Прямые а и б параллельные какое положение не может занимать прямая (3 видео)

Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости» — урок 3 — ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ — ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

1) обобщить материал изученного параграфа;

2) развивать навык применять изученные теоремы к решению задач;

3) воспитывать самостоятельность в выборе способа решения задач;

4) контроль знаний учащихся.

I. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока

II. Проверка домашнего задания

Проверка задач № 23, 25 устно, № 88 подготовить на доске.

III. Актуализация знаний учащихся

1) Верно ли утверждение параллельности прямой и плоскости: «Прямая, параллельная какой-либо прямой на плоскости, параллельна и самой плоскости». (Нет, прямая может лежать в плоскости.)

2) Прямые а и b параллельны. Какое положение может занимать прямая а относительно плоскости, проходящей через прямую b?(а параллельна плоскости.)

3) Даны прямая и две пересекающиеся плоскости. Охарактеризовать все возможные случаи их взаимного расположения. (Прямая параллельна двум плоскостям, параллельна одной и пересекает другую, пересекает две плоскости.)

4) Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Можно ли утверждать, что и вторая прямая параллельна этой плоскости? (Да.)

5) Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым? (Да.)

6) В плоскости α даны две пересекающиеся прямые а и b. Точка С не лежит в плоскости α. Каковы возможные случаи расположения прямой, проходящей через точку С, относительно прямых а и b? (Проходят через точку пересечения а и b.)

IV. Решение задач

№ 27. Дано: (рис. 1).

Доказать:

1. Проведем плоскость (ACD). CD || b; если но получили противоречие, значит

ΔАЕВ (по трем углам); (Ответ: 48 см.)

V. Проверочная самостоятельная работа (см. приложение)

Ответы и указания к задачам самостоятельной работы

1. Дано: (рис. 2).

1) — по признаку, значит, ∠B — общий для ΔАВС и ΔDBD1. Следовательно, ΔDBD1

ΔDBD1 ⇒ (Ответ: 12 см.)

2. Дано: (рис. 3).

Доказать:

1) по теореме о трех параллельных прямых

2) Аналогично b || α.

1. Дано: (рис. 4).

1) DD1 || α (по условию), (ABC) ∩ α = АС, АС ∈ α, DD1 || α, DD1 || АС — по признаку.

ΔDBD1 (по трем углам), ∠В — общий, ∠BDD1 = ∠BAC, (Ответ: 3 см.)

2. Дано: (рис. 5).

1) Пусть

3) Из 1) и 2) следует с ∈ γ, чего быть не может.

1. Дано: ABCD — параллелограмм; (рис. 6).

1) по утверждению

2) Рассмотрим ΔADC, ΔA1DC1: ∠D — общий, ∠DA1C1 = ∠DAC, ∠DC1A1 = ∠DCA — как соответствующие при параллельных прямых, значит ΔADC

ΔА1DC1 (по трем углам).

3) Рассмотрим ΔАВС и ΔACD. АВ = CD, ВС = AD — по свойству параллелограмма, АС — общая, то есть ΔАВС = ΔACD.

ΔA1DC1; (Ответ: 15 см.)

2. Дано: (рис. 7).

1) Пусть a ∩ b, тогда М = а ∩ α, а ∩ β = М, но а || α и а || β, значит, получили противоречие, то ест.

1. Дано: ABCD — параллелограмм; (рис. 8).

2) ΔАВС и ΔА1ВС1: ∠B — общий, ∠ACB = ∠A1C1B, ∠CAB = ∠C1A1B соответствующие при АС || А1С1, значит, ΔАВС

3) (по свойству параллелограмма), АС — общая.

4) Из п. 2 следует, что ΔАВС

Δ А1ВС1. (Ответ: 9 см.)

2. Дано: ABCD — параллелограмм; (рис. 9).

Доказать: b || (ABCD).

Доказательство: Пусть b ∩ (ABCD), значит в плоскости (SBC), b ∩ ВС, в плоскости (SAD); b ∩ AD, следовательно, но это противоречит условию, значит, b || (ABCD).

1. Дано: ABCD — параллелограмм; (рис. 10).

1) по теореме о параллельности прямой и плоскости.

ΔFEM (по трем углам) (Ответ: )

2. Дано: (рис. 11.

по теореме о трех параллельных прямых.

1. Дано: ABCD — ромб; (рис. 12).

1) по теореме о параллельности прямой и плоскости.

2) ABCD — ромб, значит, BC = AD. ΔMFK

ΔМВС (по трем углам.

