Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь квадрата равна произведению его диагоналей» — неверно, т. к. произведение диагоналей квадрата равно 2a 2 .

2) «Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

3) «Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность» — неверно, т. к. вокруг параллелограмма можно описать окружность только если сумма его противоположных углов равна 180°..

Видео:№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

Какие из данных утверждений верны?

Математика | 5 — 9 классы

Какие из данных утверждений верны?

1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

4) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

5) В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

6) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Ответ : 1), 2), 3), 5), 6).

Видео:Любой параллелограмм можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Укажите номер верного утверждения?

Укажите номер верного утверждения.

1)Около любого треугольника можно описать окружность.

2)Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

3)В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180 гр.

4)Около любого параллелограмма можно описать окружность.

Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Какое из следующих утверждений верно?

Какое из следующих утверждений верно?

1)Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

2)В параллелограмме есть два равных угла.

3)Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Видео:Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Какое из следующих утверждений верно?

Какое из следующих утверждений верно?

1)смежные углы равны, 2)через любую точку лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности, 3)площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Докажите , что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам?

Докажите , что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Видео:Окружность Параллелограмм РомбСкачать

Верно ли что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам?

Верно ли что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Видео:№696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.Скачать

Выберите верные утверждения : А)в любом прямоугольнике всегда есть большая и меньшая диагонали Б)диагонали квадрата всегда равны В)диагонали квадрата не пересекаются Г)диагонали прямоугольника пересек?

Выберите верные утверждения : А)в любом прямоугольнике всегда есть большая и меньшая диагонали Б)диагонали квадрата всегда равны В)диагонали квадрата не пересекаются Г)диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Какое из следующих утверждений верно?

Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагонали ромба точкой пересечения делится пополам 2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые 3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника являются его высотой.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Какие из следующих утверждений верны?

Какие из следующих утверждений верны?

1. На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.

2. В любой треугольник можно вписать окружность.

3. Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Какие из данных утверждений верны?

Какие из данных утверждений верны?

1)вокруг любого треугольника можно описать окружность2)если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны то этот параллелограмм — квадрат3)площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

. Какое из данных утверждений верно?

. Какое из данных утверждений верно?

В ответе запишите номер верного утверждения.

1) В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

2) Средняя линия трапеции равна половине большего основания.

3) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к противолежащему катету.

4) Если в треугольнике есть острый угол, то этот треугольник остроугольный.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Какие из данных утверждений верны?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Математика вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

1. Переместительное свойство сложения : а + b = b + a 2. Сочетательное свойство сложения : . A + (b + c) = (a + b) + c 3. Свойство нуля при сложении : a + 0 = 0 + a = a 4. Свойство вычитания суммы из числа : a — (b + c) = a — b — c 5. Свойство в..

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
   
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
   
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
   

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
   
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
   
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
   
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
   
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
   
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
   

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

   

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB || CD
• AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

🎦 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Геометрия. Площади. Задача №9. Геометрия в жизни. Задача №10Скачать

Геометрия 8 класс за 1 час | Математика | УмскулСкачать

Четыре окружности в параллелограмме | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать