Прямая окружность имеет только 1

Касательная к окружности

Определение 1. Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

На рисунке 1 прямая l является касательной к окружности с центром O, а точка M является точкой касания прямой и окружности.

Прямая окружность имеет только 1

Видео:✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Свойство касательной

Теорема 1 (Теорема о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания прямой и окружности.

Доказательство. Пусть l касательная к окружности с центром O и M − точка касания прямой и окружности (Рис.1). Докажем, что ( small l ⊥ OM .)

Предположим, что радиус OM является наклонной к прямой l. Поскольку перпендикуляр, проведенной из точки O к прямой l меньше наклонной OM, от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности. Тогда прямая l и окружность имеют две общие точки (см. статью Взаимное расположение прямой и окружности). Но касательная не может иметь с окружностью две общие точки. Получили противоречие. Следовательно прямая l пенрпендикулярна к радиусу OM.Прямая окружность имеет только 1

Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, которые проходят через точку A и касаются окружности в точках B и C (Рис.2). Отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенных из точки A.

Прямая окружность имеет только 1

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через данную точку и центр окружности.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 2. По теореме 1 касательные AC и AB перпендикулярны радиусам OC и OB, соответственно. Тогда углы 3 и 4 прямые, а треугольники ACO и ABO, прямоугольные. Эти треугольники равны по катету (OC=OB) и гипотенузе (сторона AO− общая) (подробнее см. в статье Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор). Тогда AB=AC и ( small angle 1=angle 2 .) Что и требовалось доказать.Прямая окружность имеет только 1

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной

Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности и перпенжикулярна к этому радиусу, то эта прямая является касательной.

Доказательство. По условию теоремы данный радиус является перпендикуляром от центра окружности к данной прямой. То есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку (теорема 2 статьи Взаимное расположение прямой и окружности). Но это означает, что данная прямая является касательной к окружности (Определение 1).

Видео:Окружность и прямая: варианты взаимного расположенияСкачать

Окружность и прямая: варианты взаимного расположения

Построение касательной к окружности

Задача 1. Через точку M окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.3).

Прямая окружность имеет только 1Прямая окружность имеет только 1

Решение. Проведем прямую p через точки O и M. На прямой p из точки M отложим отрезок MN равной OM. Построим две окружности с центрами O и N и одинаковыми радиусами ON. Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую l. Полученная прямая является касательным к окружности с центром O и радиусом OM.

Задача 2. Через точку A не принадлежащая к окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.5).

Прямая окружность имеет только 1Прямая окружность имеет только 1

Решение. Проведем прямую p через точки O и A (Рис.6). Найдем среднюю точку отрезка OA и обозначим буквой K. Постоим окружность с центром K радиусом KO=KA. Найдем точки пересечения этой окружности с окружностью с центром O. Получим точки B и C. Через точки A и C проведем прямую m. Через точки A и B проведем прямую n. Прямые m и n являются касательными к окружности с центром O.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1.

Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

Прямая окружность имеет только 1

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R1, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Прямая окружность имеет только 1Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Прямая окружность имеет только 1Свойства хорд и дуг окружности
Прямая окружность имеет только 1Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Прямая окружность имеет только 1Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Прямая окружность имеет только 1Теорема о бабочке

Прямая окружность имеет только 1

Видео:Прямая и окружность. Математика. 6 класс.Скачать

Прямая и  окружность. Математика. 6 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПрямая окружность имеет только 1
КругПрямая окружность имеет только 1
РадиусПрямая окружность имеет только 1
ХордаПрямая окружность имеет только 1
ДиаметрПрямая окружность имеет только 1
КасательнаяПрямая окружность имеет только 1
СекущаяПрямая окружность имеет только 1
Окружность
Прямая окружность имеет только 1

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПрямая окружность имеет только 1

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПрямая окружность имеет только 1

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПрямая окружность имеет только 1

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПрямая окружность имеет только 1

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПрямая окружность имеет только 1

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПрямая окружность имеет только 1

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПрямая окружность имеет только 1Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПрямая окружность имеет только 1Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПрямая окружность имеет только 1Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПрямая окружность имеет только 1У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПрямая окружность имеет только 1Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Прямая окружность имеет только 1

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПрямая окружность имеет только 1

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПрямая окружность имеет только 1

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПрямая окружность имеет только 1

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПрямая окружность имеет только 1

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПрямая окружность имеет только 1

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПрямая окружность имеет только 1

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Прямая окружность имеет только 1

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПрямая окружность имеет только 1
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПрямая окружность имеет только 1
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПрямая окружность имеет только 1
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПрямая окружность имеет только 1

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Прямая окружность имеет только 1

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Пересекающиеся хорды
Прямая окружность имеет только 1
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Прямая окружность имеет только 1
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Прямая окружность имеет только 1
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Прямая окружность имеет только 1
Пересекающиеся хорды
Прямая окружность имеет только 1

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Прямая окружность имеет только 1

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Тогда справедливо равенство

Прямая окружность имеет только 1

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Прямая окружность имеет только 1

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Прямая окружность имеет только 1

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Прямая окружность имеет только 1

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Прямая окружность имеет только 1

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Прямая окружность имеет только 1

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Прямая окружность имеет только 1

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Прямая окружность имеет только 1

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🎥 Видео

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.

ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать

ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Задачи с касательными к окружности. Пример 1. | Окружность | ГеометрияСкачать

Задачи с касательными к окружности. Пример 1. | Окружность |  Геометрия

Окружность Эйлера (окружность 9 точек) и прямая ЭйлераСкачать

Окружность Эйлера (окружность 9 точек) и прямая Эйлера

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | Умскул

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика
Поделиться или сохранить к себе: