять e 3 = E 3 . Вектор E 3 0 , т.к. E 1 , E 2 и E 3 линейно независимы, следовательно e 3 0.

Кроме того, из приведённого рассуждения следует, что e 3 нельзя представить в виде линейной комбинации векторов e 1 и e 2 , следовательно векторы e 1 , e 2 , e 3 линейно незави симы и попарно ортогональны, следовательно, их можно взять в качестве базиса евклидова пространства E 3 . Остаётся только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим

Итак, мы построили базис — ортонормированный базис. Теорема доказана.

Применённый способ построения ортонормированного базиса из произвольного базиса называется процессом ортогонализации. Заметим, что в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортогональные векторы линейно независимы. Кроме того, если — ортонормированный базис в E n , тогда для любого вектора x E n имеет место единственное разложение

где x 1 , x 2 . x n — координаты вектора x в этом ортонормированном базисе.

то умножив скалярно равенство (*) на , получим .

В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные базисы, а потому для простоты их записи нолики сверху у базисных векторов мы будем опускать.

Видео:Шапошников С. В. - Математический анализ II - Пространство R^nСкачать

Евклидовы пространства неравенство треугольника

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Евклидовы пространства Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

Глава 4
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными свойствами указанного скалярного произведения. В настоящей главе изучаются линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные пространства, в которых определено указанное правило, называются евклидовыми пространствами. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных евклидовых пространств.

§ 1. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства

1. Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);
2°. (x₁ + x 2, у) = (х₁ , у) + (х₂, у) (распределительное свойство);
3°. ( λ х, у) = λ (х, у) для любого вещественного λ ;
4°. (х, х) > 0, если х — ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х — нулевой элемент.
Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).
Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным.
Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим линейное пространство В₃, всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°- 4° (см. выпуск «Аналитическая геометрия», гл.2, §2, п.З). Стало быть, пространство В₃ с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством.
Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С [а, b ] всех функций x(t), определенных и непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b . Скалярное произведение двух таких функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от а до b ) от произведения этих функций

Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°-4°. В самом деле, справедливость аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции x 2 (t) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а ≤ t ≤ b (см. выпуск «Основы математического анализа», часть I, свойства 1° и 2° из п. 1 §6 гл. 10) (т.е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства).
Таким образом, пространство С [а, b ] с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство.
Пример 3. Следующий пример евклидова пространства дает n-мерное линейное пространство А _n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов х= (х₁, x₂. х_n) и у = ( y ₁, y ₂. y _n) которого определяется равенством

Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° легко проверяется достаточно вспомнить определение операций сложения элементов и умножения их на числа:

наконец, справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что (х, х) = х₁ 2 + x₂ 2 + . + х_n 2 всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии х₁ = х₂ = . = х _n = 0.
Рассмотренное в этом примере евклидово пространство часто обозначают символом Е _n .
Пример 4. В том же самом линейном пространстве А _n введем скалярное произведение любых двух элементов х= (х₁, x₂. х_n) и у = ( y ₁, y ₂. y _n) не соотношением (4.2), а другим, более общим, способом.
Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка n

Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен второго порядка относительно n переменных х₁, x₂. х_n

Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется квадратичной формой (порождаемой матрицей (4.3)) ( квадратичные формы систематически изучаются в гл. 7 этой книги).
Квадратичная форма (4.4) называется положительно определенной, если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных х₁, x₂. х_n , одновременно не равных нулю (в гл. 7 этой книги будет указано необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичной формы).
Так как при х₁ = х₂ = . = х _n = 0 квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная
квадратичная форма обращается в нуль лишь при условии х₁ = х₂ = . = х _n = 0.
Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям.
1°. Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4).
2°. Была симметричной (относительно главной диагонали), т.е. удовлетворяла условию a_ik = а _ki для всех i = 1, 2. n и k = I, 2. n .
С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям 1° и 2°, определим скалярное произведение двух любых элементов х= (х₁, x₂. х_n) и у = ( y ₁, y ₂. y _n) пространства А _n соотношением