(Ответ: )

2. Дано: (рис. 13).

по теореме о трех параллельных прямых.

VI. Подведение итогов

I уровень: № 32 (разобрана в учебнике), № 92.

II уровень: № 33, № 92.

Дано: (рис. 14).

Доказать:

1) Никакие две прямые не пересекаются, тогда они параллельны, так как а и b ∈ α2, значит, а || b. Аналогично b || с, а || с.

2) Любые две прямые, например а ∩ b = М, значит, М ∈ α1, М ∈ α2, M ∈ α3, а тогда, значит, М лежит во всех плоскостях и b ∩ с = М.

3) а = b, тогда прямые являются пересечением всех трех плоскостей α1, α2, α3, а значит, плоскости проходят через одну прямую, что противоречит условию.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Содержание

Конспект урока по геометрии на тему «Параллельность прямой и плоскости»
«Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Оставьте свой комментарий
Подарочные сертификаты
Геометрия. 10 класс
🔍 Видео

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Конспект урока по геометрии на тему «Параллельность прямой и плоскости»

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Урок № 10.Решение задач по теме «параллельность прямой и плоскости»

Обобщить материал изученного параграфа;

Развивать навык применять изученные теоремы к решению задач;

Воспитывать самостоятельность в выборе способа решения задач;

Контроль знаний учащихся.

Сообщить тему и цели урока

Проверка домашнего задания

Проверка решений задач № 23, № 25 устно, №88 подготовить на доске.

Актуализация знаний учащихся

Верно ли утверждение параллельности прямой и плоскости: «Прямая, параллельная какой – либо прямой на плоскости, параллельна и самой плоскости». (Нет, прямая может лежать в плоскости.)

Прямые a и b параллельны. Какое положение может занимать прямая a относительно плоскости, проходящей через прямую b ? ( a параллельна плоскости.)

Даны прямая и две пересекающиеся плоскости. Охарактеризовать все возможные случаи их взаимного расположения. (Прямая параллельна двум плоскостям, параллельна одной и пересекает другую, пересекает две плоскости.)

Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Можно ли утверждать, что и вторая прямая параллельна этой плоскости? (Да.)

Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым) (Да.)

В плоскости α даны две пересекающиеся прямые a и b . Точка С не лежит в плоскости α. Каковы возможные случаи расположения прямой, проходящей через точку С, относительно прямых a и b ?

№ 27.

Проверочная самостоятельная работа

Подведение итогов урока

I уровень: № 32 (разобрана в учебнике), № 92

II уровень: № 33, № 92.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 341 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 691 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Салабаева Альфира ХанмурзаевнаНаписать 1464 08.10.2015

Номер материала: ДВ-042121

08.10.2015 4673

08.10.2015 742

08.10.2015 318

08.10.2015 909

08.10.2015 473

08.10.2015 17094

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

В России разработают рекомендации по сопровождению студентов с ОВЗ

Время чтения: 2 минуты

Названы главные риски для детей на зимних каникулах

Время чтения: 3 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №4. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Определение параллельных прямых;
Теорема о единственности прямой, параллельной данной, проходящей через данную точку;
лемма о двух параллельных прямых;
теорему о параллельности трех прямых;
определение параллельных прямой и плоскости;
признаком параллельности прямой и плоскости.

Глоссарий по теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые − прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. 255 с.

Зив Б. Г. Дидактические материалы. Геометрия 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. 96 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь. Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. 65 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), который создал целый труд по математике под названием «Начала». В данной книге есть раздел о параллельных прямых.

В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».

В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».

В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.

В области параллельных прямых работало очень много учёных: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9 веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.

Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).

Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором — такие прямые называются скрещивающимися.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.

Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:

AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:

AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

М и а задают плоскость α
Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. в плоскости α.
В плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна- это нам известно из кураса планиметрии.
На чертеже эта прямая обозначена буквой b .
Следовательно, b-единственная прямая, проходящая через точку М паралельно прямой а.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Аналогично определяется праралельность отрезка и прямой, а так же паралельность двух лучей.

Лемма. Если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M(а рис.).
Мы знаем, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. (теорема)

Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (б рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая p, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

Прямые a, b и c находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.

Точку пересечения прямых a и p обозначим за N.

Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке N.

Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Наглядный пример, который дает представление о прямой, параллельной плоскости- это линия пересечения стены и потолка-она параллельна плоскости пола.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Тип задания: Единичный / множественный выбор

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.