Легко проверить справедливость для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1°-4°. В самом деле, аксиомы 2° и 3°, очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость аксиомы 1° вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой скалярное произведение (х, х), является положительно определенной.
Таким образом, пространство А _n со скалярным произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы (4.3) и положительной определенности порождаемой ею квадратичной формы, является евклидовым пространством.
Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4) перейдет в (4.2), и мы получим евклидово пространство Е _n , рассмотренное в примере 3.
2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства. Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности.
Теорема 4.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство

( x, y ) 2 ≤ ( x, x )( y, y ), (4.6)

называемое неравенством Коши-Буняковского.
Доказательство. Для любого вещественного числа λ , в силу аксиомы 4° скалярного произведения, справедливо неравенство ( λ х — у, λ х — у) > 0. В силу аксиом 1°-3°, последнее неравенство можно переписать в виде

λ 2 (x, x) — 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство (в случае (х, х) = 0 квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию, но в этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) = 0 и неравенство (4.7) также справедливо)

( x, y ) 2 — ( x, x )( y, y ) ≤ 0. (4.7)

Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6). Теорема доказана.
Наша очередная задача — ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие нормы (или длины) каждого элемента. Для этого введем понятие линейного нормированного пространства.
Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства R ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое символом ||х||.
П. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
1°. ||х|| > 0, если х — ненулевой элемент; ||х|| = 0, если х — нулевой элемент;
2°. || λ х|| = | λ | ||х|| для любого элемента х и любого вещественного числа λ ;
3°. для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство

называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского).
Теорема 4.2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством

Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1°-3° из определения нормированного пространства.
Справедливость для нормы аксиомы 1° сразу вытекает из аксиомы 4° скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2° почти непосредственно вытекает из аксиом 1° и 3° скалярного произведения.
Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3°, т. е. неравенства (4.8). Будем опираться на неравенство Коши-Буняковского (4.6), которое перепишем в виде

С помощью последнего неравенства, аксиом 1°-4° скалярного произведения и определения нормы получим

Теорема доказана.
Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (4.9), для любых двух элементов х и у справедливо неравенство треугольника (4.8).

Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами х и у этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем углом φ между элементами х и у тот (изменяющийся в пределах от 0 до π ) угол, косинус которого определяется соотношением

Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского (4.7′) дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы.
Далее договоримся называть два произвольных элемента х и у евклидова пространства Е ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (х, у) равно нулю (в этом случае косинус угла ( φ между элементами х и у будет равен нулю).
Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму х + у двух ортогональных элементов х и у гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах х и у.
Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х и у ортогональны и (х, у) = 0, то в силу аксиом и определения нормы

||х + y || 2 = ( x+y, x+y ) = ( x, x ) + 2( x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) = ||х|| 2 + || y || 2 .

Этот результат обобщается и на n попарно ортогональных элементов х₁, x₂. х_n: если z = х₁ + x₂ + . + х_n, то

В заключение запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника в каждом из конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте.
В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной |а|, неравенство Коши-Буняковского приводится к виду (( a,b ) 2 ≤ |а| 2 | b | 2 , а неравенство треугольника — к виду |a + b| ≤ |а| + | b | (Если сложить векторы а и b по правилу треугольника, то это неравенство тривиально сводится к тому, что одна сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон).
В евклидовом пространстве С [а, b ] всех непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b функций х = x(t) со скалярным произведением (4.1) норма элемента х = x(t) равна , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

Оба эти неравенства играют важную роль в различных разделах математического анализа.
В евклидовом пространстве Е _n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.2) норма любого элемента х = (х₁, x₂. х_n) равна

а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.5) норма любого элемента х = (х₁, x₂. х_n) равна 0 (напоминаем, что при этом матрица (4.3) симметрична и порождает положительно определенную квадратичную форму (4.4)).